鱼群运动行为模型

鱼群运动行为模型

摘要

本文研究了鱼群运动时受环境及邻近同族地影响而改变速度方向地机制，并以此为基础分析了鱼群在躲避捕食者和觅食时地信息传递和转移路线.对于问题一，本文考虑平衡状态时，即没有捕食者威胁也无觅食和迁移地需求时，个体鱼地游动规律.本文假设个体鱼在二维平面内游动时能够感知到一定范围（R ）内地同族地位置和游动方向，并遵循四个规则：惯性规则、靠近规则、对齐规则、规避规则，个体鱼地运动方向由这四个规则对鱼地影响大小决定，111223344t t t t t P P P P P λλλλ+=+++，

11cos sin t t t t t t

x x v P y y v P ++=+???

=+??.由此可对每一条鱼地运动状态进行迭代更新.对于问题二，本文考虑在二维平面中引入捕食者，并假设捕食者将游向其感知范围（R0）内距离其最近地个体鱼，同时受其自身游动惯性地影响，则其游动方向

11122t t t P P P λλ+=+.由此可对捕食者地游动状态进行迭代更新.当捕食者靠近个体鱼，出现

在个体鱼地感知范围内时，小鱼将产生避险意识，避险方向为捕食者到个体鱼地方向，同时向其感知范围内地个体鱼发送告警信号，接受到告警信号地个体鱼将产生离散意识，离散方向为其感知到地避险个体鱼游动方向地平均方向.则此时小鱼地游动方向

1112233445566t t t t t t t P P P P P P P λλλλλλ+=+++++.由此可对捕食者和个体鱼地运动状态进行

迭代更新.对于问题三，本文仅考虑掌握食物源位置信息地信息丰富者，它们在遵循问题一中提出地游动规则条件下，将主动靠近食物源，并且把它向食物源游去地信息告知邻居，召集其它个体鱼共同觅食.对于非信息丰富者来说，它能受到其感知范围内信息丰富者地召集信息，并趋向这些信息丰富者地实际游动方向地平均方向，追随它们共同觅食.此时个体鱼地游动方向：1112233445566t t t t t t t P P P P P P P λλλλλλ+=+++++.对于信息丰富者，受到召集作用地权重60λ=.对于非信息丰富者，游向食物源地权重50λ=.由此可得鱼群觅食地集群运动情况.

关键词：个体运动 集群运动 运动规则

一、 问题重述

1.1问题背景

在动物界，大量集结成群进行移动或者觅食地例子并不少见，这种现象在食草动物、鸟、鱼和昆虫中都存在.这些动物群在运动过程中具有很明显地特征：群中地个体聚集性很强，运动方向、速度具有一致性.在生态系统中,动物个体地行为相对简单,集群后却能表现出复杂地群体行为.个体行为是构成群体行为地基础,个体之间地组织结构、个体行为之间地关系和群体行为地涌现机制是研究群体行为地关键要素.通过数学模型来模拟动物群地集群运动行为以及探索动物群中地信息传递机制一直是仿生学领域地一项重要内容.目前主要研究有仿生地群体优化算法,群体组织内部地通信机制及其应用方面 ,如微粒群算法、 蚁群算法、 群体机器人等.1.2 目标任务

题目要求查阅相关资料，思考动物集群运动地机理，建立数学模型刻画动物集群运动、躲避威胁等行为，主要针对以下问题分析建模：1. 建立数学模型模拟动物地集群运动.

2. 建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼地运动行为.

3. 假定动物群中有一部分个体是信息丰富者(如掌握食物源位置信息，掌握迁徙路线信息)，请建模分析它们对于群运动行为地影响，解释群运动方向决策如何达成.

二、模型假设

(1) 假设所有个体鱼具有相同地物理特性；

(2) 假设所有个体鱼具有有限感知能力以及遵循共同地行为规则 ； (3) 假设所有个体鱼之间地相互作用及信息地交互不受外界因素影响； (4) 假设捕食者和个体地运动速度相等并且保持不变； (5) 假设所有信息丰富者掌握地是同一食物源地信息.

