隔19年,阴、阳历生日同一天的机率最高
陳淑娃／國立師大附中退休數學教師很多人每年都過陰、陽曆兩次生日，但今年很多人只有一次生日，這情形正是陰、陽曆生日剛好是同一天，你是否也有想過以下這些問題：
1.再隔幾年又會如此？
2.是否有共同的周期？
3.有否可能連星期數也一致？
基於好奇，參閱曆法相關書籍及萬年曆，加以對照研究並作結論，如下：
1.最有可能是再隔19年，其次是11年。
2.沒有，但隔76年的機率相當高。
3.有，但沒有一致的周期。
譬如今年與95年前的公元1914年，共有206天，當陽曆日期相同時，陰曆日
期及星期數也都一致。其實，在西元1901~2099年之間，間隔84或95年都有
可能，譬如今年與84年前的西元1925也有58天是如此。但在西元1643~1966
年之間，只要相隔57或68年即有可能，譬如相隔57年的西元1898及1955
年有81天是如此；相隔68年的西元1898及1966年也有118天是如此。
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這些依據與陰、陽曆的制定有關，請看以下的詳細說明。
自古以來，世界各地民用曆(civil calendar)的曆法大多依太陽、地球、月亮相互運轉的規律性來制定時間。根據地球繞太陽公轉的稱為陽曆(solar calendar)，月球繞地球運行的稱為陰曆(lunar calendar)。上述問題，陽曆是指目前世界各地通用的格里曆(Gregorian Calendar)；陰曆則是現行中華民國農曆，是陰陽合曆。
地球自轉一周所需的時間表示從地球上觀察太陽，它連續兩次升上天空某一參考點的時間長，叫做「一真太陽日」，隨季節變化而有些微差異，它們的平均值叫做「一平均太陽日」，就是我們通常所說的1日，規定為24(小)時，再定1時為60分，1分為60秒。
地球繞太陽公轉，從地球往上看，相對地太陽在天球上繞一圓形軌道，叫做黃道(Ecliptic)；地球繞太陽一周與太陽繞黃道一周，所需的時間相同。地球赤道所在的平面無限延伸與黃道約成23.5度角，在天球與黃道交於春、秋分兩點；若黃道一周是360度，四等分點按逆時針方向排列，則依序為春分、夏至、秋分、冬至。太陽連續兩次通過同一四等分點所經歷的時間，稱為季節年或回歸年(tropical year)。格里曆的年是太陽由春分點回到春分點的時間長，我國的歲實（簡稱歲）是太陽由冬至點回到冬至點的時間長，都是回歸年。四個回歸年有微小差距，平
?=,均值為365.2421912日，約為365.2422日，即365日5時48分46秒。（0.242224 5.8128
?=）西元1956年國際天文聯盟訂此為標準年長，此後600.812848.768
?=,600.76846.08
即三不五時的用閏秒來調整，使它維持不變。
※陽曆的制定簡史
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格里曆是羅馬天主教廷的教皇格里13世(Gregory the 13th )於西元1582年，修正儒略凱撒
(Julius Caesar )的儒略曆(Julius Calendar )所得的，而該曆則採用古埃及人的恆星年（sidereal
year 為太陽連續兩次通過某一恆星所經歷的時間，平均值為365.25636日）。儒略曆在西元前45年實施時，規定一平年(origin year )為365日，有12個月（與月亮無關），並依傳統定春分
點為3月25日，又規定每四年閏1次，一閏年(leap year )為366日，故儒略曆的年為365又
1/4日，即365.250日（因改曆的關係，西元前45年有445日是例外）。凱撒的繼承人屋大維
修訂時，定1、3、5、7、8、10、12等月為大月，各為31日；4、6、9、11等月為小月，各為30日；2月為28日，閏年時多1日。西元325年時，敎會改春分點為3月21日（訂該日以後月圓的第一個星期日為復活節），因而格里曆就形同是一回歸年了；一回歸年比一平年多
0.2422日，並非0.25日，時間一久誤差就大了。
數量雖小，但積少成多的道理誰都知道，不可忽略；當然，若相較之下，太小了還是可以
不計的。因 0.242240.9688?=,…, 0.242210024.22?=,…,0.242240096.88?=,…得知4歲實比4平年多約1日，…，100歲實比100平年多約24日，…，400歲實比400平年多約
97日，…，因而教皇格里13世在西元1582年修定時，將10月5日改為10月15日，以消除
累積的誤差；並規定從17世紀起，每一世紀閏24次，每四世紀閏97次，故格里曆的年有365又97/400日，即365.2425日，計算閏年的方式是：凡西元年數是能被4整除的及能被100整除又能被400整除的都是閏年，在2月多一閏日，有29日，如1584, 1600, 2000等；否則為平年，如1583, 1586, 1700等。所以陽曆的一年比回歸年多0.0003日，因
10.00033333.333
=，知大約三千多年就會差1日；當然，那是二千九百多年以後，五十世
紀初期的事，不過這可與我們的問題有關。
因敎派爭鬥，歐美各國直到十八世紀後才陸續施行此曆；中華民國於元年（西元1912年）1月1日正式採用為國曆，因而民國a年等於西元(1911＋a)年，民前b年等於西元(1912)b
年。此後幾乎全世界通用，故西元又稱為公元。
※陰曆的制定簡史
陰曆將月亮繞地球一周的朔望月(synodic month)定為一月，就是我們從地球上看月亮，由朔（新月new moon），經望（滿月full moon），再到朔的時間長；這也是不固定的，平均值約為29.530588日，若取近似值為29.5306日，則不變。
中華民國農曆沿襲自清康熙九年（西元1670年）重新推行的時憲曆；時憲曆曾於清順治二年（西元1645年）頒行，是湯若望等人制定，承自明崇禎時，徐光啓參考西洋數學所編的新法曆，這新法曆是修正自之前的大統曆；大統曆又是改自先前的授時曆，…，溯本究源，乃出自於最早的夏曆或稱農曆。（西漢開始又以天干搭配地支，來給年、月、日、時辰命名，因而一個人出生的年、月、日及時辰，就叫做其生辰八字。）
中國人又以冬至到大雪等24節氣分布於一歲實，來反應季節、氣候、農物成長的變化，就是以節氣點指出太陽在黃道的位置，24節氣點等分黃道一周，兩節氣點相隔15度。這24節氣為立春、雨水、驚蟄、春分、清明、穀雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒；其中奇數的叫做節氣或簡稱節，偶數的叫做中氣或簡稱氣。（據查我國古時的歲實是365.250日；南北朝大數學家祖沖
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之曾於西元463年測得365.2428日編成大明曆，可惜僅在西元510~589年間推行，之後都是365.244日；到西元1280年，元朝頒行郭守敬編的授時曆為365.2425日，與格里曆相同；清康熙時憲曆採用丹麥天文學家第谷(Brahe Tycho 1546~1601)測定的365.2421875日；雍正於西元1723年改採牛頓（Issac Newton
1642~1727）測定的365.24233442日修成癸卯曆；民國後則是365.24219日。因此，一歲實我以365.2422日來計算。）
