向量法解立体几何公式总结
向量法解立体几何公式总结
一、基本知识点
直线m l ,的方向向量分别为,，平面βα,的法向量分别为21,n n （若只涉及一个平面α，则用n 表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。 1、平行问题（结合图象，直观感觉） 1）线线平行b k a b a m l =??//// 2）线面平行0//=??⊥?n a n a l α 3）面面平行2121////n k n n n =??βα 2、垂直问题（结合图象，直观感觉） 1）线线垂直0=??⊥?⊥b a b a m l 2）线面垂直n k a n a l =??⊥//α 3）面面垂直0
2121=??⊥?⊥n n n n βα3、夹角问题
1）异面直线CD AB ,所成的角θ（范围： 2
0π
θ≤<）
c o s c o s ,.A B C D
A B C D A B C D
θ?=
<>=
2）线面角θ（范围：2
0π
θ≤
≤），=
><=,cos sin θ
3）二面角θ（范围：πθ≤≤0）
A B
>
<-=,2
π
θ2
,π
θ-
>=<>
<-=21,n n πθ>
=<21,n n θ12
12
cos n n n n θ?=-?
12
12cos n n n n θ?=?
4、距离问题
1）点A 到点B
2
2
2
)()()(B A B A B A z z y y x x -+-+-= 2）点A 到线l 的距离d
在直线l 上任取点B
=
><=,cos cos θ
θθ2cos 1sin -=，
∴θsin =d
3）点A 到面α的距离d
在平面α上任取点B
=
><=,cos cos θ
d =
==θcos
4）异面直线间m l ,间的距离d
在直线l 上任取点A ，在直线m 上任取点B 向量与异面直线m l ,的方向向量,都垂直
=
><=,cos cos θ
∴d =
==θcos 5）直线l 到平面α的距离
在直线l 上任取一点A ，转化为点A 到面α的距离d 6）平面α到平面β的距离
在平面β上任取一点A ，转化为点A 到面α的距离d
F
C 1
B 1
A 1
A
C
B
E D
D 1
二、典例训练
例1、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AD 、AB 的中点。
1）求异面直线E B 1与F C 1所成角的大小； 2）求证：异面直线1AC 与C B 1垂直；
3）求直线1BC 与面11D EFB 所成角的大小。
例2、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB//CD ，0
90DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=
1
2
，AB=1，M 是PB 的中点。 1）证明：平面PAD ⊥平面PCD
2）求AC 与PB 所成的角余弦值的大小
3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角余弦值的大小
D 1
C 1
B 1
A 1
A
C
B
D
例3、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点。
（1）在棱1BB 上是否存在一点M ，使⊥M D 1平面AE B 1，为什么？
（2）在正方体表面11A ABB 上是否存在点N ，使⊥N D 1平面AE B 1，为什么？
例4、如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，3,1,2,9010====∠AA BC AB ACB （1）求三棱柱111C B A ABC -的体积；（2）求证111C AB C A 平面⊥
（3）若D 是1CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使11//C AB DE 平面，
证明你的结论
11
A 1
例5、已知棱长为1的正方体,1AC E ，F 分别是11C B 和11D C 中点. （1）求证：E 、F 、B 、D 共面； （2）求点1A 到平面BDFE 的距离； （3）求直线D A 1到平面BDFE 所成的角.
例6、如图，111C B A ABC -是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点. （1）求证：平面⊥D AB 1平面11A ABB ； （2）求点C 到平面D AB 1的距离；
（3）求平面D AB 1与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小.
1
例7、（2007浙江卷理）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥；
（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．
例8、（2008浙江卷理）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，
∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ； （Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为?60？
E D
C M A
例9、（2009浙江卷理）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ?是以AC 为斜边的等腰直角
三角形，,,E F O 分别为PA ，
PB ，AC 的中点，16AC =，
10PA PC ==．
（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面
BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．
例10、（2009宁夏海南卷理）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是
P 为侧棱SD 上的点。 （Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；
（Ⅱ）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：EC 的值；若不存在，试说明理由。
例11、（2009江西卷理）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 点M 为PD 的 中点，PC AN ⊥于N 点. （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.
例12、（2009重庆卷理）如图，在四棱锥S ABCD -中，//AD BC 且AD CD ⊥；平面
CSD ⊥平面A B C D ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点
，
CE AS
（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离； （Ⅱ）二面角E CD A --的大小．
D B