微积分公式
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦)
一、001011
01lim
0n n n m
m x m
a n m
b a x a x a n m b x b x
b n m
--→∞
?=??+++?=+++?∞>???
(系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0
sin lim 1x x x
→= (2)()1
lim 1x x x e →+= (3
)lim
)1n a o →∞
>=
(4
)lim
1n →∞
= (5)lim arctan 2
x x π
→∞
=
(6)lim tan 2
x arc x π
→-∞
=-
(7)lim arc cot 0x x →∞
= (8)lim arc cot x x π→-∞
= (9)lim 0x
x e →-∞
=
(10)lim x x e →+∞
=∞ (11)0
lim 1x
x x +→=
三、下列常用等价无穷小关系(0x →)
sin x x t a n x x a r c s i n x x arctan x x 2
11c o s 2
x x -
()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ?
+-?
四、导数的四则运算法则
()u v u v '''±=± ()u v u
v u v '''=+ 2
u u v u v v v '''-??
= ???
五、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1
x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=
⑷()cos sin x x '=- ⑸()2
tan sec x x '= ⑹()2
cot csc x x '=-
⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x
x
e
e
'= ⑽()ln x
x
a
a
a '= ⑾()1ln x x
'=
⑿()1log ln x a x a
'
=
⒀(
)arcsin x '=
⒁(
)arccos x '=-
⒂()2
1
arctan 1x x
'=
+ ⒃()2
1arc cot 1x x
'=-
+⒄()1x '=
⒅
(
1'
=
六、高阶导数的运算法则 (1)()()()
()
()
()
()
n n n u x v x u x v x ±=±???? (2)()()
()
()n n cu x cu
x =????
(3)()()
()
()n n n
u ax b a u
ax b +=+???? (4)()()()
()
()()()0
n
n n k k
k n
k u x v x c
u
x v x -=?=
????
∑
七、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)()
()
!n n x n = (2)()
()
n ax b
n ax b
e
a e
++=? (3)()
()
ln n x x n
a a a =
(4)()()
sin sin 2n n
ax b a ax b n π??+=++??? ???
?
?
(5) ()()
cos cos 2n n
ax b a ax b n π??+=++??? ????
?
(6)()
()
()
1
1!
1n n
n
n a n ax b ax b +???
=- ?+??
+ (7) ()()
()
()()
1
1!
ln 1n
n n n
a n ax
b ax b -?-+=-????
+
八、微分公式与微分运算法则
⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2
tan sec d x xdx = ⑹()2
cot csc d x xdx =-
⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x
=
⑿()1log ln x
a
d dx x a
=
⒀(
)arcsin d x =
⒁(
)arccos d x =-
⒂()2
1
arctan 1d x dx x
=
+ ⒃()2
1arc cot 1d x dx x
=-
+
九、微分运算法则
⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =
⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2
u vdu udv
d v v -??= ???
十、基本积分公式
⑴kdx kx c =+? ⑵1
1
x
x dx c μμ
μ+=
++? ⑶ln dx x c x
=+?
⑷ln x
x
a
a dx c a
=
+? ⑸x x
e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+?
⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻2
2
1sec tan cos dx xdx x c x =
=+??
⑼2
2
1csc cot sin xdx x c x
=
=-+?? ⑽21arctan 1dx x c x
=++?
⑾
arcsin x c =+?
十一、下列常用凑微分公式
十二、补充下面几个积分公式
tan ln
cos xdx x c =-+?
c o t l n s i n x
d x x c
=+? sec ln sec tan xdx x x c =++?
c s c l n c s c
c o t x
d x x x c
=
-+? 2
2
1
1arctan
x dx c a
x
a
a
=
++?
2
2
1
1ln
2x a dx c x a a
x a
-=
+-+?
arcsin
x dx c a
=+?
ln x c =++?
十三、分部积分法公式
⑴形如n ax x e dx ?,令n u x =,ax dv e dx = 形如sin n x xdx ?令n u x =,sin dv xdx = 形如cos n x xdx ?令n u x =,cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ?,令arctan u x =,n dv x dx = 形如ln n x xdx ?,令ln u x =,n dv x dx =
⑶形如sin ax e xdx ?,cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
s i n x a t = (2)
t a n x a t = sec x a t =
【特殊角的三角函数值】
(1)sin 00= (2)1sin
62
π
= (3)sin
3
2π
=
(4)sin
12
π
=) (5)sin 0π=
(1)cos 01= (2)cos
6
2π
=
(3)1cos
3
2
π
= (4)cos
02
π
=) (5)cos 1π=-
(1)tan 00= (2)tan
6
3
π
= (3)
tan 3
π
=(4)tan
2
π
不存在 (5)
tan 0π=
(1)co t 0不存在 (2)cot 6
π
=(3)cot
3
3
π
=
(4)cot
02
π
=(5)cot π不存
在
十五、三角函数公式
1.两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()c o s c o s s i n A B A B A B
-=+ tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=- t a n t a n
t a n ()
1t a n t a n A B A B A B --=+ cot cot 1
cot()cot cot A B A B B A
?-+=
+ c o t c o t 1
c o t ()
c o t c o t
A B A B B A ?+
-=-
2.二倍角公式
sin 22sin cos A A A = 22
2
2
c o s 2c o s s i n 1
2s i n
2c o s 1
A A A A A =-
=-=- 2
2tan tan 21tan A A A
=
-
3.半角公式
sin
2A =
c o s 2
A
=
sin tan 21cos A A
A ==
+ s i n c o t 2
1
c o s
A
A A =
=
-
4.和差化积公式
sin sin 2sin
cos
22a b a b a b +-+=? s i n s i n 2c o s s i n 2
2a b
a b a b +--=?
cos cos 2cos
cos
22
a b
a b
a b +-+=? c o s
c o s 2s i n s i n 2
2
a b a b a b +--=-
?
