2016年全国高中数学联赛福建省预赛试卷及答案

2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）

预赛试卷参考答案

（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．若函数()3cos()sin()63f x x x π

πωω=+

--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π??

????

，上的最大值为 。

2．已知集合{}2320A x

x x =

-+≤，13B x a x ??=

，

若A B ?，则实数a 的取值范围为 。

3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为 。

4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1B AC D --的大小为 。

5．在空间四边形A B C D 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则

A C

B D

?=uu u r uu u r

。

6．已知直线l 过椭圆C ：2

212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为 。

7．已知z C ∈，若关于x 的方程2

3

204

x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值为 。

8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。（用数字作答）

9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1)f x f x x +-≤+，

(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则

(2016)

2016

f = 。

10．当x ，y ，z 为正数时，

222

4xz yz

x y z +++的最大值为 。

C 1

B 1

D 1

C

A

B D A 1

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）

。（1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）设11(1)

n n b a n n =

-+，n T 是数列{}n b 的前n 项和，

求正整数k ，使得对任意*

n N ∈均有k n T T ≥； （3）设1

1(1)(1)

n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ<成立，

求λ的最小值。

12．已知2()ln()f x ax b x =++（0a ≠）。

（1）若曲线()y f x =在点(1(1))f ，

处的切线方程为y x =，求a ，b 的值； （2）若2()f x x x ≤+恒成立，求ab 的最大值。

13．如图，O ⊙为ABC △的外接圆，DA 是O ⊙的切线，且DBA ABC ∠=∠，E 是直线DB 与O

⊙的另一交点。点F 在O ⊙上，且BF EC ∥，G 是CF 的延长线与切线DA 的交点。求证：

AG AD =。

14．如图，1F 、2F 为双曲线C ：2

214x y -=的左、右焦点，动点00()P x y ，（01y ≥）在双

曲线C 上的右支上。设12F PF ∠的角平分线交x 轴于点(0)M m ，

，交y 轴于点N 。 （1）求m 的取值范围；

（2）设过1F ，N 的直线l 交双曲线C 于点D ，E 两点，求2F DE △面积的最大值。

F

D O

A

B

C

E G

（第13题）

15．求满足下列条件的最小正整数n ：若将集合{}123A n =L ，，，，任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合A ）1A ，2A ，3A ，…，63A ，则总存在两个正整数x ，y 属于同一个子集i A （163i ≤≤）且x y >，3132x y ≤。

答案详解

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）

1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππ

ωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间

02π??

????

，上的最大值为

。 【答案】 【解答】∵ ()3c o

s ()s i n (

)3c o s ()s i n ()

6

3

662

f x x x x x π

π

πππ

ωωωω=+--=+-+-

3cos()cos()4cos()666

x x x π

π

π

ωωω=+++=+，且()f x 的最小正周期为π。

∴ 2ω=，()4cos(2)6f x x π=+。又02x π??

∈????

，时，72666x πππ≤+≤，

∴ 26

6x π

π

+

=

，即0x =时，()f

x 在区间02π??

????

，上取最大值 2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a

x ?

?

=

，若A B ?，则实数a 的取值范围为 。

【答案】 1

()2

-+∞， 【解答】{}12A x x =≤≤。由13a x <-，得3103

ax a x -++<-。 ∴ 0a =时，{}3

B x x =<。满足A B ?。

0a >时，由3103ax a x -++<-，得1

(3)03x a x -+>-，133B x x x a ??

=<>+

???

?

或。满足A B ?。

0a <时，由3103ax a x -++<-，得1

(3)03x a x -+<-，133B x x a ??=+<

得131a +

<，1

02

a -<<。 综合得，12a >-。a 的取值范围为1

()2

-+∞，

。

3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为 。 【答案】 1

【解答】 ∵ ()2l n 2(2l n f x x x

x x x x '=++=+。 3

2

0x e

-

<<时，()0f x '<；32

x e

-

>时，()0f x '>。

∴ ()f x 在区间32

(0)e -，上为减函数，在区间32

()e -+∞，上为增函数。

又32

0x e

-<<时，31

ln 11022

x +<-+=-<，2()(ln 1)20f x x x =+-<；

3

32

3

()(1)202

f e

e --=-+-<，2()220

f e e =->。

∴ 函数()f x 的零点个数为1。 或：作图考察函数ln y x =与22

1y x

=-图像交点的个数。

4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1B AC D --的大小为 。 【答案】 120?

