傅里叶级数课程及习题讲解
第15章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一 基本内容
一、傅里叶级数 在幂级数讨论中
1
()n
n n f x a x ∞
==∑，可视为()f x 经函数系
21, , , , , n x x x L L 线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}n
x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数
系作为基，就得到傅里叶级数．
1 三角函数系
函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．
(1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于
零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．
对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为
(),()()()d b
n m n m a
u x u x u x u x x
=??，
如果
0 (),() 0 n m l m n
u x u x m n ≠=?=?
≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于
1, sin 1sin d 1cos d 0
nx nx x nx x ππ
π
π
--=?=?=??；
sin , sin sin sin d 0 m n
mx nx mx nx x m n ππ
π-=?=?=?
≠??；
cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ
π-=?=?=?
≠??；
sin , cos sin cos d 0
mx nx mx nx x ππ
-=?=?
；
2 1, 11d 2x ππ
π
-==?，
所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．
利用三角函数系构成的级数
()01
cos sin 2n n n a a nx b nx ∞
=++∑
称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数
2 以2π为周期的傅里叶级数
定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，
1
1
(),cos ()cos d k a f x kx f x kx x
π
π
π
π
-=
=?
0,1,2,k =L ；
1
1
(),sin ()sin d k b f x kx f x kx x
π
π
π
π
-=
=
?
1,2,k =L ，
称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数
()01
cos sin 2n n n a a nx b nx ∞
=++∑
称为()f x 的傅里叶级数，记作
()f x ～()
01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞
=++∑．
这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知
其是否收敛于()f x ．
二、傅里叶级数收敛定理
定理1 若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则
()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-++=∑， 其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．
定义2 如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若
[,),(0),(0)x a b f x f x '?∈++存在；
(,],(0)x a b f x ?∈-，(0)f x '-存在，
且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．
几何解释如图．
按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个
第一类间断点与角点．
推论 如果()f x 是以2π
]上按 段光滑，则x R ?∈，
有 ()
1
()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞
==++∑．
定义3 设()f x 在(,]ππ-上有定义，函数
() (,] ?()(2) (2,2],1,2,f x x f x f x k x k k k πππππππ∈-?=?
-∈-+=±±?L
称()f x 为的周期延拓．
二 习题解答
1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) (),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<；
解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得
011()d d 0
a f x x x x ππ
π
π
π
π
--==
=??
．
当1n ≥时，11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππ
ππππ--==??
11sin sin d 0
|x nx nx x n n π
πππ
ππ--=-=?，
1
1sin d d(cos )n b x nx x x nx n π
π
π
π
π
π---=
=
?
?
1
11
2
cos cos d (1)|n x nx nx x n n n π
πππ
ππ
+---=
+
=-?
，
所以
1
1sin ()2(1)n n nx
f x n ∞
+==-∑，(,)x ππ∈-为所求． (ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得
2200
11()d d 2a f x x x x πππ
π
π
==
=??
．
当1n ≥时，
2200
11cos d d(sin )
n a x nx x x nx n ππππ
==
??
2200
11
sin sin d 0
|x nx nx x n n π
πππ
=-
=?
，
220
1
1sin d d(cos )
n b x nx x x nx n ππ
π
π-=
=?
?
2200
11
2
cos cos d |x nx nx x n n n ππππ
--=
+
=
?