中國的農曆規定一年有12個月（以12個中氣依次作為月的標誌，正月含雨水，二月含春分，…，十一月含冬至，十二月含大寒），大月為30日，小月為29日；又規定每2或3年有一閏月（通常說閏月，而不說閏年），每5或6年有二閏月，…，每19年必有七閏月，即一年可能有13個月，其中若有哪個月不含中氣（若12個中氣等分一歲實，兩中氣間隔為=，比一個月29.5306長得多，時間久了總有機會一個月剛好夾在兩中365.24221230.43685
氣之間），該月就是閏月（秦及漢武帝太初前除外），不以干支命名。
?=，則一年為354或355日；若一年有13個若一年有12個月，因29.530612354.3672
?=，則為383或384日。時憲曆之前的農曆，24節氣平均分布於月，因29.530613383.8978
一歲實，冬至一定要在陰曆11月，因此自古以來，閏月大致上分布均勻。但地球運行的速度，到冬至附近的近日點時最快，到夏至附近的遠日點時最慢，因而太陽轉30度黃道的時間，前者只要29日，後者則須32日。時憲曆改按太陽實際位置來定節氣的日期後，冬至、大寒、雨水三中氣之間隔為29~30日，陰曆11、12、1月必定含有中氣，從此這三個月就不再有閏月，而閏3、4、5、6、7月就較頻繁了。也就是說，西元1645年以前與之後的閏月方式是不一樣的，因時憲曆在康熙初年並未施行，所以我們的問題應是自西元1670年到公元五十世紀初，共三千多年間才有意義。
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10 ※ 為何每19年有七閏月？
一歲實比有12個（朔望）月的年多約11日，因365.242229.53061210.875-?=。用乘法運算將歲實與有12個月的年，逐年累積的差距日數與累積月的日數，列表作比較如下：
表一、歲實與有12個（朔望）月的年，經n 年後的差距日數10.875n ?：
表二、m 個（朔望）月共有日數29.5306m ?：
觀察兩表中，10.875n ?與29.5306m ?較接近的數據，它們顯示歲實與12個(朔望)月的年，累計多年的差距為：每3年多於一（朔望）月，每5年接近二（朔望）月，每8年約三（朔望）月，每11年約四（朔望）月，…，每19年幾乎就是七（朔望）月。與自然現象約每2或3歲實有123137?+=次滿月，每5或6歲實有125262?+=次滿月，…，每19歲實有
12197235?+=次滿月吻合。這就是陰曆規定閏月的規則：每2或3年有一閏月，每5或6
年有二閏月，每8年有三閏月，每11年有四閏月，每19年必有七閏月。
1) 當每3年有一閏月時，因29.5306(1231)365.24223 3.0944??+-?=-
知3年少3歲實約3日，而3 3.09440.96949-=-，相當於每1年少約1日，不好。
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2) 當每5年有二閏月時，因29.5306(1252)365.24225 4.6862??+-?=
知5年多5歲實約5日，而54.6862 1.06696=，相當於每1年多約1日，也不好。 3) 當每8年有三閏月時，因29.5306(1283)365.24228 1.5918??+-?=
知8年多8歲實約1日到2日，而81.5918 5.0258=，相當於每5年多約1日，比起每 5或6年有二閏月好得多。
4) 當每11年有四閏月時，由29.5306(12114)365.242211 1.5026??+-?=-
知11年少11歲實約1日到2日，而11 1.50267.3206-=-，相當於每7年少1日，比起 每8年有三閏月又強得多。
5) 當每19年有七閏月時，29.5306(12197)365.2422190.0892(1.59181.5026)??+-?==-
知19(811)=+年多19歲實僅約0.0892日(＝2時8分27秒)，又190.0892213.00=，相 當於每213年才會超前歲實1日，比前兩者更加精密，剛好將先前8年與接下來的11年 的差距一併給抵消了。
若不計較這小誤差，則陰曆就近似地每隔19年有一循環，由21329.53066290.0178?=，知大約六千多年才可能相差一個（朔望）月。
我國的農曆製作，除以節氣反應季節、氣候、農物成長的變化外，為合乎天行法則，幾千年來不但利用閏月，又以日、月食來補證月的虧盈，日食必發生在朔、月食必在望，藉此調整月的大小。自漢朝以來，只要發現不合，必定改曆，歷朝甚至歷皇幾乎都有修曆，與歲實的誤差隨時都在修正，西元2006年的農曆尚有385天的情形出現。
至於每19年間七個閏月出現在哪些年？據查從西元1645年到1664年，閏月所在的各年，
年距為3, 2, 3, 3, 3, 2, 3，也就是西元1645年閏6月小後，接下來的第三(1648)、五(1650)、八(1653)、十一(1656)、十四(1659)、十六(1661)、十九(1664)各年有閏月；此後，閏月有出現在接下來的第三、六、八、十一、十四、十六、十九年（西元1664~1778、1816~1873與1968~1987，各年距為3, 3, 2, 3, 3, 2, 3）；或在接下來的第三、六、八、十一、十四、十七、十九年（西元1778~1816、1873~1968與1987~2044，各年距為3, 3, 2, 3, 3, 3, 2）。
※現在來看我們的問題
在簡單的介紹後，再重申一次，今後若陰、陽曆不做大幅度改變，自西元1670年到公元五十世紀初期共三千多年間，我們的問題才有意義，因這段時間與之前陰曆閏月的規定互異，自然就無重複可能，而公元五十世紀，陽曆將較歲實多一日。
若考慮陽曆為每年一循環，陰曆為每19年一循環，當某天陽曆是a月b日而陰曆是c月d 日，則每隔19年就會有某天陽曆是a月b日而陰曆也是c月d日的情況，也就是說：某人每隔19年，陽、陰曆生日重合的機率應相當高（見下表四）。但陽曆每4年有一閏日，11年只閏2?=，比11個歲實少約1日；陰曆因每11年有四閏月，比實際也少約日，而0.242211 2.6642
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1日到2日，所以也有可能隔11年就有此情況，但這樣的機率較小（見下表三、四）；同樣，
也有可能隔8年，或27(198)=+年，或30(1911)=+年，或46(1928)=?+年，…，都有這種情況，但這樣的機率更低了（礙於篇幅不列表）。
表三、西元1976（陽曆1976/1/31~1977/2/17共384日）及1987（陽曆1987/1/29~1988/2/16
共384日）兩陰曆年中，各月初一的陽曆日期：
相隔11年的西元1976及1987，一年中有118天，當陽曆日期相同時，陰曆日期也相同。
表四、西元1914（陽曆1914/1/26~1915/2/13共384日），1925（陽曆1925/1/24~1926/2/12
共385日），1990（陽曆1990/1/27~1991/2/14共384日）及2009（陽曆2009/1/26
~2010/2/13共384日）的各陰曆年中，各月初一的陽曆日期及星期數：
1) 相隔19年的西元2009及1990年，一年之中有295天，當陽曆日期相同時，陰曆日期
也相同；但相隔11年的西元1914及1925年，當陽曆日期相同時，陰曆日期卻都不同。
2)相隔95年的西元2009及1914年，一年之中有206天，當陽曆的日期相同時，陰曆日
期及星期數也都相同。而此狀況發生在相隔84年的西元2009及1925年，一年之中則僅有58天。
