对数函数
星火教育顺德分公司容桂校区一对一教案
学科：数学任课老师：陈老师授课时间：2014年9月6日（星期六）10:00-12:00 姓名黄公琪年级：初三教学课题对数函数
阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划第（1）次课共（1）次课
教学目标知识点：对数函数的概念、运算、图像和性质. 考点：对数函数的运算、图像和性质.
重点难点重点：对数函数的图像、性质及其应用.
难点：对数函数的图像、性质及其应用；对数函数与指数函数互为反函数的关系.
教学
方法
启发引导，自主探究，合作交流，.讲练结合.
教学过程情境引入
咱们上节课2.1.2的例8，我们能从关系式13 1.01x
y=?中，算出任意一个年头x的人口总数，那反之，如果问，哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿，该如何解决？
上述问题实际上就是从
18
1.01
13
x
=，
20
1.01
13
x
=，
30
1.01
13
x
=，中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数。这是我们这节课将要学习的对数函数问题。
讲授新课
1 对数
1.1 对数的概念
一般地，如果(0,1)
x
a N a a
=>≠
且，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作
log
a
x N
=
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如，由于
18
1.01
13
x
=，所以x就是以1.01为底
18
13
的对数，记作x=
1.01
18
log
13
；由于24=16，所以以4为底16的对数是2，记作4
log162
=.
注意：
（1）底数的限制：0a >且1a ≠；
（2）对数的书写格式。
1.2 两个重要对数
1.3 对数与指数的互化
当0a >且1a ≠时，x
a N =<=>log a x N =. 思考：为什么规定0a >且1a ≠？
师：由于对数是由指数反推过来的，所以由前面的知识得到0a >且1a ≠. 由指数和对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： ①负数和零没有对数； ②log 10a =，log 1a a =. 显然0a >且1a ≠时,log a N
a
N =(对数恒等式）
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）4
5625=； （2）61264-=； （3）1
() 5.733
m =； 解：（1）5log 6254=； （2）2
1
log 464=-； （3）13
log 5.73m =；
练习1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）12
log 164=-； （2）lg 0.012=-； （3）ln10 2.303=
两种重要对数 概念 记法
常用对数 以10为底的对数 10log N
自然对数 以e 为底的对数
ln N
例2 求下列各式中x 的值： （1）642
log 3
x =-
； （2）log 86x =； （3）lg100x =； （4）2
ln e x -=
解：（1）因为642log 3
x =-，所以223
233164(4)416x ---====；
（2）因为log 86x =，所以6
8x =，又0x >,所以1113662
8(2)22x ====；
（3）因为lg100x =，所以2
1010010x ==，于是2x =； （4）因为2
ln e x -=，所以
2
ln e x =-，
2x
e e -=，
于是2x =.
练习2 求下列各式的值： （1）5log 25: （2）31log 9； （3）41log 64
2 对数的运算
2.1 运算法则
由指数的运算法则我们可以得到对数的运算法则： 如果0a >且1a ≠，M>0，N>0，那么：
（1）log (M N)a =log a M +log a N ； （2）log (
)a M
N
==log a M -log a N ； （3）log (M)n a =n log a M (n R)∈. 例3 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：
（1）log a xy
z ； （2）23
log a x y z
.
解：（1）log a xy
z =log (xy)a -log z a =log a x +log a y -log z a ； （2）23
log a
x y
z
=2log ()a x y -3
log a z
=2
log a x +log a y -3log a z
=2log a x +
1
log 2
a y -1log 3a z .
例4 求下列各式的值：
（1）75
2log (42)?； （2）5lg 100.
解：（1）752log (42)?=72log 4+5
2log 2=72log 4+52log 2=7×2+5×1=19； （2）5
lg 100=2
5
lg10=
25
. 从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底。数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数 。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e 为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数。
2.2 对数换底公式 log a b =
log log c c b
a
（0,1a a >≠且；0,1c c >≠且；0b >） 事实上：设log a b =x ，由对数定义可知x
a b =，两边取以c 为底的对数有
x log c a =log c b
所以log log c c b
x a
=
，所以log a b =log log c c b a .
有了对换数底公式，我们就可以解决利用已知对数求其它数为底的对数计算问题，因而彻底解决了对数的计算问题，另外我们利用对数换底公式还可以得出下列结论
①log a b =
1
log b a
（01a <≠，且01b <≠） ②log a b =log n n
a b （01a <≠，且01b <≠，n R ∈） 更一般的有：log m n
a b =
log a n
b m
（01a <≠，且01b <≠） 此外，对于常用对数，除了具有以上运算性质之外，还有以下运算性质： ①lg10n
n =，其中n R ∈； ②lg 2+lg51=；
③若0x y >>，则lg lg x y >，反之亦然。
3 对数函数及其性质
3.1 对数函数的概念
一般地，我们把函数log x(01)a y a a =>≠，且，叫做对数函数（logarithm ），
其中x 是自变量，函数的定义域是+∞（0，）.