【解答】设正方体棱长为1。作1B E AC ⊥于

E ，连结DE 。 由正方体的性质知，11A DC A BC △≌△。

∴ 1D E A C ⊥， BED ∠为二面角1B AC D --的平面角，

且BE DE ==

BD = ∴

222

1cos 2BED +-∠=

=-。 ∴ 二面角1B AC D --的大小为

120?。 或：设AC 、BD 交于点O ，由60BEO ∠=?，得120BED ∠=?。

5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则

A C

B D ?=uu u r uu u r 。

C 1

B 1

D 1

C

A

B D A 1

E

C 1

B 1

D 1

C

A

B D A 1

（第4题）

【答案】 7

【解答】 以AB uu u r ，BC uu u r ，CD uu u r

为基底向量。则AD AB BC CD =++uuu r uu u r uu u r uu u r 。

∴ 22

()AD AB BC CD =++uuu r uu u r uu u r uu u r ，

即 2222222AD AB BC CD AB BC AB CD BC CD =+++?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 。

∴ 2549162(A B B C A B C D B C C

D =+++?+?+?uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r

， ∴ 2A B B C A B C D B C C D ?+?+?=-u uu r u uu r u uu r u uu r u uu r u uu r 。

∴ ()()A C B D A B B C B C C D

?=+?+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 297AB BC AB CD BC CD BC BC =?+?+?+?=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

。

6．已知直线l 过椭圆C ：2

212

x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。O 为坐标原

点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为 。

【答案】

3

【解答】 (10)F -，。显然x 轴不符合要求。设直线AB 方程为1x ty =-。

由22

1

12x ty x y =-???+=??，得22(2)210t y ty +--= ………… ① ①的判别式大于0。设11()A x y ，，22()B x y ，，则12222t y y t +=+，12

21

2

y y t -=+。 由OA OB ⊥，得

22

12121212121222(1)2(1)(1)(1)()11022

t t x x y y ty ty y y t y y t y y t t t -++=--+=+-++=-?+=++。

∴ 222(1)220t t t -+-++=，21

2

t =

。 ∴ 点O 到直线AB

=

=

。

7．已知z C ∈，若关于x 的方程23

204

x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的

B

D

C

A

模z 的最小值为 。

【答案】 1

【解答】设z a bi =+（a ，b R ∈），0x x =是方程23

204x zx i -++=的一个实数根。

则2

032()04

x a bi x i -+++=。 ∴ 2

0003204

210

x ax bx ?-+=???-+=?L L L L L L ①②。 由②得，012x b =，代入①，得211320424a b b -?+=，2

3410b ab -+=，2314b a b

+=。

∴ 22

2

2

22

22

31251353()141616888b z a b b b b b +=+=+=++≥+=，

当且仅当5

b =±成立。

∴ z 的最小值为1。

（5a =

，5b =

或5a =-

，5

b =-

，即()55z =±+）

。

8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。（用数字作答）

【答案】 216

【解答】 ∵ 将16分解成4个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：

1612310=+++，161249=+++，161258=+++，161267=+++，161348=+++，161357=+++，161456=+++，162347=+++，162356=+++。

∴ 符合条件的不同分配方法有4

49216A =种。

9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1)f x f x x +-≤+，

(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则

(2016)

2016

f = 。 【答案】 504

【解答】 ∵ 对任意x R ∈，(4)()2(1)f x f x x +-≤+，

∴ [][][](12)()(12)(8)(8)(4)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-

[][]2(8)12(4)12(1)6306(5)x x x x x ≤+++++++=+=+ 又 (12)()6(5)f x f x x +-≥+， ∴ (12)()6(5)f x f x x +-=+。

∴ [][][](2016)(2016)(2004)(2004)(1992)(12)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+L

(20095)168

620096199765100861008100810082

+?=?+?++?+=?