表五、西元1898（陽曆1898/1/22~1899/2/9共384日），1955（陽曆1955/1/24~1956/2/11共384日）及1966（陽曆1966/1/21~1967/2/8共384日）的各陰曆年中，各月初一的陽曆日期及星期數：
相隔57年的西元1898及1955年，在384天的一年中有81天，當陽曆日期相同時，陰曆日期及星期數也都相同；而相隔68年的西元1898及1966年，在一年中有118天，當陽曆日期相同時，陰曆日期及星期數也都相同。
?=年，實際上，陽曆是400年一循環，陰曆是19年為一循環，共同的周期是400197600
這可超出誤差的允許範圍3333年，因此問題2及3的答案都是否定的。不過，若將陽曆看做4
?=年。但是，陰曆並非完全年一循環，陰曆看做19年為一循環，則問題2的周期可為41976
地以19年為一循環（倘若如此，則每19年閏的月份也該是循環一致的，而參閲萬年曆，每19年閏的月份皆不盡相同），故這無絶對性。
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若陽曆生日是閏日2/29，幾乎每隔4年出現一次。因19不能被4整除，當某人某年過陽曆2/29生日，19年後並不是閏年，故沒有陽曆生日；從4的倍數來看，須隔68(19311)=?+、或76(194)=?年、或84(1948)=?+年、…，才有可能碰到相同的陰曆生日，其中間隔76年的，發生的機率來得高（見下表六）。
表六、閏日2/29的陰曆日期：
西元1645到2044年共400年間，97個閏日2/29中，有相同陰曆日期的各年（西元 2000年之前的，僅列百、十及個位數，年旁為星期數），無相同者省略。
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有相同陰曆日期的閏日2/29，間隔68年的有15次，隔76年的有29次，隔84(768)=+年的有3次，隔144(7668)=+年的有6次，隔152(762)=?年的有6次，隔220(191111)=?+年的有5次，隔228(763)=?年的有1次。
◎ 問題1的答案：
1) 陽曆生日為非閏日2/29的一般日期：每隔19年最有可能陰、陽曆生日是同一天發生，其 次是11年；其他如隔8、27、30、46…年，也都有可能發生。
2) 陽曆生日為閏日2/29：須隔68、76、84…年，才可能碰到相同的陰曆生日。 ◎ 問題2的答案：
陰、陽曆生日重合，沒有共同的周期，但周期為41976?=年的機率最高。
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※ 陽、陰曆的生日及其星期數皆重複的可能性
處理三種因素的關係，必須先考慮其中兩個；因前面所得問題1、2的結論過於瑣碎，再加一因素進來，將複雜無比。我們換個觀點，從慣用的時間格式，譬如公元2009年2月14日星期六，考量陽曆生日與其星期數的重複性，再結合前面的結論，來找出可能情況。 陽曆一星期有7日，而7與365及366都是互質，且365除以7餘1，366除以7餘2。陽曆生日若經歷一平年，則其星期數加1；若經歷一閏年，則其星期數加2；當和是7的整數倍時，表示週而復始，星期數重複。必須仿問題1、2，分非閏日與閏日兩種來討論。 一、非陽曆閏日2/29的一般日期：
本來以為陽曆每4年循環一次，星期數多出1325?+=，但5與7是互質，至少5735?=日，才夠令星期數重複，因而認定28年為一周期；但列表實際計算，發現其星期數的重複竟然與5, 6, 11, 6作成的數列〈…, 5, 6, 11, 6, 5, 6, 11, 6, 5, 6, 11, 6,…〉息息相關。
I 、歷經每4年有一閏日不間斷的各年間，譬如在西元1583~1699或1901~2099。
（以＃表示閏年，－表示平年，,,A B C , …表示緊接的西元年）
1. 生日是1/1~2/28的某一天：
其星期數的逐年累加數變化如下表，當累加和大於或等於7時，就減7。
由上表知：以A年為起點，在相隔5年的F年，星期數就重複。以B年為起點，則在相隔6年的H年；以C年為起點，在相隔6年的I年；以D年為起點，須在相隔
11年後的O年；星期數才重複。
1)若生日是A年1/1~2/28的某一天，則經5年到F年重複星期數；再類似B到H，經
6年到L年、又經11年（似D到O）、後經6年（似C到I）都重複星期數，以後就
以年距為5、6、11、6的循環，重複星期數。如…, 1912, 1917, 1923, 1934, 1940,
1945, 1951, 1962, 1968, …，這些公元年的陽曆2/18都是星期日。
2)若生日是B年1/1~2/28的某一天，則經6年到H年，再經11年到S（似D到O）、又
經6年（似C到I）、後經5年（似A到F）都重複星期數，以後就以年距為6、11、6、5的循環，重複星期數。如…, 1949, 1955, 1966, 1972, 1977, 1983, 1994, 2000,
2005,…，這些公元年的陽曆2/1都是星期二。
3)若生日是C或D年1/1~2/28的某一天時，則各以年距為6、5、6、11或11、6、5、
6的循環，重複星期數。
2.生日是3/1~12/31的某一天：
由上表知：以A年為起點，在相隔6年的G年，星期數就重複。以B年為起點，在相隔6 18
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年的H 年；以C 年為起點，在相隔11年的N 年；以D 年為起點，在相隔5 年的I 年；星期數才重複。
1) 若生日是A 年3/1~12/31的某一天，則經6年到G 年，再經11年到R （似C 到N ）、 又經6年（似B 到H ）、後經5年（似D 到I ）都重複星期數，以後就以年距為6、11、 6、5的循環重複星期數。如…, 1956, 1962, 1973, 1979, 1984, 1990, 2001, 2007, 2012,…，這些公元年的陽曆8/20都是星期一。
2) 若生日是B 年3/1~12/31的某一天，則以年距為6、5、6、11的循環，重複星期數。 如…, 1925, 1931, 1936, 1942, 1953, 1959, 1964, 1970, 1981,…，這些公元年的陽曆 7/1都是星期三。
3) 若生日是C 或D 年3/1~12/31的某一天，則各以年距為11、6、5、6及5、6、11、6 的循環，重複星期數。
由上面討論知：陽曆生日歷經4年一閏不間斷的各年間，如在西元1583~1699或1901~2099年，其星期數重複的共同大周期是5611628+++=年，小周期可算是5611+=年或61117+=年。
II 、歷經不能被400整除的100倍數平年，即下表中I 年 (如平年1900年)：
1) 若生日是A 年1/1~2/28的某一天時，則隔5年到F 年，再隔7平年到M 年，星期數 都重複；若生日是E 年1/1~2/28的某一天時，則隔6年到K 年，再隔6年到Q 年，
+=+=；以後再以年距為5、6、11、6的循環，重複星期數。
星期數都重複，576612
前者如…, 1892, 1897, 1904, 1909, 1915, 1926, 1932,…，這些年的陽曆2/1都是星期
一。後者如…, 1896, 1902, 1908, 1913, 1919, 1930, 1936,…，這些年的陽曆2/1都是
星期六。