，
所以
1
sin ()2n nx
f x n π∞
==-∑
，(0,2)x π∈为所求． (2)
2
()(i) (ii) 02f x =x , -π 解：(i)、()2 f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下． 由系数公式得 2 2 01 1 2()d d 3a f x x x x π π π πππ π--= == ? ?． 当1n ≥时， 2211cos d d(sin ) n a x nx x x nx n ππ ππ ππ --== ?? 211sin 2sin d |x nx x nx x n n π πππ ππ--= -? 22d(cos )x nx n π π π-=? 222 224 cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ--=-=-?， 22 11sin d d(cos ) n b x nx x x nx n ππππ ππ---==?? 212cos cos d |x nx x nx x n n π πππππ---=+? 22d(sin )x nx n π π π-=? 2222sin sin d 0 |x nx nx x n n π πππ ππ--=-=?， 所以 2 21 sin ()4(1)3 n n nx f x n π∞ == +-∑，(,)x ππ∈-为所求． 解：(ii)()2 f x =x (0,2)x π∈ 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 2 222 00 1 1 8()d d 3a f x x x x ππππ π = = = ? ? ． 当1n ≥时， 222200 11cos d d(sin ) n a x nx x x nx n ππππ == ?? 22200 11sin 2sin d |x nx x nx x n n π πππ= -? 220 2d(cos )x nx n π π=? 22222 00224 cos cos d |x nx nx x n n n ππππ=-=?， 2222 00 11sin d d(cos ) n b x nx x x nx n ππππ-==?? 22200 12cos cos d |x nx x nx x n n π πππ-=+? 220 42d(sin ) x nx n n πππ=-+? 2222004224sin sin d |x nx nx x n n n n ππππ ππ=-+-=- ?， 所以222 14cos sin ()43n nx nx f x n n ππ∞ =??=+- ???∑，(0,2)x π∈为所求． (3) 0()(,0,0) 0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤?=≠≠≠?< 解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下． 由系数公式得 000 111 () ()d d d 2 b a a f x x ax x bx x ππ π π ππ π π ---== + = ?? ? ． 当1n ≥时， 020 11cos d cos d n a ax nx x bx nx x π π π π -=+ ?? 2[1(1)]n a b n π-=-- 00 1 1 sin d sin d n b ax nx x bx nx x π π π π -= + ? ? 1 (1)n a b n ++=- 所以2 1()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n x n ππ∞=--=+--∑ 1 1 sin ()(1)n n nx a b n ∞ +=++-∑，(,)x ππ∈-为所求． 2 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有 2 1 1 ()cos d ()cos d ,0,1,2,c n c a f x nx x f x nx x n π π π ππ+-== =??L ， 2 1 1 ()sin d ()sin d ,1,2,c n c b f x nx x f x nx x n π π π π π+-= = =? ?L ． 证：因为()f x ，sin nx ，cos nx 都是以2π为周期的可积函数，所以令2t x π=+有 21 1 ()cos d (2)cos (2)d(2)c c f x nx x f t n t t π π ππππππ-+= ---?? c+2 c+2 11()cos d ()cos d f t nt t f x nx x ππππππ==-??． 从而 2 1 ()cos d c n c a f x nx x π π +=? 2 1 1 ()cos d ()cos d c n c c a f x nx x f x nx x π ππ π +-= = ? ? c+2 1 1 ()cos d ()cos d f x nx x f x nx x π ππ π π π -++ ? ? 1 ()cos d f x nx x π π π-= ?． 同理可得 2 1 1 ()sin d ()sin d c n c b f x nx x f x nx x π π π π π+-= = ? ?． 3 把函数04 ()04x f x x ππππ?--<≤??=? ?≤ 11114357π=-+-+L ； (2) 111111357111317π=+--+-+L ； (3) 11111157111317=-+-+-+L ． 解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 00 111()d d d 0 44 a f x x x x ππ π πππ π ππ ---== + =??? ． 当1n ≥时， 1 1cos d cos d 0 44 n a nx x nx x π πππ ππ--=+ =??． 1 1 sin d sin d 44 n b nx x nx x π πππ ππ--= + ?? 1 1 211[1(1)]20 2n n k n n n k +?=+? =--=?? =?， 故 11 ()sin(21),(,0)(0,) 21n f x n x x n ππ∞ ==-∈--∑ U 为所求． (1) 取2x π= ，则111 14357π =-+-+L ； (2) 由11114357π=-+-+L 得 111112391521π=-+-+L ， 于是111111341257111317πππ=+=+--+-+L ； (3) 取 3x π = ，则1111114 57111317π ? = -+-+-+???L ， 所以11111 157111317=-+-+-+L ． 4 设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性． 解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-， 所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=，即()f x 是以2π为周期的函数． 于是由系数公式得 000 111 ()d ()d ()d a f x x f x x f x x ππ π π π π π --== + ?? ? 1 1 ()d ()d f t t f x x π π ππ π = -+ ? ? 1 1 (2)d ()d f t t f x x π π ππππ=-++?? 1 1 ()d ()d 0 f t t f x x π π πππ= ++ =? ? ． 当1n ≥时， 00 11()cos d ()cos d n a f x nx x f x nx x π π π π-=+ ?? 