初一数学第六讲整式概念

学习过程

一、复习预习

上节课我们已经把整个有理数的章节学习完了，现在让我们一起回忆下在有理数这章中我们都学习了哪些内容

1、有理数的概念及其分类

2、相反数、数轴与绝对值的意义及运用

3、有理数加、减、乘、除及乘方运算

4、有理数运算中常用到的运算律及计算技巧

5、科学记数法与近似数

二、知识讲解

1、做一做

（1）某种瓜子的单价为16元/千克，则n千克需要 _____元；（16n）

（2）小刚上学步行速度为5千米/小时,若小刚到学校的路程为s千米，则他上学需走

________小时。(

5

s ) （3）钢笔每支a 元，铅笔每枝支b 元，买2支钢笔和3支铅笔共需__________元。(23a b +)

在前面的研究中，出现了16n 、

5

s

、23a b +等式子，我们称它们为代数式. 代数式：由数和字母用运算符号连接所成的式子. 注意：单独一个数或一个字母也是代数式. 2、代数式的规范写法

（1）b a ?通常写作ab b a 或?； （2）a

a 11通常写作

÷ （3）数字通常写在字母前面;如：3a ?通常写作3a （4）带分数一般写成假分数.如：a a 5

65

11通常写作

? （5）所写代数式如果有单位，在写答案时，应带上单位，若是乘除关系，单位名称应写在式子后面，如

1

2

akg ，若是加减关系，式子必须用括号括起来，再写上单位名称，如()a b +h.

3、列代数式：

把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母及运算符号表示出来，就是列代数式. 4、列代数式的步骤：

（1）抓住关键词，理解其意义; （2）明确运算顺序;

（3）概括原题，正确使用括号. 5、求代数式的值：

用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给出的运算计算出的结果，叫做求代数式的值。

6、求代数式值的方法

（1）直接求值法：先代入，即用数值代替代数式里的字母，后计算，即按代数式中的运算关系计算得出结果，运算时既要分清运算种类，又要注意运算顺序，代入时通常有两种情况，即单独代入和整体代入.

（2）化简求值法：对于一些复杂的式子，不能直接代入求值时，要经过化简整理，才能求出代数式的值. 考点/易错点1

代数式的特点：

（1）代数式是用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子;一般来讲，这里的运算是指加，减，乘，除，乘方和开方 如，23a b +

（2）单独的一个字母或一个数也是代数式;如，a ,-15,0

（3）代数式中不含“=”、“>”、“<” 、“≠”等符号。如，230x +>不是代数式，但

23x +是代数式

考点/易错点2

（1）列代数式时，应将题目中的每一个未知量都用同一个字母或几个字母表示出来 （2）题目中给出的字母千万不要忽视，要将它看成已知条件，逐字逐句地分析题意，将每一个量都用字母或具体的数字表示出来，这样，要列的代数式也就不难列出了. 考点/易错点3

求代数式的值时，特别要注意字母的取值为负数或分数时，要适当加上括号.

三、例题精析

【例题1】 【题干】填一填

（1）一个三位数的百位上的数字为a ，十位上比百位上的数字多1，个位上的数字比十位上的数字多1，则这个三位数为___________.

（2）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每用户用水不超 过12吨，按每吨a 元收费；若超过12吨，则超过部分按每吨2 元收费，没超过部分仍按每吨a 元收费，如果某用户9月份用水20吨，则应缴纳水费为___________元.

（3）有甲种糖17kg ，每千克x 元；有乙种糖5kg ，每千克y 元.现将这两种糖混合在一起，则混合糖每千克的价格应为____________元.

（4）托运行李p 千克（p 为整数）的费用为c （元）.已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需加费用5角，则用含p 的代数式表示托运行

李费用c 的表达式是__________. 【答案】11112a +；1216a +；

17522

x y

+；c=2＋0.5(p －1)(p≥1且p 为整数) 【解析】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．书写代数式的时候，字母与字母相乘时，乘号要省略不写，除号用分数线代替． 【例题2】

【题干】说出下列代数式的意义：

（1）()23a +表示__________________；

（2）2

2

a b +表示___________________；

（3）1

1n n +-表示_____________________； （4）c ab

表示______________________；

（5）

x

x y

-表示___________________. 【答案】（1）2与3a +的积 （2）a 、b 的平方的和 （3）1n +除以1n -的商 （4）c 除以ab 的商

（5）x x y -与（）的商

【解析】说出下列代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点． 【例题3】

【题干】设x 表示一个数，用代数式表示：

（1）比这个数的

1

2

大5的数的20% （2）这个数的2倍与这个数的立方的差 （3）这个数与这个数的30%的比 【答案】（1）120%52x ??