若生日是A年3/1~12/31的某一天時，則隔6年到G年，再隔6年到M年，星期數都重複；若生日是在E年3/1~12/31的某一天時，則隔7平年到L年，再隔5年到Q年，
+=+=；以後兩者再以年距為6、11、6、5的循環，重複星星期數都重複，665712
期數。前者如…, 1892, 1898, 1904, 1910, 1921, 1927, 1932,…，這些年的陽曆8/8都
是星期一。後者如…, 1896, 1903, 1908, 1914, 1925, 1931, 1936,…，這些年的陽曆8/8 都是星期六。
2)若生日是在B年1/1~2/28，則隔6年到H年，再隔6年到N年，星期數都重複；再以
年距為6、11、6、5的循環，重複星期數；如西元…, 1893, 1899, 1905, 1911, 1922, 1928, 1933,…的陽曆2/1都是星期三。若在F年1/1~2/28，則與在A年1/1~2/28情形相同，
+=+=；以後再以年距為6、11、但可視為隔7年到M年，再隔5年到R年，667512
6、5的循環，重複星期數；如西元…, 1897, 1904, 1909, 1915, 1926, 1932, 1937,…的
陽曆2/1都是星期一。
若生日是在B年3/1~12/31，則隔6年到H年，再隔6年到N年，星期數都重複；若
+=；以後兩者再以年距為在F年3/1~12/31，則隔12到R年，星期數才重複，6612
6、5、6、11的循環，重複星期數。前者如西元…, 1893, 1899, 1905, 1911, 1916, 1922,
20
21
1933,…的陽曆8/8都是星期二。後者如西元…, 1869, 1875, 1880, 1886, 1897, 1909, 1915, 1920, 1926, 1937,…的陽曆8/8都是星期日。
3) 其餘，生日在C 、D 、G 、H 或A 之前等其他各年的情形類推，不再贅述。
由以上討論得知，非陽曆生日與其星期數的重複情況，顯然與28年、12年相關，其他如
11、17、5、6等年也有可能。
二、陽曆閏日2/29：
I 、歷經每四年有此一閏日不間斷的各年間，因經歷每3個平年與1閏年，星期數加325+=， 須累計7次閏年，即須隔(31)728+?=年，星期數才重複。
II 、歷經不能被400整除的100倍數平年，這閏日2/29須隔8年才出現，因經歷7個平年到 此日，星期數加2；須要再過4年，星期數再加5(32)=+，共加2327++=，才週而復 始，即須隔8412+=年，星期數才重複。
由一及二的討論得知：陽曆生日與其星期數的重複與28年或12年有絶對關係。
◎ 問題3的答案：
最後合併「陽曆生日與其星期數的重複性」及問題1的結論來研究，照樣分非閏日與閏日兩種。 一、非陽曆閏日2/29的一般日期：
陽曆生日與其星期數的重複性的結論，首當考慮數據28，次為12，再為5, 6, 11,17, …。問題1的結論，首當考慮數據19，次為11，再為8, 27, 30, …。仔細觀察，數據5, 6, 11,12,17,
28 都與19互質，若要陽、陰曆日期及星期數都重複，有可能只隔11年（理論如此，但尚未
22 發現）；經計算各最小公倍數及作表統計發現：
1) 歷經不能被400整除的100倍數平年的，須隔57(281217193)=++=?或 68(2821219311)=?+=?+年，…
舉實例如下：（譬如歷經西元1900年，參見上表五）
相隔57年的西元1898及1955年，在384天的一年中有81天。 相隔68年的西元1898及1966年，在一年中則有118天。
2) 歷經400倍數閏年的，須隔84(2831948)=?=?+或95(28311195)=?+=?年，… 舉實例如下：（譬如歷經西元2000年，參見上表四）
相隔84年的西元1925及2009年，其陽曆從10/18星期日到11/15星期日（陰曆9/1~9/29） 及12/16星期三到1/13星期三（陰曆11/1~11/29），共58天。 相隔95年的西元1914及2009年，一年之中有206天。 二、陽曆閏日2/29：（參見上表六）
合併陽曆生日與其星期數的重複性及問題1的結論，當思考數據28、12與68、76、84、… 的關係，經作表統計，發現隔68(28212)=?+或84(283)=?或152(28512)=?+或 220(287122)=?+?年，都有可能。例如公元1648, 1716, 1868, 1936, 2020年陽曆2/29， 陰曆皆為2/7，都是星期六。
必須強調，結論只是可能而已，並沒有絶對性！
~~~ 敬請批評指教!! ~~~
《參考書籍》
◎天文學Robert H. Baker 著／厲保羅譯復漢出版社印行
◎實用航海天文學廖中山著徐氏基金會出版
◎曆法叢談增訂本鄭天杰著中國文化大學出版部印行
◎萬年暦安人著國家出版社印行
◎五術萬年曆鄭景峰著世峰出版社
◎兩千年中西曆對照表薛仲三、歐陽頤著華世出版社印行
◎阿草的曆史故事曹亮吉著天下遠見出版股份有限公司◎學曆散論高子平著中央研究院數學研究所
◎曆法通志朱文鑫著台灣商務印書館發行
◎抓時間的人David EwingDuncan著／丘宏義譯雙月書屋有限公司
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概率论在实际生活中的应用
信息学院 14-15学年第1学期《概率论与数理统计》课程（单元）项目研究报告 项目名称 概率论在足球比赛中的应用 【项目内容】详细叙述拟完成项目的条件和问题，可配表或图。 足球号称世界第一运动，因为在全球范围内无论是哪个国家或者地区都有许多喜欢足球，热爱足球甚至从事足球这项运动的人.四年举行一次的世界杯更是球迷们的狂欢节.中国同样有许多热爱足球的人,中国国家队水平不高经常让中国老百姓失望，但是这丝毫不会减少大家对足球的热情，作为一个中国人我希望中国足球会越来越好. 下面我们来看看大家都喜爱的足球与概率论到底有哪些关联。 相关问题：在某届欧洲杯足球比赛上，西班牙，德国，英格兰和荷兰队进入到了四强，这四支球队中的一支将有希望最终夺冠.决赛四强对阵情况是西班牙对阵英格兰，而德国将与荷兰队争夺另一个进入决赛的名额，由于四支球队都是强队，所以两场半决赛将会十分激烈，先比赛完的一场半决赛中世界第一西班牙队战胜了英格兰队率先进入了决赛，大家此时都将目光放到了西班牙队上，根据以往的比赛成绩，西班牙战胜德国的概率为0.8，战胜荷兰队的概率为0.3，而德国队战胜荷兰队的概率为0.5，那么西班牙球迷迫切想知道西班牙队最终能获得冠军的概率究竟是多大？ 对于上面西班牙球迷十分迫切关心的问题，让我们来利用概率的知识来帮助他们解决他们心中的疑虑. 由于西班牙队已经率先挺进决赛，所以还没有完成的德国和荷兰的比赛对于最终的冠军归属有很大的影响，如果德国战胜了荷兰队，那么西班牙队就有80%的可能性夺冠，但是如果荷兰队取得了半决赛的胜利，那么西班牙队夺冠的希望只有30% 根据以上条件，把西 班牙队夺冠记为事件C ，德国战胜荷兰记为事件C ，而荷兰战胜德国则记为事件A ，P(B)=0.5，P(A)=0.5由全概率公式，则A,B 是一个完备事件组，那么有公式就可以得出P(C)=P(B)P(C|B)+P(A)P(C|A)其中可以看出P(C|A)以及P(C|B)是条件概率,P(C|B)表示西班牙在决赛战胜了另一场半决赛的胜者德国队夺冠,P(C|B)=0.8,P(C|A)表示西班牙队在决赛战胜了另一场半决赛的胜出者荷兰队夺冠,P(C|A)=0.3. 所以根据上述公式（全概率公式）我们就可以计算出西班牙队最终夺冠的概率为 P(C)= P(B)P(C|B)+P(A)P(C|A)=0.5*0.8+0.5*0.3=0.55 所以西班牙队最终夺冠的概率应该为55%[10] 看到了西班牙队的最终夺冠的概率，西班牙队的球迷应该可以松一口气，好好享受西班牙队在决赛上的精彩表演啦，因为西班牙队夺冠概率还是比较大的.以上是利用了全概率公式的知识解决了足球比赛中的常见问题，希望能给读者和球迷一些帮助。 2．排列和组合在足球比赛中的应用 每次举行一些足球比赛时经常要事先安排好比赛场次，为了能使足球比赛顺利进行.下面就是举办足球比赛时经常遇到的一类问题。某大学要举行一次校园足球比赛以增强大学生的体质，学校规定每个学院至少要派出一支球队参加这项赛事，最终一共有12支球队参