1 1 ()cos()d ()cos d f t nx n x f x nx x π π πππ π = +++ ? ? 101(1)()cos d n f x nx x ππ++-=? 02()cos d 2102f x nx x n k n k π π?=-? =??=? ?． 00 1 1 ()sin d ()sin d n b f x nx x f x nx x π π π π -= + ? ? 02()sin d 2102f x nx x n k n k π π?=-? =??=? ?， 故当()()f x f x π+=-时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =，20k b =． 5 设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性． 解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=， 所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得 000 111()d ()d ()d a f x x f x x f x x ππ πππππ--==+??? 00 11()d ()d f t t f x x ππ πππ=-+?? 00 11(2)d ()d f t t f x x ππ ππππ=-++?? 000 112()d ()d ()d f t t f x x f x x πππ ππππ=++=???． 当1n ≥时， 00 11()cos d ()cos d n a f x nx x f x nx x π π π π -=+ ?? 1 1 ()cos()d ()cos d f t nx n x f x nx x π π ππ π = ++ ? ? 1(1)()cos d n f x nx x ππ +-= ? 02()cos d 2021f x nx x n k n k π π?=?=??=-? ?． 00 1 1 ()sin d ()sin d n b f x nx x f x nx x π π π π -= + ? ? 02()sin d 2021f x nx x n k n k π π?=?=??=-? ?， 故当()()f x f x π+=时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=，210k b -=． 6 试证函数系cos , 0,1,2,nx n =L 和sin , 1,2,nx n =L 都是[0, ]π上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系． 证：就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx L L ， 因为n ?， 1,1d x π π ==?， 20 01cos ,cos cos d (cos21)d 22nx nx nx x nx x π ππ == +=??， 又 1,cos cos d 0 nx nx x π ==?； ,m n ?，m n ≠时， cos ,cos cos cos d mx nx mx nx x π =? 0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ = ++-=??． 所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx L L 在[0, ]π上是正交系． 就函数系{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx L L ， 因为n ?， 2 01sin ,sin sin d (1cos2)d 22nx nx nx x nx x π ππ ==-= ? ?， 又,m n ?，m n ≠时， sin ,sin sin sin d mx nx mx nx x π =? 0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ =- ++-=??． 所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx L L 在[0, ]π上是正交系． 但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,,sin ,cos ,}x x x x nx nx L L 不是 [0, ]π上的正交系． 实因：0 1,sin sin d 10 x x x π ==≠?． 7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) (),022x f x x ππ-= <<； 解：(),02 x f x x ππ -=<< 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 2200 1 1 ()d d 0 2 x a f x x x ππππ π -= = =? ? ． 当1n ≥时， 2200 11cos d d(sin ) 22 n x x a nx x nx n ππππππ --== ?? 2200 1 sin sin d 0 22|x nx nx x n n πππππ -= + =? ， 22001 1sin d d(cos ) 22n x x b nx x nx n π πππππ---= = ?? 220011 cos cos d 22|x nx nx x n n n πππππ-=--= ?， 所以 1 sin ()n nx f x n ∞ ==∑ ，(0,2)x π∈为所求． (2) ()f x x ππ=-≤≤； 解：()f x x ππ=-≤≤作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 因为02 ()02x x f x x x ππ-≤<==? ? ≤≤??， 所以由系数公式得 01()d a f x x π π π-=? 00sin d sin d 22x x x x ππ-=． 当1n ≥时， 0sin cos d sin cos d 22n x x a nx x nx x ππ-=+ 20 sin cos d 2(41)x nx x n ππ π==--． 0sin sin d sin sin d 022n x x b nx x nx x ππ-= +=． 所以 2 1 1 ()cos 41 n f x nx n ∞ == -，(,)x ππ∈-． 而x π=± 时，(0)(0) () 2f f f πππ±-+±+==±， 故 2 1 1 ()cos 41 n f x nx n π π ∞ == - -，[,]x ππ∈-为所求． (3) 2 (), (i) 02, (ii) f x ax bx c x x πππ=++<<-<<； 解：(i)由系数公式得 2001 ()d a f x x ππ =? 222 1 8()d 223a ax bx c x b c ππππ = ++=++? ． 当1n ≥时， 220 1()cos d n a ax bx c nx x π π =++? 22200 11 ()sin (2)sin d |ax bx c nx ax b nx x n n ππππ =+++ +? 24a n = ， 220 1()sin d n b ax bx c nx x π π =++? 22200 11 ()cos (2)cos d |ax bx c nx ax b nx x n n ππππ =-++- +? 