+

???

（2）32x x - （3）

30%x x

【解析】本题考查的是代数式的书写，注意要严格按照规范去书写，特别要注意乘法和除法的书写要求. 【例题4】

【题干】求代数式332x y x y x ++-的值，其中133

x y =--，＝ 【答案】解：将1

33

x y =--

，＝代入到332x y x y x ++-中，得： ()()3

3

11323333??

-?-+?-+-+ ???

=3

183633??

?-+ ???

=8163

-+ =12

3

- 【解析】本题主要考查代数式求值问题和有理数的计算.只需将已知代入代数式即可,但要注意步骤. 【例题5】

【题干】已知3a b -=，4a c -=-，则2a b c --=_________. 【答案】解：2341a b c a a b c a b a c --=+--=-+-=-=-

【解析】解决本题的技巧在于观察出2a b c a a b c --=+--，通过变形进而得出代数式

2a b c --的值.通过此题可以培养孩子的观察和解决问题的能力.

【例题6】

【题干】代数式2

346x x -+的值为9，则2

4

63

x x -

+的值为多少？ 【答案】解：∵2

346x x -+=9 ∴2

34x x -=3 ∴2

463x x -

+=()213463x x -+=1

3673

?+= 【解析】解决本题的关键在于先求出2

34x x -的值，然后观察发现所求的式子2

4

63

x x -

+=

()21

3463

x x -+，从而得出结果. 【例题7】

【题干】如图，在正方形ABCD 中，画2个半径为a 的四分之一圆，用代数式表示阴影部分

的面积（结果保留π）． 【答案】解：根据题意得：

()=2ABCD ABC S S S -?正方形阴影部分扇形

= 2

2

1()24a a π-

? = 2

2122

a a π-

【解析】本题主要考查了正方形与扇形的面积，解此题的关键是如何把阴影部分的面积转换成正方形和扇形的面积，题目较好．

四、课堂运用

【基础】 1. 填一填：

（1）一支圆珠笔a 元，5 支圆珠笔共__________元。 （2）“a 的3倍与 b 的

3

4

的和”用代数式表示为____________。 （3）比a 的2倍小3的数是___________。

（4）某商品原价为a 元，打7折后的价格为____________元。

（5）一个圆的半径为r ，则这个圆的面积为____________。 2. 说出下列代数式的意义： （1）3a b - （2）21

2

a b - 3. 用代数式表示：

（1）x y 和两数的和的平方

（2）一张贺卡的价格为 2 元，元旦前，小明用自已的零花钱买了 m 张贺卡送给同学，则小明一共花了多少钱？

（3）一个长方形的周长是 30cm ，若长方形的一边长为acm ，则该长方形的面积是多少？

（4）某工厂第一个月的生产量是a ，以后平均每月增长 10％，问第三个月的产量是多少？

4. 求代数式的值：

（1）已知：12,3a b ==，求

2a b

a b

+-的值 （2）当12x =，25y =-时，求2

342

x y -的值

5. 已知：4a b +=，1ab =，求232a ab b ++的值。

6. 写一个只含有字母a 的代数式，使得这个代数式不论a 取什么值，代数式的值总是负数，你写的代数式是___________．

7. （2012?翔安区模拟）已知代数式a b +的值等于4，则代数式22a b +的值为_______． 8. 根据下表中x 的值和它对应的代数式的值，可确定该代数式应是（ ）

A ．x+2

B ．2x-3

C ．3x-10

D ．-3x+2 【巩固】

1. 随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某种品牌电脑原售价为n 元，现按原售价降低m 元后，又降低10%，那么该电脑的现售价为________元．