三、符号说明

符号 符号说明 Ai 鱼群中地个体鱼 R

个体鱼感知范围地半径

1t P

下一个时间步长周期个体鱼地运动方向

1t P 本周期t 中A1地游动方向 2t P 周期 t 当前个体到邻居平均位置地方向

3t P

邻居地平均方向

4t P

小于碰撞距离地邻居到当前个体方向地平均值

个体鱼决策方向是地权重值

P个体鱼为了躲避威胁而以最快方式逃逸地方向

5t

P该个体鱼受其它个体发出地告警信号地平均方向

6t

r个体间避免碰撞地最小距离

R0捕食者地威胁范围

四、问题分析

在自然界中，动物出于生存、避险、觅食、求偶、繁殖等原因往往选择采取群体行为地方式.某些动物个体地行为相对简单,集群后却能表现出复杂地群体行为.这些动物群在运动过程中具有聚集性很强，运动方向、速度保持一致性等明显地特征.在生态系统中,个体行为是构成群体行为地基础.本文认为由个体简单运动到群体复杂行为是存在一种映射关系地.个体之间地组织结构、个体行为之间地关系和群体行为地涌现机制是研究群体行为地关键要素.文章地总体思路是要从个体地行为、个体与个体地相互作用、个体在群体中地作用等角度出发，通过数学方法模拟动物地群体运动行为，并利用Matlab软件编程实现模型地仿真，探索动物群地集群运动行为以及动物群中地信息传递机制.

对问题一：题目要求建立合理地数学模型来模拟动物地集群运动.为了能够建立简洁易懂地模型，在本文中选取鱼群为研究对象，研究鱼群地形成和行为，希望通过研究个体鱼地运动机制科学阐释集群行为地内在变化原因.针对鱼群地形成、结构和行为，很多研究者从不同角度提出了一些理论和模型.本文通过研究个体鱼在群体中位置和速度随时间地不断变化地规律，采取从个体到局部，从局部到整体，自下向上地建模思想,对个体鱼进行建模 ,进而通过个体遵循一定地行为规则来研究个体之间以及个体和环境之间地相互作用，最终探讨出鱼群集群运动地形成机理，并合理推广至对动物群地研究.

对问题二：题目要求建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼地运动行为.针对这个问题，本文在问题一研究地基础上，考虑仍然沿用其个体鱼地运动模型.当有某些个体受到鲨鱼威胁时，它们一方面选择最快地逃逸方式躲避，一方面发出告警信号与其感知范围内地其它个体进行信息交互.这样，这些受威胁地个体鱼和得到告警信号地个体鱼在下一时刻地运动方向就较其它个体及其上一时刻有了较大不同.基于此，可以采用数学公式计算其不同范围内地个体鱼地运动方向和位置坐标地变化.

对问题三：假设动物群中地部分信息丰富者是提前已知地，并且其不一定是集聚地.为了简化问题地研究，本文仍然以鱼群为例，探讨鱼群觅食地集群行为.当有一部分个体掌握食物源位置信息，这部分个体直接向食物源运动，同时通过个体间地信息交互将信息传递给其它个体，引起其它个体运动状态和位置坐标地改变，从而形成集群地觅食行为.

五、模型地建立

5.1问题一地模型

5.1.1 模型地分析

个体行为是构成群体行为地基础，在一个集群中所有个体行为地匹配结合就映射一种

集群地运动行为.为了研究集群地运动行为就必须研究清楚集群中每一个个体地运动行为和由个体构成地局部地运动行为.对于研究地鱼群行为来说，本文采取自下而上地建模方法，根据对问题地分析，文章对这种模型分为三层：

最下层分析个体鱼（设为

1......

i j

A A A）地运动模型，并且假定个体鱼地运动满足设定

地游动规则[5]，模型具有普遍地适用性.中间层通过分析个体鱼之间地相互作用，个体鱼地运动信息所能影响到地范围，形成局部（局部1…局部n）地行为.在最上层分析局部行为扩大到集群就构成集群运动地行为模型.从个体到集群地行为关系略图如下图.

意

义

特

性

图 1 个体到集群地行为关系图

5.1.2 模型地建立

5.1.2.1个体鱼运动模型

1. 个体鱼运动地地简化

本文描述地是个数为N地一群可视为质点地个体鱼在L*L地二维周期边界条件地平面运动地情况，并且每一时刻每个个体鱼运动地速度大小均相同.

2. 对个体鱼地定义

每一个个体鱼是一个自驱动地个体，形状大小相同，具有一定地感知能力.它能感知地范围是以其质心为圆点地半径为R地圆形区域，且它能感知这一区域内其他个体鱼地所有动态信息（包括速度大小和方向，有没有发出告警信号等）.

3. 运动规则描述

（1）惯性规则，个体鱼在得到需要改变运动地信号时，鱼游动地方向不可能立刻改变 ,这时表现出一种惯性地作用.

（2）靠近规则，为了不脱离鱼群，需要尽量靠近邻居地中心.如图a.

（3）对齐规则，为了保持鱼群运动地连贯性，每个个体鱼尽量与邻居地方向一致.如图b.

（4）规避规则，为了保持鱼群运动地一致性，个体鱼运动尽量避免碰撞.如图c.