概率论在日常生活中的应用
概率论在日常生活中的应用 概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛。学过概率论的人多以为这门课较为理论化，特别是像大数定律，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果。 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。例如，同性电荷相互排斥，异性电和相互吸引；在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的，即人们在未作观察或试验之前，不能预知其结果。例如，向桌上抛一枚硬币，我们不能预知向上的是正面还是反面；随机地找一户家庭调查其收入情况，我们亦不能预知其收入是多少。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。但另一方面，对这些不确定性现象进行大量、重复的实验时，人们会发现，其结果会出现某种“统计规律性”：重复抛一枚硬币多次，出现正、反两面的次数大致会各占一半；调查多户家庭，其收入会呈现“两头小，中间大”的状况，即处于中间状态的是大多数。这种在每次试验中呈现不确定性，而在大量重复试验中又呈现某种统计规律性的现象较随机现象。概率统计就是研究随机现象并揭示其统计规律性的一个数学分支，它在自然科学及社会科学的诸多领域都有着广泛的应用。 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。大部分人认为一件事概率为0即为不可能事件，这是不对的。比如甲乙玩一个游戏，甲随机写出一个大于0小于1的数，乙来猜。1.乙一次猜中这个数2.乙每秒才一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数。这两件事发生的概率的概率都是0，但显然他们都有可能发生，甚至可以“直观”地讲2发生的可能性更大些。这说明概率为0的事件也是有可能发生的。不过在我看来，这样的可能性实在太小了，在实际操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，他们确实是可能事件。 在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率极其小。由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 在我国南方流行一种成为“捉水鸡”的押宝，其规则如下：有庄家摸出一只棋子，放在密闭盒中，这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一。赌客们把钱压在一
概率论在保险中的应
目录 摘要 (2) 关键字 (2) 一、简介 (2) 1.概率论的研究对象 (3) 2.概率论与保险的关系 (3) 二、随机变量及其分布与保险 (3) 三、数字特征与保险 (4) 四、大数法则与保险 (4) 1切比雪夫大数法则 (4) 2.贝努里大数法则 (5) 3.大数定律对风险转移的作用 (5) 4.大数定律在保险中的适用性 (5) 五、应用概率进行保险计算 (6) 六、总结 (7)
摘要：概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学科学是对随机现象的统计规律进行的演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展,概率论与数理统计的知识越来越重要.运用抽样数据进行推断已成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式.本文就概率论与数理统计的方法和思想,并就其在保险中的应用进行分析和讨论,从中可以看出在经济领域和日常生活中以概率方法和数理统计的思想解决问题的高效性,简捷性和实用性 关键词：概率论, 切比雪夫大数法则定理, 贝努里大数法则，大数定律 一、简介 1.概率论的研究对象 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.随机现象是相对于决定性现象而言的,在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象.例如在标准大气压下,纯水加热到100度时水必然会沸腾等.随机现象则是指在基本条件不变的情况下,一系列试验或观察会得到不同结果的现象.每一次试验或观察前,不能肯定会出现哪种结果,呈现出偶然性.例如,掷一硬币,可能出现正面或反面,在同一工艺条件下生产出的灯泡,其寿命长短参差不齐等等.随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.随机试验的每一可能结果称为一个基本事件,一个或一组基本事件统称随机事件,或简称事件.事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度.虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的,但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律.例如,连续多次掷一均匀的硬币,出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2.又如,多次测量一物体的长度,其测量结果的平均值随着测量次数的增加,逐渐稳定于一常数,并且诸测量值大都落在此常数的附近,其分布状况呈现中间多,两头少及某程度的对称性.大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的.在实际生活中,人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程.例如,微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）,这就是随机过程.随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率,特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题,是现代概率论的主要课题.概率论与实际生活有着密切的联系,它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用.