2. 已知代数式2x y -的值为3．

（1）求代数式423x y --的值为_________； （2）求代数式32

y

x -+

的值． 3. 若代数式2

x 的值和代数式21x y +-的值相等，则代数式2

9222y x x -++（）的值是（ ） A ．7

B ．4

C ．1

D ．不能确定

4. 请写出一个代数式，同时满足下列两个条件： ①无论x 取何值，代数式的值都为非负数； ②当x =4时，代数式的值为16，

你写的代数式是________．

5. 甲、乙两人从学校出发沿同一条路去书店，甲走出500米后，乙才出发追甲，已知乙的速度比甲快a米/秒．

（1）试用代数式表示乙需要多少时间才能追上甲．

（2）当a=0.8时，求乙赶上甲所用的时间．

6. 某种商品原价m元，第一次降价a%，第二次在第一次降价后的基础上再降价a%，用代数式表示两次降价后的价格．

的价格．

7. 如图，边长为a的正方形工件，四角各打一个半径为r的圆孔．

（1）用代数式表示阴影部分面积；

（2）当a=25cm，r=4cm时，阴影部分面积是多少？（结果保留π）

8. 现代营养学家用身体质量指数来判断人体的健康状况，这个指数等于人体质量（千克）除以人体身高（米）平方的商，一个健康人的身体质量指数在20～25之间；身体质量指数低于18，属于不健康的瘦，身体质量指数高于30，属于不健康的胖．

（1）设一个人的质量为w（千克），身高为h（米），求他的身体质量指数；

（2）李老师的身高为1.75米，质量是60千克，求他的身体质量指数；

（3）计算一下你本人的身体质量指数（四舍五入到整数），你的身体健康状况属于哪种？

【拔高】

1. （2011?清流县质检）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中

a=______的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则

n

（用含n的代数式表示）．

2. 某餐厅中，一张桌子可坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式：

（1）当n 张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？

（2）按上图的方式拼桌，要使拼成一张大餐桌刚好能坐160人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？

（3）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？

课程小结

1.理解代数式的概念

2.掌握代数式的规范写法

3.理解列代数式的意义

4.掌握列代数式的步骤

5.会求代数式值，并掌握求代数式值的方法

课后作业

【基础】

1. 在下列各式0，1

a

，x -，1x ≤-，

30a b +=，43x y -，c 中，不属于代数式的是________ 2. 若代数式23x y +的值是3，则代数式4106x y -+的值是（ ） A ．-4 B ．2 C ．2或-12 D ．-12

3. 用代数式表示： （1）x 的平方减去2的差 （2）用代数式表示a 与b 的和 （3）a 、b 两数的平方和

4. 设甲数为a ，乙数为b ，用代数式表示：

（1）甲数的

13与乙数的1

2

的差 （2）甲、乙两数的平方的差 （3）甲、乙两数的差的平方

5. 如图，为做一个试管架，在a （cm ）长的木板上钻4个圆孔，每个圆孔的直径为2cm ，则x 等于_________

6. “x ，y 两数的平方和加上它们积的2倍”用代数式表示为：___________，当x =2，y =-3时，求这个代数式的值；

7. 已知代数式的2

35x x ++的值等于7，则代数式2

392x x ++的值__________． 8. m 平方的3倍与4的差，用代数式表示为2

34m -；当m =2时，此代数式的值是______． 【巩固】

1. 当x=6，y=-1时，代数式?13(x+2y)+2

3y 的值是（ ） A ．-5 B ．-2

C ．?23

D ．23

数式的值时不要忘记运算符号的运用．

2. 在如图所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数n=_________．

3. 下图是一个数值转换机的示意图，请你用x 、y 表示输出结果，并求输入x 的值为3，

y

的值为-2时的输出结果．

4. 已知：1x x +=3,求代数式2

115x x x x ?

?+--- ??

?的值

5. 将连续的自然数1至36按如图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a ，用含有a 的代数式表示这9个数的和为________．

6. 用代数式表示阴影部分的面积．

7. 按要求列代数式：

（1）写出一个含有字母a 的代数式，当a =-2时，代数式的值为8

（2）写出一个含有字母a 的代数式，使字母a 不论取什么值，这个代数式的值总是非负数． 8. （1）用代数式表示：“a 、b 两数的平方和减去它们乘积的2倍”； （2）当a ＝?1

2

，b =3时，求（1）中代数式的值． 【拔高】

1. 已知：观察下列等式：2

2

2

2

2

2

394140148525025664604?=-?=-?=-，，…请你把发现的规律用字母表示出来m ×n=________

2. 小李家住房结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，则他至少需要买多少平方米的木地板（用字母表示）？若x =3米，y =2米时，并且每平方米木地板的价格是185元，则他至少需要准备多少元钱？

错题总结