函数的概念经典例题
考点一：由函数的概念判断是否构成函数
函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A
中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ）
① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y=3
x
;
② A={x
x>0,x ∈R}, B={y
y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x;
③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）
① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ）
①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ）
A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点
B. y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点
C. y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点
D. y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点
考点二：同一函数的判定
函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
例1. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） A. y=x B. y = C. 2
y =
D.y=t
变式1.下列函数中哪个与函数y = ）
A. y =
B. y =-
C. y =-
D. y x =
变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ）
A. 29
3
x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =-
C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（x ≠0）
D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-，x ∈Z
考点三：求函数的定义域
（1）当f （x ）是整式时，定义域为R ；
（2）当f （x ）是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值集合；
（3）当f （x ）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值集合； （4）当f （x ）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 取值集合；
（5）当f （x ）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x 取值集合；
例1.
函数y =的定义域是（ ）
A. {}1,1-
B. ( -1 , 1 )
C. [ -1 , 1 ]
D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) 例2. 求函数
y =
变式1.
求下列函数的定义域
⑴1
y x =+ ⑵
1x y +=
变式2. 求下列函数的定义域 ⑴y =
⑵()2
lg 31y x =
++ ⑶()1log 13x y x -=+
求复合函数的定义域
例1. 已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域
变式1. 已知函数f
[ 0，3 ]，求f （x ）的定义域
变式2. 已经函数f （x+2）定义域为[ 0 , 4], 求f ()2x 的定义域
考点四：求函数的值域 例1.（1
）4y =
（2）2y x =+
（3
）y x =
（4）
x
（5
）y x =例2．求下列函数的值域
①31y x =+ ， x ∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )
②246y x x =-+ ，x ∈[)1,5
( 配方法 ：形如2y ax bx c =++ )
③2y x =
( 换元法：形如y ax b =+) ④1x y x =+ ( 分离常数法：形如cx d
y ax b
+=+ )
⑤2
21y x x =+ ( 判别式法：形如
21112
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++ )
变式1. 求下列函数的值域
① 2
243y x x =-+
② y x =+
③ y =21
3
x x +- ④ 2224723x x y x x +-=++
考点五：求函数的解析式
例1 . 已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法 ）
变式1. 已知f （x ）= 21x -， 求f （2x ）的解析式
变式2. 已知f （x+1）= 223x x ++，求f （x ）的解析式
例2. 若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式 （ 待定系数法 ）
变式1. 已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）.
例3. 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）
变式1. 已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式
变式2. 已知2 f （x ）-f 1x ??
???
= 3x ，求函数f （x ）的解析式
例4. 设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，
求f （x ）的解析式. （ 赋值法 / 特殊值法）
变式1. 已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，
求f （x ）的解析式.
考点六：函数的求值
例11. 已经函数f （x ）= 32x x +，求f （2）和f （a ）+f (-a)的值
变式1. 已知f （2x ）= 2
1x x
+，求f （2）的值
例12. 已知函数()
510
320x x x x f x ?+ ≥??
-+
=，求f （1）+f （1-）的值
变式1. 已知函数
()
()2122111f x x x x x x f x ?
+ , ≤-??+ , -<
= ，求f [f （4-）]的值
变式2. 已知函数()1(2)2n f n n f
n *
?1 , (= 1)
?=?1+- , (∈N )
??
，求f （5）的值
例13 . 设函数()812l ,1]og (1,)(,x
f x x x x -??=???
∈-∞ ∈+∞ ,
，求满足f （x ）=1
2的x 值
变式1. 已知函数()1
1x
f x x x x 3??=???
≤- , > , ，若f （x ）=2，求x 的值
自主检测
1．已知两个函数f(x)和g(x)
，其定义如下表：
2．已知函数f(x)＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f(x)的值域为__________． 3．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋2，且f(a)＝4，则a ＝________.
4．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________． 5．求下列函数的定义域：
(1)y ＝2x －1－7x ；
(2)y ＝(x ＋1)0
|x|－x
.
6．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②③
D ．② 7．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费，由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m ＞0，[m]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为( )
A ．3.71元
B ．3.97元
C ．4.24元
D ．4.77元 8.已知a 是实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( )
A ．f(x)＝x 2＋a
B ．f(x)＝ax 2＋1
C ．f(x)＝ax 2＋x ＋1
D ．f(x)＝x 2＋ax ＋1
A ．90元
B ．80元
C ．70元
D ．60元 11．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪
生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2
＋1，值域为{3,9}的“孪生函数”共有( )
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．7个 12．设f(x)＝???
x ＋2，x ≤－1，x 2
，－1 2x ，x ≥2， 若f(x)＝3，则x ＝______. 13．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x ＋2 3)的定义域为__________．