生日相同的概率典型题练习(含答案)
生日相同的概率（典型题汇总）◆基础训练 一、选择题 1．随机找两人，这两人同月出生的概率为（）． A．0 B．1 C． 1 12 D． 1 2 2．一个家庭中有4个孩子，则下列事件发生的可能性，正确的个数是（）． ①P（全为男孩）=1 5 ；②P（至少有一个女孩）= 4 5 ； ③P（2男2女）=1 5 ；④P（至少有2个女孩）= 3 5 ； ⑤P（3男1女）=1 4 ． A．0 B．1 C．2 D．3 3．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明一定的金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖．参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的机会是（）． A．1 4 B． 1 5 C． 1 6 D． 3 20 二、填空题 4．一年365天，任意翻一本日历，正好翻到你生日的概率是______，是2?月的概率是______．5．九年级（1）班有45个同学，有两人生日月份相同的概率为_______． 6．10件产品中有3件次品，从中任意抽出2件产品，则这两件产品都是合格品的概率是________． 三、解答题 7．你们一家三口的生肖分别是什么？有两人的生肖相同吗？?如果想了解任意三人中有两人生活相同的概率，在全班进行调查得到的结果正确吗？为什么？如果想得到比较准
确的结果，请你设计一个方案进行调查并将结果记录下来． ◆能力提高 8．在拼纸游戏中，把图中三张纸牌放在盒子里搅匀，任取两张，看能拼成菱形还是房子，拼成菱形和房子的概率分别是多少？ 9．桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4．这些卡片除数字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，?记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀，乙也从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，?然后将这两数相加．（1）请用列表或画树状图的方法求两数之和为5的概率； （2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜，反之则乙胜．若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方才公平？ ◆拓展训练 10．小王想知道6个人中有两个人是同月出生的概率，如果不进行调查，你能帮助小王设计一个方案吗？
毕业论文.概率统计在生活中的应用Word版
毕业论文 课题 学生姓名胡泽学 系别 专业班级数学与应用数学指导教师 二0 一六年三月
目录 摘要.................................................................... I ABSTRACT................................................................... II 第一章绪论. (1) 第二章概率在生活中的应用 (4) 2.1在抽签和摸彩中的应用 (4) 2.2经济效益中的应用 (8) 2.3在现实决策中的应用 (4) 2.4在相遇问题中的应用 (12) 2.5在预算及检测中的应用 (10) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)
概率统计在生活中的应用 摘要 随着时代的发展人类的进步，17—18世纪出现了一门新的学科概率论，概率论逐渐成为了为数不多的可以和传统数学相抗衡的学科之一，并一步步的走向了人们的生活，成为了人们生活中不可或缺的部分。 本文先简述了概率论的发展，之后从概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。多方面论述了概率的应用。 关键词：概率；概率的含义；概率的应用
Abstract
第一章绪论 概率统计是一门和生活关联紧密的学科同样也是一门特别有趣的数学分支学科，17-18世纪，数学得到了快速的发展。数学家们打破了古希腊的演绎框架，社会生活对与自然界的多方面吸取灵感，数学领域涌现了许多新面孔，之后都形成了完整的数学分支。除了分析学这之外，概率论就是同时期能使"欧几里德几何不相上下"的几个伟大成就之一。 概率的发源与赌博有关，伴随着科学技术的发展进步以及计算机普及,它在最近几十年来的社会科学和自然科学中得到了特别广泛的应用,在生活与社会生产中起着很重要的作用。我们生活在一个千变万化千变万化、千变万化的时代里，而我们每个人无时无刻都要直面生活中遇到的问题。而其中很多的问题都是随机的与随机的随机的。如决策时如何获取最大利益，公司要如何组合生产才能取得最大收益，如何加大买彩票的获奖概率，怎样进行误差分析、所购买物品的产品检验，生产质量把控等，当我们在遇到这些问题时应该如何解决它呢？幸好我们如今有了概率，概率是一门探索和揭示随机现象和规律的一门学科。 实践证明,概率是对生活中碰到的问题进行量的解答的有效工具,对经济决策和预测提供了新型的手段。下文就通过列举实例来表述概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。
趣味数学078：至少两个人生日相同的概率有多大
至少两个人生日相同的概率有多大 “n个人中，至少2人的生日相同的概率是多少？” 这是一道概率论中的名题。如果说，在任意50个人中，很可能有2人生日相同，人们也许会不相信。因为，按照一般的想法，一年有365天，每个人的生日都是随意的。365比50大得多，在区区50人中怎么会那么巧，有2人同一天出生？即使偶尔有的话，那也纯属巧合，绝对没有普遍性。 的确，每人的生日都有365种可能，那么，怎样计算“至少2人生日相同”的概率呢？“至少2人的生日相同”既包括“2人的生日相同”，也包括“3人的生日相同”“4人的生日相同”……“50人的生日相同”。如果照这样去计算，实在是太复杂了。不妨换一种思路，先算出与“至少2人的生日相同”相对立的事件“没有人生日相同”的概率，这两个概率的和等于“1”。再从“1”中减去“没有人生日相同”的概率，就得到“至少2人生日相同”的概率。 按照这种思路：第1个人的生日是随意的，有365种可能，概率是365/365＝1；第2个人的生日不能与第1个人相同，只有365－1＝364种可能，概率是364/365；第3个人的生日不能与前面2人相同，只有365－2＝363种可能，概率是363/365；……；第50个人的生日不能与前面49人相同，只有365－49＝316种可能，概率是316/365。于是，50个人的生日都不相同的概率是1×(364/365) ×(363/365) ×…×(316/365)≈0.027。所以，“至少2人生日相同”的概率是1－0.027＝0.973≈0.97，即97%。可见，在任意50个人中有2人生日相同的可能性还是非常大的。 如果用n表示人数，p(n)表示n人中至少2人生日相同的概率，计算得到： p(5)＝0.03 p(10)＝0.12 p(15)＝0.25 p(20)＝0.41 p(25)＝0.57 p(30)＝0.71 p(35)＝0.81 p(40)＝0.89 p(45)＝0.94 p(50)＝0.97 p(55)＝0.99 可以看出，当人数超过55人时，至少2人生日相同的概率就会超过
概率论在现实生活中的意义
概率论在现实生活中的意义 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：
由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述： 日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。 大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、 B、 C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。
浅谈概率论在生活中的应用
单位代码: 分类号: X X 大学 题目: 浅谈概率论在生活中的应用专业名称: 数学与应用数学 学生: 学生学号: 指导教师: 毕业时间:
浅谈概率论在生活中的应用 摘要:随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域,概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.它的实际应用背景很广,包括自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中.另外,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识.可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一.本文通过对现实生活中的部分现象分析探讨了概率知识在日常生活中的广泛应用. 关键词:随机现象;概率;日常生活;应用分析
Discuss the application in life probability Abstract: Random phenomenon exists in every aspect of our everyday lives and scientific technology each domain, probability and mathematical statistics is an important basic course in college mathematics, and is the only the study of random phenomenon regular course, its guiding people from representation see its nature. Its actual application background is very wide, including natural science, social science, engineering, economics, management, military and industrial and agricultural production, etc. Through continuous development, the theory and method of subject itself becomes mature, in recent years, the probability and statistics knowledge also more and more penetrated into such as physics, genetics, information subjects such as the midst. In addition, in social life, even interview, gambling, lottery tickets, sports and weather, etc are also involves probability learn knowledge. Can say, probability and statistics is the most active in mathematics, the most widely used in the fields of. This article through to in real life part phenomenon discussed probability knowledge in daily life the widely application. Keywords:random phenomenon; probability; daily life; application analysis
