圆锥曲线压轴题含答案

1. 已知点100(,)P x y 为双曲线

1(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ．（1）求线段12PP 的中点P 的轨迹E 的方程；

（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN

2. 如图，已知圆G ：2

(2)x y r -+=是椭圆2

216

x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．

（1）求圆G 的半径r ；

（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．

3. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，

上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ??

???

，．（1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方程；

（2）求证：A M B 、、三点共线．

4. 作斜率为13的直线l 与椭圆22

:1364

x y C +=交于,A B 两点（如图所示），

且P 在

直线l 的左上方.

（1）证明：PAB ?

的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60o

APB ∠=，求PAB ?的面积.

5. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为2

，x 轴被曲线22:C y x b =-截得

的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E . ①证明：MD ME ⊥；

②记MAB ?,MDE ?的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得1217

S S =？请说明理由.

6. 已知抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上；

（2）设8

FA FB = ，求BDK ?的内切圆M 的方程 .

7. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线22

22:1(0,0)x y E a b a b -=>>上一点，,M N 分别是双曲线

E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为1

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双

曲线上一点，满足OC OA OB λ=+

，求λ的值.

8.已知以原点O

为中心，F 为右焦点的双曲线C

的离心率e =（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．

1.解：（1）由已知得，

则直线的方程为：，

令得，

即，

设，则，

即代入得：，

即P的轨迹E的方程为。

（2）在中令得，则不妨设，于是直线QB的方程为：，

直线QD的方程为：，

则，

则以为直径的圆的方程为：，

令得，

而在上，

则，

于是，

即以MN为直径的圆过两定点。

2.解：（1）设B，过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H，

由得，即，①

而点B在椭圆上，，②由①、②式得，解得或（舍去）；

（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx，③则，即，④

解得，

将③代入得，

则异于零的解为，

设，

则，

则直线FE的斜率为：，

于是直线FE的方程为：，即，

则圆心（2，0）到直线FE的距离，故结论成立。3..解：（1）垂线AN的方程为：，

由得垂足，

设重心G（x，y），

所以，解得，

由，可得，

即为重心G所在曲线方程。

（2）设，

由已知得到，且，

设切线PA的方程为：，

由得，从而，

解得，

因此PA的方程为：，

同理PB的方程为：，

又在PA、PB上，所以，

即点都在直线上，

又也在直线上，

所以三点A、M、B共线。

4.（1）设直线：，．

将代入中，化简整理得

．

于是有，．则

，

上式中，

分子

，

从而，．

又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上．

（2）若时，结合（1）的结论可知．

直线的方程为：，代入中，消去得

．

它的两根分别是和，所以，即

．所以．同理可求得

．所以

6.解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，-y1），l的方程为x=my-1（m≠0）将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0

从而y1+y2=4m，y1y2=4 ①

直线BD的方程为

即

令y=0，得

所以点F（1，0）在直线BD上；

（2）由①知，x1+x2=（my1-1）+（my2-1）=4m2-2，x1x2=（my1-1）（my2-1）=1 因为

（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+4=8-4m2

故8-4m2=，解得m=

所以l的方程为3x+4y+3=0，3x-4y+3=0

又由①知

故直线BD的斜率

因而直线BD的方程为

因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M（t，0）（-1＜t＜1），M（t，0）到l及BD的距离分别为

，由得或t=9（舍去）

故圆M的半径

所以圆M的方程为。

7.解：（1）已知双曲线E：，

在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，

所以M（-a，0），N（a，0），

直线PM，PN斜率之积为，

而，比较得；

（2）设过右焦点且斜率为1的直线L：y=x-c，交双曲线E于A，B两点，

则不妨设，

又，点C在双曲线E上：

，①

又联立直线L和双曲线E方程消去y 得：，

由韦达定理得：，，

代入①式得：或λ=-4。

解：（1）设C的标准方程为（a，b>0），

则由题意，

又

因此a=2，

C的标准方程为

C的渐近线方程为

即x-2y=0和x+2y=0。

（2）如图，由题意点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有x1x E+4y1y E=4，x2x E+4y2y E=4，

故点M，N均在直线x E x+4y E y=4上，

因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4

设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及

解得，

故

因为点E在双曲线上，有所以。