珠海市2008年高三模拟考试数学试卷_理

珠海市2008年高三模拟考试

数学（理科）试卷 2007.1.4

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2,1,0=M ，{}

M a a x x N ∈==,2，则集合=N M A ．}0{

B ．}1,0{

C ．}2,1{

D ．}2,0{

2．设a 是实数，且2

11i i a +++是实数，则=a A ．2

B ．1

C ．

D ．2

3．已知函数)sin(2)(?ω+=x x f （其中0>ω，2

）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则

A ．21=

ω，6

π?= B ．21=

ω，3

?= C ．2=ω，6

D ．2=ω，3

4．下列四个命题中，真命题的个数为

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；

（3）若α∈M ，β∈M ，l =?βα，则l M ∈；（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5．已知??

?>+-≤=0

,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34

()34(-+f f 的值为

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

6．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是

A ．

B ．

C ．

D ．

7．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公

共点，且满足021=?PF ，则2

212

21)

(e e e e +的值为 A ．2

1 B ．1 C ．

2 D ．不确定

8．已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+．

给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f ．其中正确的个数为 A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生

只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分． 9．圆心为)1,1(且与直线4=+y x 相切的圆的方程是_______________． 10．向量a 、b

7=-，则a 、b 的夹角为________． 11．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．

12．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内

角为0

60的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．

13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线

2)4

cos(=-π

θρ 与圆2=ρ的公共点个数是________．

俯视图

左视图

主视图

14．（不等式选讲选做题）x 、0>y ，1=+y x ，则)1

)(1(y

y x x ++

的最小值为______．

15．（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形ABC 的底边AC 长

为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC 的面积是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

设集合{}

<=x x A ，?

?????+<

=341x x B ．（1）求集合B A ；

（2）若不等式022

<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值． 17．（本小题满分12分）

已知函数x x x f 2sin 2

)12(cos )(2

++=π

．（1）求)(x f 的最值；（2）求)(x f 的单调增区间．

18．（本小题满分14分）

如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，?=∠60ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．

（1）求证：AE CD ⊥；（2）求证：⊥PD 面ABE ；

（3）求二面角C PD A --的平面角的正弦值． 19．（本小题满分14分）

已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一个动点，过点P 且与抛物线C 相切的直线记为L ．（1）求F 的坐标；

（2）当点P 在何处时，点F 到直线L 的距离最小？

20．（本小题满分14分）

数列{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列．令n n a a a b ----= 211，

n n b b b c ----= 212，*N n ∈．

（1）试用a 、q 表示n b 和n c ；

（2）若0q 且1≠q ，试比较n c 与1+n c 的大小；

（3）是否存在实数对),(q a ，其中1≠q ，使{}n c 成等比数列．若存在，求出实数对),(q a 和{}n c ；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）

设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数．（1）当2

b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（2）若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n n

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生

只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分． 9．2)1()1(22=-+-y x 10．?120（或π3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

解：{}{

}

2242

<<-=<=x x x x A ，……………………………………………… 3分

{}13031341<<-=?

?????<+-=??????+<=x x x x x

x x B ，……………………… 3分（1）{}

12<<-=∴x x B A ；……………………………………………………. 2分（2）因为022

<++b ax x 的解集为{}

13<<-=x x B ，

所以13和-为022

=++b ax x 的两根，……………………………………… 2分

故????????-=+-=-132

132b a

，所以4=a ，6-=b ．……………………………………. 2分

17．（本小题满分12分）解： x x x f 2sin 21

)]62cos(1[21)(+++=

π………………………………………… 2分 ]2sin )6

sin 2sin 6cos 2(cos 1[21x x x +-+=π

πx ……………………………………………………. 2分

（1）)(x f 的最大值为1、最小值为0；……………………………………………… 2分（2）)(x f 单调增，故]2

k k x ，…………………………… 2分

即)](12

,125[Z k k k x ∈+-

∈π

πππ，从而)(x f 的单调增区间为)](12

,125[Z k k k ∈+-π

πππ．…………………… 2分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：⊥PA 底面ABCD ，PA CD ⊥∴

