常熟市浒浦高级中学2014届高二数学午练素材：午练9

午间训练（9）

1. 已知函数()32312f x x x =-

+，求曲线()y f x =过点()0,1的切线方程.

2. 已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，112

PA AC AB ===，N 为AB 上一点，4AB AN =,,M S 分别为,PB BC 的中点.

（Ⅰ）证明：CM SN ⊥；

（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

3. 已知直线k x y +=2被抛物线y x 42

=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点．

（1）求实数k 的值；

（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，△ABC 面积最大？

4. 过直线1y =-上的动点(,1)A a -作抛物线2y x =的两切线,AP AQ ，,P Q 为切点． （Ⅰ）若切线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ?为定值；

（Ⅱ）求证：直线PQ 过定点．

1. 已知函数()32312

f x x x =-+，求曲线()y f x =过点()0,1的切线方程. 9116

y x =-

+或1y =

2. 已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，112

PA AC AB ===，N 为AB 上一点，4AB AN =,,M S 分别为,PB BC 的中点.

（Ⅰ）证明：CM SN ⊥；

（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

证明：以A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为,,x y z 轴

正向建立空间直角坐标系如图。

则()()()10,0,1,0,1,0,2,0,0,1,0,,2P C B M ?

? ???11,0,0,1,,022N S ???? ? ?????

……2分 （Ⅰ）111(1,1,),(,,0)

222

CM SN =-=-- ,

因为110022

CM SN ?=-++= ， 所以CM SN ⊥ ……6分 （Ⅱ）1(,1,0)2NC =- , 设(),,a x y z = 为平面CMN 的一个法向量，

则

102102

x y z x y ?-+=????-+=??令2,x =得()2,1,2a =- ……8分

因为cos ,2a SN == 所以SN 与片面CMN 所成角为45 ……10分

3. 已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点．（1）求实数k 的值；（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，△ABC 面积最大？

解：（1）将k x y +=2代入y x 42=得0482=--k x x ，----------------------2分

由△01664>+=k 可知4->k ，

另一方面，弦长AB 2016645=+?=k ，解得1=k ；------------5分

（2）当1=k 时，直线为12+=x y ，要使得内接△ABC 面积最大， 则只须使得2241=?='C C

x y ，-即4=C x ，即C 位于（4，4）点处． ---------------------10分

4. 过直线1y =-上的动点(,1)A a -作抛物线2y x =的两切线,AP AQ ，,P Q 为切点． （Ⅰ）若切线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值；

（Ⅱ）求证：直线PQ 过定点．