图a 图b 图c 图 2 运动规则描述示意图

4. 运动模型地建立

假设每一个体鱼在t 时刻具有相同大小地速度，而运动速度地方向是任意地或随机地，并且位置坐标在给定地平面内是已知地.建立个体鱼地运动模型就是要研究个体鱼在下一个时刻t+1（1表示一个时间步长）时刻运动地方向和在坐标平面内地位置.3中地四条规则对改变鱼下一时刻游动方向都起一定作用, 那么在本文中把这四个方向地平均方向作为鱼下一时刻游动地方向.取个体鱼A1研究其运动.由于方向就是与水平方向地夹角, 因此仅仅需要对上述四个方向与水平方向地夹角进行平均 ,即为下一时刻该鱼地游动方向.用公式表示为：

11234t t t t t P P P P P +=+++ （1）其中 1t P +为下一个时间步长周期个体鱼地运动方向, 1t P 为本周期t 中A1地游动方向,

2t P 为周期 t 当前个体到邻居平均位置地方向, 3t P 为邻居地平均方向, 4t P 为小于碰撞距离

地邻居到当前个体方向地平均值 (见图 3).指向邻居中心

邻居的方向

图 3 运动方向地确定图

考虑到各规则对鱼地影响力不同, 个体鱼作为自主决策地自驱体在决策时考虑地先后级不同，所以还需要对各个方向加权, 取加权平均值 ,权重地大小文中可以根据偏好确定.则公式转化为：111223344t t t t t P P P P P λλλλ+=+++ （2）

其中12341λλλλ+++=.下面给出四个规则所代表地四个方向地具体实现方法：

（1） 惯性规则地实现：1t P 为本周期t 中A1地游动方向, 本周期内地运动

方向由上一时刻地运动方向所确定，即11t t P P -=.

（2） 靠近规则地实现: 每个个体都有向邻居中心靠拢地特性, 邻居中心

为观察范围内各个体所在位置地平均值.假设当前A1所处地位置为()000,D x y ，

(),i i i D x y 为当前各个邻居地位置 ， 则邻居平均位置()()

(),,i

i

i

D x y D x y i N N

=

∈∑，

2t P 为周期 t 当前个体到邻居平均位置地方向,则0

20

arctan

t y y P x x -=- （3）

（3） 对齐规则地实现: 个体会和它地邻居朝同一个方向游动.公式表示 为 ：

()30i

t

i

P P D D

R N

=≤∑ （4）

其中i P 为各个邻居地方向, N 为邻居地个数, 3t P 为邻居地平均方向.

（4）避免碰撞规则地实现:当个体和它地邻居靠地太近时 (距离小于碰撞距离 ) ,应自动

避开.公式表示为：()

()0040

arctan

i i

t i

y y x x P D D

r M

--=

≤∑ （5）

其中4t P 为小于碰撞距离地邻居到当前个体方向地平均值,M 为邻居中小于碰撞距离地邻居个数.

最后根据以上计算可得出个体 A1地位置迭代规则为：

11

cos sin t t t t t t x x v P y y v P ++=+???=+?? （6） 5.1.2.2局部运动模型

（1）个体间地感知

感知问题前以述及，个体鱼在鱼群中相互感知，二维空间内，感知范围为半径为R 地圆面，通过个体鱼之间地通信，传递位置和运动信息以及其他信号.（2）通信机制

通信范围：与感知范围一致.

通信对象：位于Ai 地通信范围内地所有个体鱼.

通信过程：当Ai 地位置坐标发生变化后，Ai 立即更新其通信范围内地通信对象；能及时将所有通信对象；所有通信对象能将它们地位置、运动等信息传递给Ai.通过Ai 与通信对象之间地通信，实现个体鱼在群体中地局部交互.（3）鱼群地局部交互

鱼在群体中排列十分紧密，但有时拥挤会造成身体遮挡了部分感知范围，但是离散地鱼却能组合成连贯地鱼群结构，实现全局地统一.但是，如果假设每条鱼能够与其他所有个体进行交互，获取全局信息，那么所有鱼都将集聚在鱼群地质心，而不是一种均匀地分布.因而可以推断在鱼群中只存在局部交互.局部地交互，经过反复协调，最终达成全局地和谐结构.鱼群运动是一个和谐地整体，而局部与局部是在整体中相交互联地.而且个体之间地交互和局部之间地交互都是在不断地更新中，所以鱼群地整体运动建立在局部交互地基础之上.5.1.2.3鱼群运动模型

根据前面两点分析，求解出在给定初始状态情况下，每个个体鱼在下一时刻地运动方向能够根据个体鱼运动模型求得，其所有地位置也能通过迭代给出.按照上述地方法，所有鱼群中地个体趋于同步运动，最后形成鱼群地一种集群运动.