42a n n ππ=-- ， 故22 4()3a f x ax bx c b c ππ=++=++ 21442cos sin ,(0,2)n a a b nx nx x n n ππ∞ =++-∈∑ 为所求． (ii)由系数公式得 01()d a f x x ππ π-=?22 12()d 23a ax bx c x c π πππ-= ++=+?． 当1n ≥时， 21()cos d n a ax bx c nx x π π π -=++? 211 ()sin (2)sin d |ax bx c nx ax b nx x n n π πππ ππ --= +++ +? 24(1)n a n =-， 21 ()sin d n b ax bx c nx x π π π-= ++? 211 ()cos (2)cos d |ax bx c nx ax b nx x n n π πππ ππ --=- ++- +? 1 2(1)n b n -=-， 故22 2()3a f x ax bx c c π=++=+ 21 42(1)cos (1)sin ,(,) n n n a b nx nx x n n ππ∞ =+---∈-∑为所求． (4) ()ch , f x x x ππ=-<<； 解：由系数公式得 01()d a f x x ππ π -=?12ch d sh x x ππ π π π -==?． 当1n ≥时， 1ch cos d n a x nx x π π π -=? 11ch sin sh sin d |x nx x nx x n n π πππ ππ--= -? 21sh d(cos )x nx n π π π-=? 2211sh cos ch cos d |x nx x nx x n n π πππ ππ--=-? 222sh 1 (1)n n a n n ππ=--， 所以 22sh (1)(1)n n a n π π=-+． 1 1ch sin d ch d(cos ) n b x nx x x nx π π π π π π ---= =? ? 11ch cos sh cos d |x nx x nx x n n π πππ ππ--=- +? 21sh d(sin )x nx n π π π-=? 2211sh sin ch sin d |x nx x nx x n n π πππ ππ--=-+? 2211sh sin ch sin d |x nx x nx x n n ππππππ--=-+?21 n b n =， 所以0n b =， 故 212 11()ch sh (1)cos 21n n f x x nx n ππ∞=?? ==+-?? +??∑， (,)x ππ∈-为所求． (5) ()sh ,f x x x ππ=-<<． 解：由系数公式得 01()d a f x x ππ π -=?1sh d 0 x x π π π -==?． 当1n ≥时， 1 sh cos d 0 n a x nx x π π π -= =? ． 1 1 sh sin d sh d(cos ) n b x nx x x nx π π π π π π ---= = ? ? 11sh cos ch cos d |x nx x nx x n n π πππ ππ--=- +? 121(1)sh ch d(sin ) n x nx n n π π πππ+-=-+? 122211(1)sh ch sin sh sin d |n x nx x nx x n n n π πππ ππππ+--=-+-? 1 221(1)sh n n b n n ππ+=--， 所以 12 2sh (1)(1)n n n x b n π+=-+， 故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nx n π π∞ +===-+∑， (,)x ππ∈-为所求． 8 求函数221()(362)12f x x x ππ=-+的傅里叶级数展开式并应用它推出22 116n n π∞ ==∑． 解：由22 4()3a f x ax bx c b c ππ=++=++ 21442cos sin ,(0,2) n a a b nx nx x n n ππ∞ =++-∈∑得 22 1()(362)12f x x x ππ=-+222326πππ=-+2 11cos n nx n ∞ =+∑ 211 cos n nx n ∞ ==∑，(0,2)x π∈． 而 2 (00)(20)6f f ππ+=-= ， 故由收敛定理得 2 2211(00)(20)11cos062n n f f n n ππ∞∞ ==++-===∑∑． 9 设()f x 为[],ππ-上光滑函数，()()f f ππ-=．且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数， ,n n a b '' 为 () f x 的导函数 () f x '的傅里叶系数．证明 00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-=L ． 证：因为()f x 为[],ππ-上光滑函数，所以()f x '为[],ππ-上的连续函数，故可积． 由系数公式得 1()d a f x x ππ π -''=?()1 ()()0f f πππ =--=． 当1n ≥时， 1 ()cos d n a f x nx x π π π-''=? 1 ()cos ()sin d | n n f x nx f x nx x nb π π π π π π --'= + =? ． 1 ()sin d n b f x nx x π π π -'= ? 1 ()sin ()cos d | n n f x nx f x nx x na π π π π π π --'= - =-? 故结论成立． 10 证明：若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑中的系数,n n a b 满足关系{} 33sup ,n n n n a n b M ≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数． 证：设 0()2a u x = ，()cos sin n n n u x a nx b nx =+，1,2,n =L ． 则0n ?≥，()n u x 在R 上连续，且 0()0u x '=，()sin cos n n n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续． 又x R ?∈，()sin cos n n n u x n a nx n b nx ' ≤+ n n n a n b ≤+ 2 2M n ≤． 而 2 2M n ∑收敛， 所以 () ()cos sin n n n u x nb nx na nx '=-∑∑在R 上一致收敛． 故设01 ()(cos sin ) 2n n n a s x a nx b nx ∞ ==++∑，则 1 1 ()(cos sin )()n n n n n s x na nx nb nx u x ∞ ∞ ==''=-+=∑∑ 且1 ()(cos sin ) n n n s x na nx nb nx ∞ ='=-+∑在R 上连续． §15. 2 以2l 为周期的函数的展开 一 基本内容 一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数 设()f x 是以2l 为周期的函数，作替换 lt x π= ，则 ()lt F t f π??= ? ??是以2π为周期的函数，且 ()f x 在(, )l l -上可积()F t ?在(,)ππ-上可积． 于是 () 01 ()cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞ =++∑:， 其中 1()cos d ,n a F t nt t πππ-=? 1()sin d n b F t nt t π ππ-=?． 令 x t l π= 得 ()()lt F t f f x π?? == ???