又AC CD ⊥，A AC PA =?，故⊥CD 面PAC

?AE 面PAC ，故AE CD ⊥………………………………………………… 4分（2）证明：BC AB PA ==，?=∠60ABC ，故AC PA =

E 是PC 的中点，故PC AE ⊥

由（1）知AE CD ⊥，从而⊥AE 面PCD ，故PD AE ⊥

易知PD BA ⊥，故⊥PD 面ABE ……………………………………………… 5分（3）过点A 作PD AF ⊥，垂足为F ，连结EF ．

由（2）知，⊥AE 面PCD ，故AFE ∠是二面角C PD A --的一个平面角．

，故414sin ==∠AF AE AFE ．……………… 5分说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问

正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。 19．（本小题满分14分）解：（1）抛物线方程为y a x 1

……………………………………………………… 2分故焦点F 的坐标为)41

,0(a

………………………………………………………… 2分（2）设2

0000 ),(ax y y x P =则

分）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在2.... 2 ,2'0ax k P ax y =∴= )( L 00x x k y y -=-∴的方程是：切线

)(2 0020x x ax ax y -=-即

分－即3...... 0 2 200=-ax y x ax

∴ 分的坐标是此时时上式取“＝”当且仅当1...... )0,0( 0 0P x =分的距离最小到切线处时，焦点在当1...... .L F 0,0)(P ∴

20．（本小题满分14分）

解：（1）当1=q 时，na a a a b n n -=+++-=1)(121 ，

[]2)12

)1()1(2)(2221+-+=-+--

=+++-=n a n a n na a b b b c n n

当1≠q 时，q

q a a a a b n n n ---=+++-=1)

1(1)(121

)(1)11(2)(2221n n n q q q q

a n q a

b b b

c +++----

-=+++-= )1()1()11(22n q q aq n q a -----

-=n

q q aq n q a q aq 2

1()11()1(2-+-----= 所以??

??≠---=-=1,1)1(11,1q q q a q na b n n ???

????≠-+-----=+-+=1,)1()11()1(21,2)12(22

q q q aq n q a q aq q n a n a c n

n ；……………………

4分

（2）因为n

n q q aq n q a q aq c 2

2)1()11()1(2-+-----

=，所以12

21)

1()1)(11()1(2++-++-----

=n n q q aq n q a q aq c )1(11)()1()11(1

1+++--+-=--+--

-=-n n n n n q q

a q q q aq q a c c 当1>q 时，01<-q ，011

<-+n q

当10<-q ，011

>-+n q

所以当0 q 且1≠q 时，01<-+n n c c ，即n n c c <+1；………… 5分（3）因为1≠q ，0≠q ，所以n n q q aq

n q a q aq c 2

1()11()1(2-+-----

=，因为{}n c 为等比数列，则()???

????=--=--0110122q a q aq 或()???????=--=-0

11012q a q aq

，

所以?????==3231q a 或???==01q a （舍去），所以??

???

=3231q a .………………………… 5分

21．（本小题满分14分）

解：（1）由题意知，()f x 的定义域为),0(+∞，

)0( 21

)21(22222)('22>-

+-=+-=+-=x x

b x x b x x x b x x f …… 1分 ∴当2

>b 时， ()0f x '>，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增． …… 2分

x x f 有两个相同的解21=x ， 0)(',),2

( ;0)(')21,0(>+∞∈>∈x f x x f x 时当时，但当时，

2b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． …… 3分

③当1

b <时，()0f x '=有两个不同解，

221211b x --=

2121 ,2b x -+= 0 )≤∴b i 时，，舍去),0(0221211+∞?≤--=

x ， ),0(12

2121 2+∞∈≥-+=

b x 而, 此时 ()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：

由此表可知：0≤b 时，()f x 有惟一极小值点2

时，0<21x x <<1 此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：

b 时()f x 有极值点; …… 8分当0≤b 时，()f x 有惟一最小值点2

2121 ,b

x -+

；当102b <<

时，()f x 有一个极大值点22121b x --=和一个极小值点2

2121b

x -+= （3）由(2)可知当1b =-时，函数x x x f ln )1()(2

0(+<+∈x f x f x …… 9分成立

时恒有当，即恒有恒有，时，当 1

ln )1ln( 3 )1

1ln(10 )11(f(1) 23

134111 0 3 22n n n n n n

n f n n >-+≥∴+->+>∴+<≤+

<<≥ …… 11分

令函数 )0 ln )1()(>--=x x x x h （ x

1ln(n 1 )1()11( 111 3)(),1[1)( 0)(' 1n

n n n n n n n n n

h n h n n x h x x x h x h x >-+>≥<

+=-+∴>+->+∴+<≥+∞∈∴=>>∴时恒有综上述可知即时为增函数时处连续在，又时， …… 14分