思考：
（1）为什么规定01a a >≠，且？
（2）为什么对数函数的定义域是+∞（0，）？
例5 求下列函数的定义域：
（1）2
log a y x =； （2）log -a y =（4x ）
解：（1）因为2
0x >，即0x ≠，所以函数2
log a y x =的定义域是{|x 0}x ≠.
（2）因为4-0x >,即4x <，所以函数log -a y =（4x ）
的定义域是{|x 4}x <.
说明：通过例5要让学生明确，求解对数函数定义域问题的关键是要抓住“真数大于零”，当真数为某一代数式时，可将其看作一个整体单独提出来，求其大于零的解集即该函数的定义域.
练习3 求下列函数的定义域：
(1) 5log (1x)y =-; (2) 51
log x
y =; (3) 51
log 1-2x
y =; (4) 3log y x =
例6 （教材72P 例8） 注意：
教材72P 例8是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时, 要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小. 由该例题可以得出比较两个对数值大小的方法：
① 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断； ② 若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论； ③ 若底数、真数都不相同,则常借助1、0、－1等中间量进行比较.
3.2 对数函数的图像及其性质
一般地，指数函数log x(01)a y a a =>≠，且的图像与性质如下图所示：
01a <<
1a >
图 像
图 像 特 征
1、图像的位置：在y 轴的右侧；
2、图像过定点（1,0）
3、图象向下无限延伸， 向上无限接近y.
3、图象向上无限延伸， 向下无限接近y.
4、随着x 增大，图像是下降的.
4、随着x 增大，图像是上升的.
5、1x >时，函数图像在x 轴下方； 01x <<时，函数图像在x 轴上方. 5、1x >时，函数图像在x 轴上方；
01x <<时，函数图像在x 轴下方.
函 数 性 质
定义域 +∞（0,）
值域
R 奇偶性 非奇非偶
单调性
单调递减
单调递增
练习4 画出函数2log y x =及12
log y x =的图像，并且说明这两个函数的相同点
和不同点.
练习5 画出函数2log y x =及2x y =的图像，并且说明这两个函数的相同点和不同点.
3.3 对数函数与指数函数互为反函数的关系
在指数函数2x
y =中，x 为自变量（x R ∈）,y 是x 的函数（(0+y ∈∞，）），
而且它是R 上的单调递增函数，可以发现过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x
y =的图像有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，有指数式
2x y =可以得到对数式2log x y =.这样，对于任意一个(0+y ∈∞，），通过式子
2log x y =，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应，也就是说，可以把y 作为自变
量，x 作为y 的函数，这时我们就说2log x y =（(0+y ∈∞，））是函数2x
y =x R ∈（）
的反函数.
一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?(y)，
x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作
)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=，比如在函数2log x y =中，y 是自变量，x
是函数，但习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，为此，我们常常对调函数2log x y =中的字母x ，y,把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0+x ∈∞，
）)是指数函数2x y =x R ∈（）的反函数. 由上述讨论可知，对数函数2log y x =((0+x ∈∞，）)是指数函数
2x y =x R ∈（）的反函数；同时，指数函数2x y =x R ∈（）与对数函数
2log y x =((0+x ∈∞，
）)的反函数.因此，指数函数2x y =x R ∈（）与对数函数2log y x =((0+x ∈∞，
）)互为反函数. 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？
反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =
探讨2：互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数
)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反
函数)(1
x f y -=的值域；
函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x f y -=的定义域x x f f x x f
f ==--)]([,)]([11
函数与其反函数的定、值域关系如下表所示：
函数)(x f y =
反函数)(1
x f
y -=
定义域 A C 值 域 C
A
探讨3：)(1
x f
y -=的反函数是？
若函数)(x f y =有反函数)(1
x f
y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是
)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数
结论：
（1）不是所有的函数都有反函数；
（2）互为反函数的图像关于直线y=x 的图像对称.
练习6 比较下列各组数的大小，并说明理由．
（1）8.0log 7.0log 3
13
1与． （2）.3log log 88与π （3）.3log 4
1
log 8.06
.0与
练习7 计算 22252212
2
(l g )l g l g (l g )l g +?+-+的值.
课堂总结
课后作业①熟记本堂课所学公式；
②预习《幂函数》
签字教务主管/科组长：谢红超日期：