， sin sin ,cos cos n x n x nt nt l l ππ==， 从而 01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=??++ ? ??∑:． 其中 1()cos , l n l n x a f x dx l l π-=? 1()sin l n l n x b f x dx l l π-=?． 上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有 01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x n x n x a b l l ππ∞=++-?? =++ ? ??∑． 其只含余弦项，故称为余弦级数． 同理，设()f x 是以2l 为周期的奇函数，则 ()cos f x nx 奇，()sin f x nx 偶． 于是 1()cos d 0l n l n x a f x x l l π-= =?， 012()sin d ()sin d l l n l n x n x b f x x f x x l l l l ππ-==??． 从而 01()sin 2n n a n x f x a l π∞=+∑: 其只含正弦项，故称为由此可知，函数 (),(0,)f x x l ∈ 要展开为余弦级数必须作偶延拓． 偶延拓 () (0,) ()() (,0)f x x l f x f x x l ∈?=? -∈-?%函数(),(0,)f x x l ∈要展 开为正弦级数必须作奇延拓． 奇延拓 () (0,) ()() (,0)f x x l f x f x x l ∈?=? --∈-?%． 二 习题解答 1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1) ()cos f x x =(周期π)； 解：函数()cos f x x = ,22x ππ??∈-?? 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦 级数． 因 2l π = ，所以由系数公式得 2200 2 2 4 4 cos d cos d a x x x x π π ππ π π- = = = ? ? ． 当1n ≥时， 22 2 cos cos 2d n a x nx x π ππ - = ? 20 4 cos cos 2d x nx x π π= ? 20 2 [cos(21)cos(21)]d n x n x x π π= ++-? 22 0011sin(21)sin(21)(21)(21)||n x n x n n π π ππ=++-+- 1(1)2(1)2 (21)(21)n n n n ππ+-?-?=+ +-124(1)(41)n n π+=--． 22 2 cos sin d 0 n b x nx x πππ- = =? ． 故 1 21 2 4 1()cos (1)cos241 n n f x x nx n π π ∞ +=== + --∑， (,)x ∈-∞+∞为所求． (2) ()[]f x x x =-(周期1)； 解：函数()[]f x x x =-， 11,22x ?? ∈-?? ??延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数． 因 1 2l = ，所以由系数公式得 ()()111 210002 2[]d 2[]d 2d 1 a x x x x x x x x -=-=-==? ??． 当1n ≥时， 2 2 2 2 ()()11210 2 2[]cos 2d 2[]cos 2d n a x x n x x x x n x x ππ-=-=-? ? 1 1 0012cos2d d(sin 2)x n x x x n x n πππ== ?? 1 10011sin 2sin 2d 0|x n x n x x n n ππππ=-=?． ()1 1 2102 2[]sin 2d 2sin 2d n b x x n x x x n x x ππ-=-=? ? 1 01d(cos2)x n x n ππ-= ? 110011cos2cos2d |x n x n x x n n ππππ-=+?1 n π-= ． 故1111 ()[]sin 22n f x x x n x n ππ∞==-=-∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． (3) 4 ()sin f x x =(周期π)； 解：函数4()sin f x x =， ,22x ππ??∈-????延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦 级数． 因 2l π = ，所以由系数公式得 44 2200224sin d sin d a x x x x πππππ-==??22041cos 2d 2x x π π-??= ???? 2 4 311cos 2cos 4d 828x x x π π ??=-+ ???? 34=． 当1n ≥时， 2 4 311cos2cos4cos2d 828n a x x nx x π π?? = -+ ???? 11201,212 8n n n n ?-=??=≠≠???=?． 2 2 2 cos sin d 0 n b x nx x πππ- = =? ． 故4311 ()sin cos2cos4828f x x x x ==-+，(,)x ∈-∞+∞为所求． 2 2 2 2 (4) ()sgn(cos )f x x = (周期2π)． 解：函数()sgn(cos )f x x =，(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数． 因l π=，所以由系数公式得 00 1 2 sgn(cos )d sgn(cos )d 0 a x x x x π π π π π - = = =?? ． 当1n ≥时， 2 sgn(cos )cos d n a x nx x π π = ? 20 2 2 2 4cos d cos d sin 2n nx x nx x n π π π π π π π= - = ? ? 4sin 2n n ππ=024(1)21 (21)k n k n k k π=?? =?-=-?+? ． 2 sgn(cos )sin d 0n b x nx x π ππ - = =?． 故1 4 cos(21)()sgn(cos )(1)21n n n x f x x n π ∞ =+== -+∑，(,)x ∈-∞+∞． 2 求函数 01() 1 12 3 23x x f x x x x ≤≤?? =< 解：函数()f x ，(0,3)x ∈延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数． 因 3 2l =，所以由系数公式得 31230001222224()d d d (3)d 33333a f x x x x x x x ==++-= ????． 当1n ≥时， 12012222cos d cos d 3333n n x n x a x x x ππ= +?? 3222(3)cos d 33n x x x π+-? 2 1 01121 2d sin sin 33n x n x x n n πππ π??=+ ?? ?? 3212(3)d sin 3n x x n ππ??+- ?? ?? 10121214sin sin d sin 333n n x n x n n n ππππππ=-+? 3 32 2 12121 2sin (3)sin sin d 33 3n n x n x x x n n n ππππππ -+-+ ? 