()sin tan tan cos cos a b a b a b
++=
?
5.积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--???? ()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =
++-???? ()(
)1s i n c o s s i n s i n 2a
b a b a b =
++
-???
?
()(
)1c o s s i n s i n s i n 2
a b a b a b =
+-
-???
?
6.万能公式
2
2tan
2
sin 1tan
2
a a a =
+ 2
2
1t a n
2c o s 1t a n
2
a
a a -=
+ 2
2t a n
2t a n 1t a n
2
a
a a =-
7.平方关系
2
2
sin cos 1x x += 2
2
sec n 1x ta x -= 2
2
csc cot 1x x -=
8.倒数关系
tan cot 1x x ?= s e c c o s 1x x ?= c s i n 1c s x
x ?= 9.商数关系
sin tan cos x x x
=
c o s c o t s i n x x x
=
十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程:
()()dy f
x g y dx
= , ()()()()11220f x g y dx f x g y dy +=
2.齐次微分方程:dy
y f dx x ??= ???
3.一阶线性非齐次微分方程:
()()dy p x y Q x dx
+= 解为:
()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -????=+????
?
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式: 二 基本积分表: 三 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
大一微积分公式
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦) 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞>??? (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ))1n a o >= (4 )1n = (5)lim arctan 2x x π→∞= (6)lim tan 2 x arc x π →-∞=- (7)lim arc cot 0x x →∞ = (8)lim arc cot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
最新大学各种微积分公式
大学各种微积分公式 考务论坛-考巴精修版 关于高等数学计算中涉及的数学公式(集) 一、 (如果系数不是0) 二、重要公式(1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)3 、以下常见等价无穷小关系() 四、导数的四种算法 五、基本导数公式 (1)(2)(4)(5)(6)(7)(9)(10)(11)(13)(14)(16)(18)(6 、高阶导数算法) (1) (2) (3) (4)七的N阶导数公式、基本初等函数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 8 、微分公式和微分算法 (1)(2)(4)(5)(6)(7)(9)(10)(11)(13)(14)(9 、微分算法) (1) (2) (3) (4)十、基本积分公式 (1) (2) (3) (5) (6) (7) (9) (10) (11 、下列常用的微分方程 积分变换公式12 、补充了以下积分公式 十三、零件公式积分 (1)形式,秩序,形式,秩序,(2)形式,秩序,形式,秩序,(3)形式,秩序。第二代换积分法中的14 、三角代换公式 (1) (2) (3) 特殊角度的[三角函数值] (1)(2) (3)(4)(5) (1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)不存在(5)(1)不存在
(2)(3)(4)(5)不存在15 、三角函数公式 1. 2角求和公式 2.双角度公式 3.半角公式 4.和微分积公式 5.乘积和差公式 6.通用公式 7.平方关系 8.倒数关系 9.商关系 十六、几个常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程; , 2.齐次微分方程: 3.一阶线性非齐次微分方程;解为:
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+
15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+?
高数微积分公式大全
微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C a b c α β γ R
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
5.2 微积分基本公式-习题
1.设函数0 cos x y tdt = ?,求'(0)y ,'()4 y π。 【解】由题设得'()cos y x x =, 于是得 '(0)cos01y ==,'()cos 4 4 2 y ππ == 。 2.计算下列各导数: ⑴20x d dx ?; 【解】20x d dx ?2)x =2= ⑵ 1t d dt dx ; 【解】1t d dt dx 1 ()t d dt dx =-=-=。 ⑶ cos 2 sin cos()x x d t dt dx π?; 【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π?0cos 2 2sin 0[cos()cos()]x x d t dt t dt dx ππ=+?? 》 0cos 22 sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ= +?? sin cos 2200 [cos()]cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=-+?? 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d d x x x x dx dx ππ=-+ 22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+-- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=--- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+ 2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。 ⑷2ln 1 x x d dt dx t ?。 【解】 2ln 1x x d dt dx t ?21ln 11 1[]x x d dt dt dx t t =+?? 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t =+?? …
(完整版)高等数学常用公式大全
高数常用公式 平方立方: 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.