+=?L 。

∴ (2016)1008

50420162

f ==。

10．当x ，y ，z 为正数时，

222

4xz yz

x y z +++的最大值为 。

【答案】

【解答】 ∵ 2216

17x z +

≥，当且仅当x z =

时等号成立，

221

17y z +

≥，当且仅当y z =

时等号成立。

∴ 2222

222161612

()()(4)

1716717x y z x z y z xz yz ++=+

++≥+=+。

∴

222

42x z y z x y z +≤++，当且仅当x z =，y z =，即41x y z =：：立。

∴

2224x z y z x y z +++。

注：本题利用待定系数法。将2z 拆成两项2z λ和2(1)z λ-。由22x z λ+≥，

22(1)y z λ+-≥4

1

=，得1617λ=。由此得到本题的解法。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）

11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。 （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）设11

(1)

n n b a n n =-

+，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥；

（3）设1

1

(1)(1)n n n n a c a a ++=

++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ<成

立，求λ的最小值。

【解答】（1）由22n n S a =-，得1122n n S a ++=-。两式相减，得1122n n n a a a ++=-。 ∴ 12n n a a +=，数列{}n a 为等比数列，公比2q =。 由又1122S a =-，得1122a a =-，12a =。

∴ 2n n a =。 ……………………………… 5分 （2）111(1)12(1)(1)2n n n n n b n n n n +??

=

-=-??++??

。 由计算可知，10b =，20b >，30b >，40b >。 当5n ≥时，由

11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>，得当5n ≥时，数列(1)2n

n n +??

????

为递减数列。于是，5n ≥时，

5

(1)5(51)

122n n n +?+≤<。 ∴ 5n ≥时，1(1)10(1)2n n n n b n n +??

=

-

。 因此，1234T T T T <<<，456T T T >>>L 。

∴ 对任意*n N ∈均有4n T T ≥。故4k =。 ……………………………… 10分

（3）∵ 11

111211

2()(1)(1)(12)(12)2121n n n n n n n n n a c a a +++++===-++++++ ……… 15分

∴ 1

11

11

111

11122

2()()()2()35

5921

2132132

1

n n n n n R +++??

=-+-++

-=-=-??++++??

L 。 ∵ 对任意*n N ∈均有n R λ<成立， ∴ 23λ≥。λ的最小值为2

3

。 …………………… 20分

12．已知2()ln()f x ax b x =++（0a ≠）。

（1）若曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程为y x =，求a ，b 的值； （2）若2()f x x x ≤+恒成立，求ab 的最大值。 【解答】（1）()2a

f x x ax b

'=

++。 依题意，有(1)21(1)ln()11

a f a b

f a b ?'

=+=?

+??=++=?。解得，1a =-，2b =。 ∴ 1a =-，2b =。 …………………………………… 5分 （2）设2()()()g x f x x x =-+，则()ln()g x ax b x =+-，()0g x ≤。

① 0a <时，()g x 定义域()b

a

-∞-，， 取0x 使得0ln()1b

ax b a

+=-+，得10b a

e b

b x a

a

-

+-=

<-

。 则0000()ln()ln()()(1)10b b b

g x ax b x ax b a a a

=+->+--=-++=>与()0g x ≤矛盾。

∴ 0a <时，()0g x ≤不恒成立，即0a <不符合要求。 ……………… 10分

② 0a >时，()

()1a b

a x a

a g x ax b

ax b

---

'=

-=++（0ax b +>）。 当b a b x a a --

<<时，()0g x '>；当a b x a

->时，()0g x '<。 ∴ ()g x 在区间()b a b a a --，

上为增函数，在区间()a b

a -+∞，上为减函数。 ∴ ()g x 在其定义域()