1 2201432sin cos 323n n x n n ππππ=+ 3 2221432sin cos 323n n x n n ππππ-- 2222323 cos 232n n n πππ= -2222334cos2cos 223n n n n ππππ-+ 2222323cos 3n n n πππ=-． 2()sin d 0n b f x nx x π π π -==?． 故 2221231122()cos cos 333n n n x f x n n πππ∞=-??=++????∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． 3 将函数()2 f x x π = -在[0,]π上展开成余弦级数． 解：函数()2 f x x π = -，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数． 由系数公式得 200 2 1d 0 222a x x x x π π ππ π????= -=-= ? ? ????? ． 当1n ≥时， 2 cos d 2n a x nx x π ππ ?? = - ???? 22 sin sin d 2x nx nx x n n π π πππ ??=-+ ??? ? 20 2cos nx n π π =- 242102n k n n k π?=-?=??=?． 0n b =． 故2 1 4 1 ()cos(21),[0,] 2 (21) n f x x n x x n π ππ∞ == -= -∈-∑． 4 将函数 ()cos 2x f x =在[0,]π上展开成正弦级数． 解：函数 ()cos 2x f x =，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦 级数． 由系数公式得0,0,1,2,n a n ==L ． 02 cos sin d 2n x b nx x π π= ? 0111sin sin d 22n x n x x ππ????? ?=++- ? ?????????? 11cos cos 1221122n x n x n n π π????? ?+- ? ???????? ?=-+??+- ???? 28(41)n n π= -． 故在[0, ]π上218()cos sin 241n x n f x nx n π∞===-∑为所求． 5 把函数 102 ()324x x f x x x -<≤?=? -< 解：函数()f x ，(0,4)x ∈延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数． 傅里叶级数课程及习题 讲解 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称2 {1,,, ,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今 用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交 系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x π π π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5） 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 深入浅出的讲解傅里叶变换 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 一、嘛叫频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？ 傅里叶变换的本质 傅里叶变换的公式为 dt e t f F t j ?+∞ ∞ --= ωω)()( 可以把傅里叶变换也成另外一种形式： φπt j e t f F ωπ ω),(21 )(= 可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。 )(2,21)(2121Ω-Ω==?Ω-ΩΩΩπδdt e e e t j t j t j φπ 下面从公式解释下傅里叶变换的意义 因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和t j e ω求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的分量 才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在t j e ω上的投影，积分值是时间从负 无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来，可以理解为f(t)在t j e ω上的投 影的叠加，叠加的结果就是频率为ω的分量，也就形成了频谱。 傅里叶逆变换的公式为 ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= )(21 )( 下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义 傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在)(ωF 和t j e ω-求内积的时候，)(ωF 只有t 时 刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t 时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t 时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。 对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。 优点：频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱。 缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。 例子： 平稳信号：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t) 第一章 信号与系统的基本概念 1．信号、信息与消息的差别？ 信号：随时间变化的物理量； 消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等 信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。 2．什么是奇异信号？ 函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如： 单边指数信号 （在t =0点时，不连续）， 单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。 较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。 3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？ 冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。 它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。其重要特性是筛选性，即： ()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞ ∞ -∞ -∞ ==? ? 4．什么是单位阶跃信号？ 单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为： 10()00t u t t >?