教学设计1_集合的含义与表示

§1．1集合的含义与表示

人教版数学必修一第一章第一节

【教材分析】

1．知识内容与结构分析

集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，集合论以及它所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用．课本从学生熟悉的集合（自然数集合、有理数的集合等）出发，结合实例给出了元素、集合的含义，学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力．

2．知识学习意义分析

通过自主探究的学习过程，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

3．教学建议与学法指导

由于本节新概念、新符号较多，虽然内容较为浅显，但不应讲得过快，应在讲解概念的同时，让学生多阅读课本，互相交流，在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用．通过问题探究、自主探索、合作交流、自我总结等形式，调动学生的积极性．

【教学目标】

1．知识与技能

（1）学生通过自主学习，初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，了解集合元素的确定性、互异性，无序性，任意性，知道常用数集及其记法；

（2）掌握集合的常用表示法——列举法和描述法．

2．过程与方法

通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言（如自然语言、图形语言、集合语言）描述不同的具体问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识．3．情态与价值

在掌握基本概念的基础上，能够解决相关问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识．

【重点难点】

1．教学重点：集合的基本概念与表示方法．

2．教学难点：选择合适的方法正确表示集合．

【教学环境】

◆多媒体教室

◆课件

【教学思路】

通过实例以及学生熟悉的数集，引入集合的概念，进而给出集合的表示方法，学生通过自我体会、自主学习、自我总结达到掌握本节课内容的目的．教学过程按照“提出问题——学生讨论——归纳总结——获得新知——自我检测”环节安排．

【教学过程】

一、导入新课

师：今天上课老师要考考大家语文学的怎么样了？谁能解释一下“物以类聚，人以群分”是什么意思呢？

学：

师：同学们的语文都学得很好！那老师现在又要考大家的数学知识了，在数学里我们把指定的所有的“物”聚在一起，或所有的“人”分在一起叫什么呢？

学：

师：回答不出来吗？没关系，因为你们还没学啊。在数学上，我们把它叫做集合。这就是

今天我们要一起学习的新的知识集合的含义及表示。

二．层层递进，探索新知

介绍一下集合的创始人康托，引起学生对数学课堂的兴趣。

（一）集合的含义

1、集合——由一些确定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。

集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．

{英文的26个字母}={a,b,c,d……z}，A={1,2,3,4,5} ，{我国的56个名族}，｛中国的直辖市｝

=｛北京，上海，天津，重庆｝

强调集合可以是字母，可以是事物，也可以是数字。

2.元素——集合中的每个对象叫做这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．

例如：A={1，2，3，4，5}，

1是集合A的元素,a=2是集合A的元素，6不是集合A的元素。

让学生练习说出集合里面的元素。

PPT上的内容。

注意：a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

3.元素与集合的关系：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了．

若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作 a∈A ；

若元素a 不在集合A 中，就说元素a 不属于集合A ，记作a A ．

例如：在上述的问题中，A={1,2,3,4,5}， ，5， 与集合A 的关系。 4.用一则幼儿园小朋友学集合的笑话巩固强化学生集合的知识。

幼儿园的一名女教师在向幼儿园小朋友讲授集合的知识，她是这么说的：“咱们班的男生全都站起来。”男生都站起来了，女老师说：“咱们班的男生就是一个集合。”男孩子坐下，女老师又说：“女生都站起来。”女生都站起来了，女老师说：“咱们班的女生就是一个集合。”女生坐下了，老师就问；“小朋友们你们说你们坐的的椅子是集合吗？”小朋友们异口同声的说：“不是，椅子不会站起来！”小朋友的回答对吗？集合有什么特征吗？难道真的是椅子不会站起来才不属于集合吗？我们来看看学习集合的特征。

5.集合的三大特征

（1）确定性；要是确定的对象，集合中的元素必须是确定的

例：（1）{我们班的女生}（2） {中国古代的四大发明}={指南针，造纸术，印刷术，火药}（3）{美女和帅哥}

（2）互异性；集合中的元素必须是互不相同的。如果出现了两个或两个以上相同的元素就只能算一个。 例：{1,1}是不对的，要写成{1}，{苹果，菠萝，西瓜，苹果}要改成{苹果，菠萝，西瓜}

现学现用。已知A={x,x2},且1∈A ，求x 。

解：因为1∈A ，则有x=1或者x2等于1.

①当x=1时，则x2等于1

与集合的互异性相矛盾，则x=1不成立。

②当x2=1，则x=±1，又因为x ≠1，则x=-1。

综上所述，x=-1

集合A={-1,1}

（3）无序性．集合中的元素是无先后顺序的．集合中的任何两个元素都可以交换位置．

从无序性引出集合相等的概念。

什么叫做集合相等？

只要构成两个集合的元素是一样的。

叫学生说一说一下两个集合分别有哪些元素？

A=｛1~20以内的质数｝

B=｛2，3，5，7，11，13，17，19｝

得出A=B

注意：让学生知道任意元素也可以组成集合。

让学生练习：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由

（1） 地球上的四大洋

27

2

（2）中国的小河流

（3）{1，x, x^2}

（4）大于3小于11的偶数。巩固集合的知识

6.的常用表示法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法．

例(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x^2=x的所有实数根组成的集合；

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。

2、描述法：描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，写成{x︱特征性质}的形式。

1.数式形式如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，可表示为 {x│x-3＞2}；

由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合，可表示为 {（x，y）│ y=x+1 }。

2、语言形式如由所有直角三角形组成的集合，可表示为{直角三角形}；由所有小于6的正整数组成的集合，可表示为 {小于6的正整数}

例：试分别用列举法和描述法表示下列集合

(1)方程x^2-2=0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有的数组成的集合。

让学生思考结合此例,试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点和适用的对象。从而引出集合的分类。

7．集合的表示方法

有限集——含有个元素的集合叫有限集。例：{-1，0，1}

无限集——含无限个元素的集合叫无限集．例：{x|x-3>0}

空集——不含有任何元素的集合叫做空集．记作?．例：{x^2+x+1>0}

强调空集是有限集。并告诉学生{0}不是空集，是由一个0元素组成的集合。不能混淆0和空集的含义8.介绍重要的数集

自然数组成的集合简称自然数集，记作N ；（自然数就natural就是N）

正整数组成的集合简称正整数集，记作N+ ；

整数组成的集合简称整数集，记作Z ；（整数整数，拼音里面就Z打头的）

有理数组成的集合简称有理数集，记作Q ；（有理数可以想成有尾巴，字母里面只有Q是有尾巴的，方便学生的记忆）

实数组成的集合简称实数集，记作R．

学生会有疑问那无理数有自己的符号吗？我们可以说在学过以后的知识，我们能通过实数和有理数

表示无理数。

三．典型例题，分析讲解

1.已知A=｛a-2,2a2+5a,10｝,且-3∈A，求a

2.若A=｛x|x=3n+1,n ∈Z｝, B=｛x|x=3n+2,n ∈Z｝C=｛x|x=6n+3,n ∈Z｝（1）若c ∈C，问是否有a ∈A，b ∈B，使得c=a+b；

（２）对于任意a ∈A，b ∈B，是否一定有a+b ∈ C ？并证明你的结论；

问学生们第一题考的是什么知识点？

第二题理解属于的含义

四．课堂小结

1集合的概念；常用数集的记法；

2.集合元素的性质：确定性，互异性，无序性；

3.集合的表示方法：描述法和列举法。

4、集合的分类

五、作业布置

1、P6 A组题：

2、

3、4

2、思考：P6 B组题

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