上海交通大学附属中学2015届高三上学期期中考试数学试题

上海交通大学附属中学2014—2015学年度第一学期

高三数学期中试卷

（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．

写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

。） 一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写

结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1、已知等比数列{}n a 满足123a a +=，236a a +=，则7a =____。 解：2312623

a a q a a +===+，所以12133a a a +==，解得11a =。所以67264a ==。▋ 2、不等式21x

≤的解集是__________。 解：21x ≤2210x x x -?-=≤(2)00

x x x -???≠?≥，所以解集为(,0)[2,)-∞+∞。▋ 3、设集合{}25,log (3)A a =+，{},B a b =，若{2}A B =，则A B =_____________。

解：{}225,log (3)a ∈+，所以2log (3)2a +=，解得1a =，所以2b =。

所以{}1,2,5A B =。▋

4、已知函数34()log (2)f x x

=+，则方程1()4f x -=的解为x =__________。 解：此即34(4)log (1)14

x f ==+=。▋ 5、方程sin 2sin 3x x =的解集是______________________。 解：2{|or 2,}55

x x k x k k πππ=+=∈Z 。▋ 6、函数2ln(23)y x x =-++的单调递减区间是_______________。

解：2230x x -++>，解得(1,3)x ∈-，所以单调递减区间是[1,3)（或(1,3)）。▋

7、若函数()y f x =的图像与1y x x

=+的图像关于1x =轴对称，则()f x =________。 解：在函数()y f x =的图像上任取(,)x y ，有(2,)x y -在1y x x

=+的图像上。所以122y x x =-+

-。▋

8、已知等差数列{}n a 中，110a =，当且仅当5n =时，前n 项和n S 取得最大值，则公差d 的取

值范围是___________。

解：等价于560a a >>，所以1040105d d +>>+，所以5(,2)2

d ∈--。▋ 9、已知函数()sin cos f x a x b x =+（2[2,]x a a ∈-）是奇函数,则a b +=_________。

解：220a a -+=解得1a =，又0b =，所以1a b +=。▋

10、不等式23x ax a ->-对一切34x ≤≤恒成立，则符合要求的自然数a 有________个。

解：结合函数2()3f x x =-与()(1)g x a x =-图像，

在34x ≤≤上函数()y f x =的图像在函数()y g x =的图像上方。

(3)6f =，(4)13f =，所以60331

a -<=-。所以，符合要求的自然数a 有3个。▋ 11、在ABC △中，锐角B ∠所对的边10

b =。ABC △的面积10ABC S =△，外接圆半径13R =，

则ABC △的周长ABC C =△____________。

解：由正弦定理，得5sin 213b B R ==。又由1s i n 102

ABC S ac B ==△，得52ac =；由2222cos b a c ac B

=+-，得22196a c +=。

所以2()196252300a c +=+?=。所以10ABC C b a c =++=+△

12、若函数()|3|log 1a f x x x =--+无零点，则a 的取值范围为__________。

解：假若()|3|log 1a f x x x =--+无零点，即|3|log 10a x x --+=无解。

即函数|3|1y x =-+与log a y x =没有公共点。

在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可知只需0log 31a <<。

所以，a 的取值范围为(3,)+∞。▋

13、已知2log log -==y x b a 。若2=+b a ，则y x +的取值范围为__________。

解：由已知得2x a -=，2y b -=，所以

22

2211x y a b a b --+=+=+222222222()221211()2()24a b a b ab a b a b ab ab ab ++-===-?=--。 因为2=+b a ，所以20(

)12a b ab +<<=（因为等号仅当1a b ==时取到，与a 、b 为底数矛盾），所以2(2,)ab

∈+∞，所以()(2,)x y +∈+∞。▋

14、已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，

()2f x x =-。若()(2015)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是_________。

解：由①②知，当(2,4]x ∈时，(1,2]2x ∈，所以()2()42

x f x f x ==-；同理可得，当(4,8]x ∈时，()8f x x =-；当(8,16]x ∈时，()16f x x =-；当(16,32]x ∈时，()32f x x =-；当(32,64]x ∈时，()64f x x =-；当(64,128]x ∈时，()128f x x =-；当(128,256]x ∈时，()256f x x =-；当(256,512]x ∈时，()512f x x =-；当(512,1024]x ∈时，()1024f x x =-；当(1024,2048]x ∈时，()2048f x x =-。

所以(2015)2048201533f =-=，所以(64,128]a ∈，()12833f a a =-=，解得95a =。▋

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答

题纸的相应编号的空格内直接写结果，选对得5分，否则一律得零分．

15、已知函数)(x f 定义域为[,]a b 。则“函数)(x f 在[,]a b 上为单调函数”是“函数)(x f 在

[,]a b 上有最大值和最小值”的

( ) (A) 充分但非必要条件

(B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件

解：充分但非必要条件，选(A)。▋

16、若110a b

<<，有下面四个不等式：①||||a b >；②a b <；③a b ab +<；④33a b >。其中，不正确．．．的不等式有

( ) (A) 0个

(B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 解：110a b

<<，所以0b a <<。所以||||a b <，①错误；②错误；()(1)(1)10ab a b a b -+=--+>，③正确；④正确。共2个不正确。选(C)。▋

17、已知：数列{}n a 满足116a =，12n n a a n +-=。则{

}n a n 的最小值为 ( )

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 解：累加法，得22(22)16242(1)16(1)162n n a n n n n +-=+++

+-=+-=-+，

所以16117n a n n n

=+-=≥，当且仅当4n =时等号取到。 所以{}n a n 的最小值为7。选(B)。▋