《生日相同的概率》导学卡(生用)
课题：九年级上册《生日相同的概率》导学卡主备:九年级数学组 学习目标： 1.能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率． 2.经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力． 3.通过对贴近生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣，并且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观． 教学重点： 用实验的方法估计一些复杂的随机事件的概率． 导学卡 任务一：（温故知新） 1.下列事件是随机事件，必然事件，还是不可能事件？ （1）13人中，有两个人在同一个月出生。 （2）掷一枚均匀的骰子，朝上的点为6点。 （3）在400人中，至少有两人在同一天出生。 （4）50人中有，有两人的生日相同。 2.星期天，小颖有事要与小亮打电话，但小亮家的电话号码的后两位数想不起来了，小颖随意拨一个电话号码，她能打通小亮家的概率为。 任务二：听故事，入新课：（美国数学家伯格米尼的故事） 任务三：经历实验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率 活动1、调查全班45个同学的生日，看看有无2个同学的生日是相同的． 活动形式：全班按学习小组进行，组长进行统计。 在活动之前，请同学们思考：1、如果咱们班45个同学中有两个同学的生日相同，那么能说明这45个同学中有2个同学生日相同的概率是1吗？ 2、如果咱们班没有两个同学的生日相同，能说明其相应概率为0吗？ 3、为了节约时间，写生日时，可以进行一定的简化，如可将“2月16日”记为“2.16”．活动2、每位同学心中随便想一个生日号码，为了简便起见，用1—365中的一个数来代表，写在纸上。请一位同学写在黑板上。（至少做十次） 任务四：活动小结：这个问题出人意料之处在于其结果违反了人们的直觉．人们往往觉得两个人生日相同是一种可能性不大的事情．但计算结果告诉我们：如果人数不少于23人，那么这种可能性就会达到50％． 训练卡 基本题： 1.下列说法正确的是（） （A）“明天的降水量概率为30%”是指明天下雨的可能性是30% （B）连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25 （C）连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数 （D）某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖
概率论在现实生活中的意义
概率论在现实生活中的意义 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下： 由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述：日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。 大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。
概率论与数理统计在生活中的应用
概率论与数理统计在生活中的应用 单位:兴隆场初级中学姓名:姜宏琼 摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。 关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用 由赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半——30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。 赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。他们设想：如果继续赌下去，梅勒（设为甲）和他朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得
生活中的概率论
生活中的概率论 【摘要】本文论述了概率统计的某些知识在实际问题中的应用，主要围绕公平性、朋友、巧合、决策等方面，从独特的视角对现实生活中的一些问题进行深入解读，并提供了解决问题的良好思路，揭示概率统计与实际生活的密切联系，为应用概率知识解决实际问题、数学模型的建立、学科知识的迁移奠定一定的理论基础。 【Abstract】In this article, the writer has made a discussion on some knowledge about the application of the probability Statistic in the factual problem, main rounding equitable quality, friend, coincidence and decision-making to have unscrambled some problem in factual life from the special angle. In addition, the excellent way for solving that has also been offered, which has laid a certain theoretic foundation for applying the probability knowledge to solve factual problems, build mathematics model and transfer subject knowledge and opening out the close relation between probability Statistic and factual problems. 【Keywords】Theory of probability Equitable quality Coincidence Decision-making 引言：概率论在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来，被广泛应用于各个领域，在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯（Jevons，1835－1882）所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”。在日常生活中，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系，运用概率论可解读生活现象，透视社会规则，掌握制胜的生存哲学。本文将从公平性、朋友、巧合、决策等方面谈谈概率在生活中的应用。 1．概率与公平性。中奖的公平性是指中奖结果与排队的先后顺序无关。请看下面的问题：有奖券n张，其中有m张有奖。现有n个人排队依次抽取一张且不放回，问每个人中奖的机会是否相同？ 分析：记（）表示第个人中奖，利用全概率公式 利用全概率公式计算时，由于完备事件组中事件的个数为，随着k的增大，计算难度越来越大，当时可用下面的方法分析： 首先考虑m=1的情形，即有n张奖券只有一张有奖。 记，则，显然。 利用全概率公式
概率论中几个有趣的例子
转载】概率论中几个有趣的例子 [ 2007-6-3 13:06:00 | By: Byron ] 推荐 作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics 已经酝酿很长时间的本文终于出场了。 写本文的主要目的：1 很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2 有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3 概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。 本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了） 当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。 要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff 的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是Von Neumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。因此，我下面的主要内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。这些例子一律来自伟大的Durrett的著作：Probability theory and examples——我认为最优秀的概率论教材。 例1. Coupon collector问题：X1,X2,…是独立同分布，均匀的取自集合{1，…，n}的随机变量序列。大家把集合{1，…，n}想象为若干张扑克牌，每次我们等概率的取一张扑克牌，取完放回。 ，意思就是手中取过k种不同的扑克牌所需的次数。T(n) =t(n,n)表示取过所有扑克牌所需的次数。X(n,k)=t(n,k)-t(n,k-1)，则X(n,k)服从参数是1-(k-1)/n的几何分布（思考题！），它的期望和方差可求，且容易发现X(n,1),…,X(n,n)相互独立，从而可以求出E T(n),Var T(n)（习题！)。且去证明依概率趋近于0.（数学基础稍微深一些的同学都知道，L2收敛蕴含依概率收敛）最终得到一个漂亮的结论： 依概率收敛于1.