高等数学积分公式大全
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2 d () x x ax b +? =21ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9. 2 d () x x ax b +? =211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 . x ? C + 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a - 12 .x x ? =2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 . x ? =22 (23ax b C a - 14 . 2x ? =222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>< 16 . ? =2a bx b -- 17 . x ? =b ?18. 2d x x ? =2a + (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a +
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则 1.基本公式 (1)导数公式(2)微分公式 (xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx (a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx (loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx (sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx (conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx (tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx (cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx (secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx (cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx (arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx (arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx (arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx (arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx (sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx (coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx 2.运算法则(μ=μ(x),υ=υ(x),α、β∈R)(1)函数的线性组合积、商的求导法则 (αμ+βυ)ˊ=αμˊ+βυˊ(μυ)ˊ=μˊυ+μυˊ(μ/υ)ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2
(2)函数和差积商的微分法则 d(αμ+βυ)=αdμ+βdυ d(μυ)=υdμ+μdυ d(μ/υ)=(υdμ-μdυ)/υ2 3.复合函数的微分法则 设y=f(μ),μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为 dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x) 所以复合函数的微分为 dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx 由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ),ψˊ(x)dx=dμ,因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ 由此可见,无论μ是自变量,还是另一变量的可微函数,微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变,这一性质称为微分形式不变性。
微积分基本公式
微积分公式
tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1 微積分公式 希臘字母 (Greek Alphabets) 倒數關係: sin ?csc ?=1; tan ?cot ?=1; cos ?sec ?=1 商數關係: tan ?= θθcos sin ; cot ?= θ θ sin cos 平方關係: cos 2?+ sin 2?=1; tan 2?+ 1= sec 2?; 1+ cot 2?= csc 2? 順位低 順位高 ; ? 順位高d 順位低 ; 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 101 2 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十億 1 000 000 106 mega M 百萬 1 000 103 kilo K 千 100 102 hecto H 百 10 101 deca D 十 0.1 10-1 deci d 分,十分之一 0.01 10-2 centi c 厘(或寫作「厘」),百分之一 0.001 10-3 milli m 毫,千分之一 0.000 001 10-6 micro ? 微,百萬分之一 0.000 000 001 10-9 nano n 奈,十億分之一 0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮,兆分之一 0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飛(或作「費」),千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿 0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y 微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x),= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx),= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C 三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u 高 等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? (2)()() ()()n n cu x cu x =???? (3)()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? (4)()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)() () !n n x n = (2)() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ????? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1 d x x dx μ μμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2 tan sec d x xdx = ⑹()2 cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? 大学高等数学公式汇总大全(珍藏版) 常用导数公式: 常用基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 定义(定积分) 设函数f (x )是定义在闭区间[a ,b ]上的连续函数,用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ,b ]划分成n 个小区间 [x 0,x 1],[x 1,x 2],…,[x i – 1,x i ],…,[x n – 1,x n ] 记各小区间[x i – 1,x i ](i = 1,2,…,n )的长度为Δx i = x i - x i – 1,在各小区间[x i – 1,x i ]内任取一点ξi ,取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积 f (ξi )Δx i ,作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111 ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ,b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i },如果对于区间[a ,b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1,x i ]上的任意取法,当d → 0时,积分和的极限存在,则称此极限为函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,简称积分,记为 ∑? =→=n i i i d b a x x f x x f 1 Δ)(lim d )( 其中?为积分号,[a ,b ]称为积分区间,f (x )称为被积函数,x 称为积分变量,a 称为积分下限,b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ,b ]上的积分存在,则称f (x )在[a ,b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ,实际上这个限制可以解除,补充两条规定: (1)当a = b 时,规定0d )(=?a a x x f ; (2)当a > b 时,规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出,这两条规定是合理的,其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1(可积的必要条件) 如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上的可积,则f (x )在[a ,b ]上有界。 定理2(可积的充分条件) 1.如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上的连续,则f (x )在[a ,b ]上可积。 2.如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上的单调,则f (x )在[a ,b ]上可积。 3.如果在闭区间[a ,b ]内除去有限个不连续点外,函数f (x )有界,则f (x )在[a ,b ]上可积。 引理(微分中值定理) 设函数f (x )在闭区间[a ,b ]内连续,在开区间(a ,b )内可导,则至少存在一点ξ(a ,b ),成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 高等数学公式 高等数学公式 导数公式: (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 (ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (csc x) csc x ctgx ( arctgx ) 1 (a x ) a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 ( arcctgx ) 1 2 1 x x ln a 基本积分表: 三角函数的有理式积分: tgxdx ln cos x C dx 2 tgx C cos 2 x sec xdx ctgxdx ln sin x C dx csc 2 xdx ctgx C secxdx ln secx tgx C sin 2 x csc xdx ln csc x ctgx C secx tgxdx secx C dx 1 x cscx ctgxdx cscx C a 2 x 2 a arctg a C a x dx a x C dx 1 x a ln a C x 2 a 2 ln 2a x a shxdx chx C dx 1 ln a x C chxdx shx C a 2 x 2 2a a x dx arcsin x C dx a 2 ln( x x 2 a 2 ) C a 2 x 2 a x 2 2 2 n 1 I n I n sin n xdx cos n xdx 2 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a sinx 2u ,cosx 1 u 2 u x 2du u 2 1 2 , tg , dx 1 2 1 u 2 u微积分公式大全
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