b a -+∞，上有最大值，最大值为()a b

g a

-。 由()0g x ≤，得(

)ln 0a b a b g a a a

--=-≤。 ∴ ln b a a a ≤-。 ………………………………… 15分 ∴ 22ln ab a a a ≤-。

设22()ln h a a a a =-，则()2(2ln )(12ln )h a a a a a a a '=-+=-。 ∴

0a <<()0h a '>

；a >()0h a '<。

∴ ()h a

在区间(0

上为增函数，在区间)+∞上为减函数。 ∴ ()h a

的最大值为22

e e

h e =-

=。

∴

当a =

b =

时，ab 取最大值为2e 。

综合①，②得，ab 的最大值为2

e

。 ………………………………… 20分

13．如图，O ⊙为ABC △的外接圆，DA 是O ⊙的切线，且DBA ABC ∠=∠，E 是直线DB 与O ⊙的另一交点。点F 在

F

O

A

B

C

E G

O ⊙上，且BF EC ∥，G 是CF 的延长线与切线DA 的交点。求证：AG AD =。

【解答】在ABC △和ABD △中，由DA 是O ⊙的切线知，

BAD BCA ∠=∠。又DBA ABC ∠=∠。

∴ A D B C A B ∠=∠。

………………………………… 5分 ∵ A 、B 、E 、C 四点共圆， ∴ 180CAB CEB ∠+∠=?。 ∴ 180ADE DEC ∠+∠=?。

∴ E C

D A ∥。 ……………………………… 10分 又BF EC ∥，

∴ E C

B F D G ∥∥。 由E

C ，BF 是O ⊙的两条平行弦知CF EB =。

∴ G C D E =，GF DB =。 ………………………………… 15分 又2GA GF GC =?，2DA DB DE =?。

∴ 22GA DA =，AG AD =。 ………………………………… 20分

14．如图，1F 、2F 为双曲线C ：2

214

x y -=的左、

右焦点，动点00()P x y ，（01y ≥）在双曲线C

上的右

（第13题）

支上。设12F PF ∠的角平分线交x 轴于点(0)M m ，，交y 轴于点N 。

（1）求m 的取值范围；

（2）设过1F ，N 的直线l 交双曲线C 于点D ，E 两点，求2F DE △面积的最大值。 【解答】（1

）依题意，1(0)F

，20)F 。 直线1PF

方程为y x =

；直线2PF

方程为y x =

。

即直线1PF

方程为000(0y x x y -=； 直线2PF

方程为000(0y x x y -=。

由点(0)M m ，

在12F PF ∠

=

由m <01y ≥，以及22

0114

y x =-，得0x ≥ ∴ 2

222000005(4(2)42y x x x ++=

++=+，22

200

0((2)2

y x x +=-。 ∴

=

04

m x =。 …………………………… 5分 结合0x ≥0

4

0x <

≤。 ∴ m 的取值范围为(

0。 …………………………………… 10分 （2）由（1）知，直线PM 方程为00

00

04

()4y y x x x x -=

--

。 令0x =，得0200414y y x y =-=--。故，点N 坐标为01(0)y -，。10()

l k --

==。 ∴ 直线l 方程为y x =。 由22

14

y x x y ?

=+????-=??，消x 得2

200(54)1010y y y y -++= …………… ①

① 的判别式222

0001004(54)80160y y y =--=+>△。

设11()D x y ，，22()E x y ，，则0122

01054

y y y y +=--，12201

54y y y =-。 ………… 15分 ∴

12

y y -==。 由01y ≥，得0122010054y y y y +=-

<-，122

01054

y y y =>-。 ∴ 10y <，20y <，

2121201

1

2

2F DE

S F F y y =?-=?△ 设2

054y t -=，则1t ≥，

2F DE S ===△ ∴ 1t =，即点P

为1)P 时，2F DE △

面积取最大值。

∴ 2F D E △

面积的最大值为。 ………………………… 20分

15．求满足下列条件的最小正整数n ：若将集合{}123A n =L ，，，，任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合A ）1A ，2A ，3A ，…，63A ，则总存在两个正整数x ，y 属于同一个子集i A （163i ≤≤）且x y >，3132x y ≤。

【解答】考虑模63的剩余类，即将集合A 划分为如下63个两两不相交的子集：

{}63i A a a k i k N ==+∈，，1i =，2，3，…，63。 ……………………… 5分

则对每一个i A （163i ≤≤）及任意的x ，i y A ∈（x y >）都有63x y -≥。 于是，63y x ≤-，x n ≤。

∴ 323132(63)313263y x

x x x n -≤--=-

?≤-。

若2016n <，则323120160y x n -≤-<，3132x y >，与3132x y ≤矛盾。

∴ 2016n <时，不满足题设条件。 …………………………… 10分 另一方面，当2016n =时，由20163263=?知，下列64个数：3163?，31631?+，

31632?+，…，316363?+都在集合A 中。

因此，对将{}123A n =L ，，，，任意划分为63个两两不相交的子集1A ，2A ，3A ，…，

63A 的划分方法，由抽屉原则知，3163?，31631?+，31632?+，…，316363?+这64个数中必有两个数x ，y （x y >）属于同一个i A 。 …………………………… 15分

设13163x x =?+，13163y y =?+，11630x y ≥>≥。

于是，1111313231(3163)32(3163)(3132)3163(3132)x y x y x y -=?+-?+=-+?-

1313163316331630x ≤-?≤?-?=。 ∴ 2016n =，满足题设的条件。

综上可知，满足题设条件的n 的最小值为2016。 …………………… 20分