概率在生活中的应用
概率在生活中的应用 概率论在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来，被广泛应用于各个领域，在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯（Jevons，1835-1882）所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”。在日常生活中，同样不难发现，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系，下面将说明概率统计在生活中的应用。 一、数学期望在求解最大利润问题中的应用 如何获取最大利润不但成为商界追求的目标，同时也为越来越多的人所关注，许多数学模型也从概率角度利用期望求解最大利润问题，为问题的解决提供新的思路。下面就是一道应用期望探讨利润的问题。 例1、五一期间，某鲜花店某种鲜花的进货价为每束2.5元，销售价为每束5元。若在五一期间内没有售完，则在五一期间营业结束后以每束1.5元的价格处理。据前5年的有关资料统计，五一期间这种鲜花的需求量为20束、30束、40束和50束的概率分别为0.20、0.35、0.30和0.15。问该鲜花店今年春节前应进该鲜花为多少束为宜？ 分析售出一束鲜花能获得利润5-2.5=2.5元，处理一束鲜花将亏损1元。由于量少不够卖，量多卖不完，即鲜花的需求量是随机变量。因此，需通过计算在不同进货量时对应的利润期望值E和损失风险R的大小决定进货量。 若进货量为20，则无论销售量是20、30、40和50时，利润均为（5-2.5）*20=50（元）；若进货量为30时，利润为（5-2.5）*20-（2.5-1.5）。10=40（元），当销量是30、40和50时，利润为（5-2.5）*30=75（元）；同理，可计算进货量为40和50时的利润数。 因此，当进货量为20时，利润的期望值El=50*.（0 20+0.35+0.30+0.15）=50（元）；当进货量为30时，利润的期望值为E2=40*0.20+75*（0.35+0.30+0.15）=68（元）；当进货量为40时，利润的期望值E3=30*0.20+65*0.35+100*（0.30+0.15）=73.75（元）；当进货量为50时，利润的期望值E4=20*0.20+55*0.35+90*0.30+125"0.15=69（元）。 另外，若选择进货量为20，当需求量分别是20、30、40和50时，损失均为0；若选择进货量为30，当需求量为20时，损失为75-40=35，当需求量为30、40和50时，损失均为0；同理，可计算选择进货量为40和50时的损失。 因此，当进货量为20时，损失风险RI=O*（0.20+0.35+0.30+0.15）=0（元）；当进货量为30时，损失风险R2=35*0.20+0*（0.35+0.30+0.15）=7（元）；当进货量为40时，损失风险R3=70*0.20+35*0.35+0*（0.30+0.15）=26.25（元）；当进货量为50时，损失风险R4=95*0.20+70*0.35+35*0.30+0*0.15=54（元）。 从利润期望值的最大角度考虑，似乎应选择进货量为40束，但是，从损失风险最小的角度分析，似乎选择进货量为20束更有道理。到底应如何决策？我们认为真正选择那种决策是与决策者的性格和心理素质有关。若偏爱冒险，可选择进货量为40束（利润期望值最大，同时损失风险也较大）；若偏爱保守，可选择进货量为20束（损失风险最小，同时利润期望值页最小）。实际上，若兼顾两者，进货量也可选择在20束至40束之间（利润的期望值和损失风险都介乎最小和最大之间）。 二、小概率原理在生活中的应用 这不是一件东西不是一个测试，现在，这是小概率原理。实际生活中的小概率事件原理指导人无意中。因为人们总是坚持这样一个信念：小概率事件在实际测试几乎是不可能的，如果事实上真的发生了，人仍然抱着这样的想法，而是这一事件的前提下，改变了。如果一
概率论在日常生活中的应用
概率论在日常生活中的应用 及数理统计在国民经济中的应用 021251班 马璁02125007
引言 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科,简单地说,就是一件事发生的可能性的大小.这门学科在社会生产和生活中起着非常重要的作用，概率统计几乎遍及所有的科学技术领域，工农业生产国民经济及日常生活各个方面，，比如:，在研究最大经济利润中寻求最佳生产方案，在检验生产产品合格率，在面试通过方面，在公交站台的侯车时间，打电话时间长短分配，在各种比赛赛制问题上，在生日概率问题上，以下通过具体的例子讨论概率论在生活中的应用。
目录 引言 (2) 日常生活的应用 (4) 一、生日概率问题 (4) 二、街边抽奖 (5) 国民经济中的应用 (6) 一、数学期望在企业经营中的应用 (6) 二、参数估计在商品进货中的应用 (7) 三、中心极限定理在保险业中的应用 (8)
日常生活的应用 一、生日概率问题 小时侯看《少年科学》,记得一个问题,就是在一群人中,你很有可能找到相同生日的人.而且你找到生日相同的人的可能性超过找不到生日相同的人的可能性,对这群人数的数字要求,可能并不像你想象中的那样高. 一个班有五十个人,我赌班上肯定有生日相同的一对同学.《少年科学》讲,胜算非常大.一直记不清人数达到多少时,有生日相同的人的可能性会超过百分之五十.终于看到答案:23人. 我们来看一个经典的生日概率问题.以1年365天计(不考虑闰年因素),你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同,那么需要多少人?大家不难得到结果,366人,只要人数超过365人,必然会有人生日相同.但如果一个班有50个人,他们中间有人生日相同的概率是多少?你可能想,大概20%～30%,错,有97%的可能! 它的计算方式是这样的: a、50个人可能的生日组合是365×365×365×……×365(共50个)个; b、50个人生日都不重复的组合是365×364×363×……×316(共50个)个; c、50个人生日有重复的概率是1-b a . 这里,50个人生日全不相同的概率是b a =0.03,因此50个人生日有重复的概 率是1-0.03＝0.97,即97%. 根据概率公式计算,只要有23人在一起,其中两人生日相同的概率就达到51%! 但是,如果换一个角度,要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大于50%,你最少要遇到253人才成.