=? 12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时， 输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+； 且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。 其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性； 如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。 线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。 6．线性时不变系统的意义与应用？ 线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为()x t 和()y t ，则 当输入信号为 ()dx t dt 时，输出信号则为() dy t dt ； 或者当输入信号为()t x d ττ-∞ ?时，输出信号则为()t y d ττ-∞ ?。 另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。 假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：1()h t 和2()h t ， 当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：12()()*()h t h t h t =； 当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：12()()()h t h t h t =+； 当0t <时，若()0h t =， 则此系统为因果系统； 若|()|h t dt ∞ -∞<∞?， 则此系统为稳定系统。 第二章 连续时间系统的时域分析 1．如何获得系统的数学模型？ 数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。 不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。对于线性时不变系统，其数学模型 第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x L L 线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x ππ -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积， 傅里叶级数课程及习题讲 解 Prepared on 22 November 2020 第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称2 {1,,, ,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今 用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交 系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x π π π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性： 傅里叶级数课程及习题 讲解 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8- 第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 线性表出而得．不妨称2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今 用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交 系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x π π π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积， 1 1 (),cos ()cos d k a f x kx f x kx x π π π π-= = ? 0,1,2,k =； kn N W N N 第四章 快速傅里叶变换 有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。 快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。 DFT 的定义式为 N ?1 X (k ) = ∑ x (n )W N R N (k ) n =0 在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2 次复数乘法 和 N ( N ? 1) 次复数加法。即计算量是与 N 2 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。 W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT 运算： （1） 周期性： ( k + N ) n N = W kn = W ( n + N ) k （2） 对称性：W ( k + N / 2 ) = ?W k N N 利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子： 求当 N ＝4 时，X(2)的值 实验二 用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析 一、实验目的 1．理解离散傅里叶变换的意义； 2．掌握时域采样率的确定方法； 3．掌握频域采样点数的确定方法； 4．掌握离散频率与模拟频率之间的关系； 5．掌握离散傅里叶变换进行频谱分析时，各参数的影响。 二、实验原理 序列的傅里叶变换结果为序列的频率响应，但是序列的傅里叶变换是频率的连续函数，而且在采用计算机计算时，序列的长度不能无限长，为了便于计算机处理，作如下要求：序列x (n )为有限长，n 从0～N －1，再对频率ω在0～2π范围内等间隔采样，采样点数为N ，采样间隔为2π/N 。第k 个采样点对应的频率值为2πk /N 。可得离散傅里叶变换及其逆变换的定义为 ∑-=-=1 02)()(N n n N k j e n x k X π (1) ∑-==1 02)(1)(N k k N n j e k X N n x π (2) 如果把一个有限长序列看作是周期序列的一个周期，则离散傅里叶变换就是傅里叶级数。离散傅里叶变换也是周期的，周期为N 。 数字频率与模拟频率之间的关系为 s f f /2πω=，即s s T f f πωπω22== (3) 则第k 个频率点对应的模拟频率为 N kf NT k T N k f s s s k ==?=ππ212 (4) 在用快速傅里叶变换进行频谱分析时，要确定两个重要参数：采样率和频域采样点数，采样率可按奈奎斯特采样定理来确定，采样点数可根据序列长度或频率分辨率△f 来确定 f N f s ?≤，则f f N s ?≥ (5) 用快速傅里叶变换分析连续信号的频谱其步骤可总结如下： （1）根据信号的最高频率，按照采样定理的要求确定合适的采样频率f s ； （2）根据频谱分辨率的要求确定频域采样点数N ，如没有明确要求频率分辨率，则根据实际需要确定频率分辨率； （3）进行N 点的快速傅里叶变换，最好将纵坐标根据帕塞瓦尔关系式用功率来表示， [大全]傅里叶变换实质及其公式解析傅里叶变换的本质 傅里叶变换的公式为 ，,j,t, F(,),f(t)edt,,, 可以把傅里叶变换也成另外一种形式: 1j,t, F(),,f(t),e,,2 可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。 ()j,tj,tj,,,t1212 ,e,e,,edt,2,,(,,,)12, 下面从公式解释下傅里叶变换的意义 j,t因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和求内积的时候，只有f(t)中频率为的分量e, j,t才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在e上的投影，积分值是时间从负 j,t无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在的分量叠加起来，可以理解为f(t)在e上的投, 影的叠加，叠加的结果就是频率为的分量，也就形成了频谱。 , 傅里叶逆变换的公式为 ，,1j,t f(t),F(,)ed,,2,,, 下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义 ,j,te傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在和求内积的时候，只有t时F(,)F(,)刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频 率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。 对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。 优点:频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱。 缺点:因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。 例子: 平稳信 号:x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t) 傅里叶变换的结果: 第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶 变换？来源：胡姬的日志 写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬！！！ 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得 非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.360docs.net/doc/4e4844345.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线， 傅里叶级数总结 TASK1:(x f 在[-π ,π]上的周期函数，需展开成傅里叶级数，公式： ??--==π π π π nxdx x f b nxdx x f a n n sin )(cos )( 例1：将x x f 4sin )(=展开成傅里叶级数 x x x f x f n xdx x b n n n dx nx x nx x nx nxdx x a dx x x dx x a x x x x n n 4cos 8 1 2cos 2183)(,...) 3,2,1(0sin sin 1 )4(81) 2(2 1 ...)4,2(0)cos 4cos 81cos 2cos 21cos 83(2cos sin 24 3 )4cos 812cos 2183(sin 2 24cos 1412cos 2141)22cos 1(sin :40040 4024+-=∴=== ????????? ==-≠=+-=== +-== +- -=-=???? - ）（，即傅里叶级数收敛于本身处处连续 解 π π πππ π πππ TASK2:(x f 在[-π ,π]上的奇函数，需展开成傅里叶级数，公式： ,...)3,2,1(sin )(2 ,...) 2,1,0(00 == ==?n nxdx x f b n a n n π π 例2： )(sin sin ..)1(sin 2) () (.)1.(sin 2])cos()[cos(2 sin sin 2 0)()(sin )(1 2 212210 0πππ π ππ π πππ π <<-=--∴--= +--= = ==∴<<-=∑? ? ∞ =++x ax a n nx n a x f a n n ax dx x a n x a n nxdx ax b a a x f x ax x f n n n n n 按展开定理有为奇函数解：展开成傅里叶级数将 傅里叶级数课程及习题讲 解 The document was prepared on January 2, 2021 第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称2 {1,,, ,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今 用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交 系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x π π π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 第三章 傅里叶变换分析 1．什么是频谱？如何得到信号的频谱？ 目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式，比如正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化；另一方面，对于正弦信号，如果知道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶级数理论，满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合，从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。 对于周期信号，其频谱一般用傅里叶级数表示，而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱： ()0110111()cos sin cos()T n n n n n n f t a a n t b n t c c n t ωωω?∞∞ ===++=++∑∑ 或 1()jn t T n n f t F e ω∞=-∞= ∑ 其中： 122 00 1() 0,1,2,...,1() 1,2, (2) T jn t T n T n n n F f t e dt n T F a jb n F a ω--==±±±∞=-=∞=? 对于非周期信号，其频谱一般用傅里叶变换表示： 1 ()()2j t f t F j e d ωωωπ ∞-∞=? 其中： ()() j t F j f t e dt ωω∞--∞=? 2．周期信号和非周期信号的频谱有何不同？ 周期信号的频谱可以用傅里叶级数表示，它是离散的、非周期的和收敛的。 而非周期信号的频谱用傅里叶变换表示，它是连续的、非周期的和收敛的。若假设周期信 号为()T f t ， 非周期信号为0() ()220 otherwise T T T f t t f t ?-<≤?=???，并假设周期信号()T f t 的傅里叶级数 的系数为n F ，非周期信号0()f t 的傅里叶变换为()F j ω，则有如下的关系：傅里叶级数课程及习题讲解
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