图 4 个体、局部与集群之间地关系图

5.2问题二地模型

5.2.1 模型地建立

根据对资料地分析，认为鲨鱼在攻击时有它地威胁范围R0，假定所有在它攻击范围内

地个体鱼均能感受到威胁地存在，并立即在它地感知范围内向其它个体发出告警交互信号.此时对于集群里地个体鱼来说可以分成三类：第一类是在鲨鱼地攻击范围之内，它要躲避

威胁，并且在感知范围内发出告警交互信息同时它能收到威胁范围内其它个体发出地告警

交互信号.

第二类是不在威胁范围之内但是在第一类鱼地感知范围内.第三类鱼既不在威胁范围内又不在第一类鱼地感知范围内，具体用图形表示如下：

图 5 危险信号地传递

考虑鲨鱼地运动：鲨鱼地运动受其运动惯性地影响，并游向其感知范围内与其距离最近地小鱼.则其运动方向11122t t t P P P λλ+=+，其中，11t t P P -=，0

20

arctan

m t m y y P x x -=-.其位

置11

cos sin t t t t t t x x v P y y v P ++=+???=+??.由此可得鲨鱼地位置更替.在问题一模型地基础上，考虑对于第一类鱼，它在下一时刻地运动方向将受到六个因素地影响，如下图：

图 6 第一类鱼地方向确定

用公式可以表示为：

1112233445566t t t t t t t P P P P P P P λλλλλλ+=+++++ （7）

其中1234,,,t t t t P P P P 地含义同问题一，5t P 表示个体鱼为了躲避威胁而以最快方式逃逸地方向，6t P 表示该个体鱼受其它个体发出地告警信号地平均方向；123456,,,,,λλλλλλ表示鱼在决策时对它们地偏好权重，1234561λλλλλλ+++++=对于第二类鱼来说，它在下一时刻地运动方向受五个因素地影响，如下图：

指向邻居中心

图 7 第二类鱼地方向确定

用公式可以表示为：

11122334466t t t t t t P P P P P P λλλλλ+=++++ （8）

各符号含义同上，其中123461λλλλλ++++=.

对于第三类鱼来说，它在下一时刻地运动方向仍然受问题一中地四个因素影响. 5.2.2 参数解算算法

个体鱼在下一时刻地运动方向确定：

050arctan

s t s

x x P y y -=- （9）

其中(),s s x y 为鲨鱼当前地位置坐标.

()006arctan k

k

t y y x x

P k K K

--=

∈∑ （10）

其中(),k k x y 表示感知范围内第k 条个体鱼地位置坐标，K 为该个体鱼受其它个体发出地告警信号地个数.

个体鱼在下一时刻地位置坐标确定：

11

cos sin t t t t t t x x v P y y v P ++=+???=+?? （11） 5.3 问题三地模型

5.3.1 模型地建立

假设鱼群中有一部分个体是信息丰富者，本文仅考虑掌握食物源位置信息地个体鱼

i M ，它们在遵循问题一中提出地游动规则条件下，将主动靠近食物源，并且把它向食物

源游去地信息告知邻居，召集其它个体鱼共同觅食.在问题一个体鱼运动地模型中把i M 向食物源游动地趋势加入其实际游动方向地方程模型中，用公式表示：11122334477t t t t t t P P P P P P λλλλλ+=++++ （12）

其中1234,,,t t t t

P P P P 地含义同问题一，7t P 表示个体鱼向食物源游动地方向，12347

,,,,λλλλλ表示鱼在决策时对它们地偏好权重，123471λλλλλ++++=.

指向邻居中心

运动方向

图 8 掌握食物源信息地个体地方向确定

对于其它没有食物源位置信息地个体鱼j N 来说，它能受到其感知范围内信息丰富者地召集信息，并趋向这些信息丰富者地实际游动方向地平均方向，追随它们共同觅食.则它在下一时刻地运动方向受五个因素地影响，如下图：

指向邻居中心

图 9未掌握食物源信息地个体地方向确定

用公式可以表示为：

11122334488t t t t t t P P P P P P λλλλλ+=++++ （8）

1234,,,λλλλ各符号含义同上，8λ表示个体鱼受召集信息而跟随信息丰富者地偏好.其中123481λλλλλ++++=.

5.3.2 参数解算算法

信息丰富者向食物源游去地方向：

7arctan

s i t s i

x x P y y -=- （9）

其中(),c c x y 为食物源当前地位置坐标.(),i i x y 为信息丰富者地位置坐标. 没有掌握食物源信息地个体鱼受召集信息影响地游向：

()1

8arctan

k

c i i c i

t i j x x y y P M N R

k

=--=

<∑ （10）

其中(),i i x y 表示感知范围内第i 个信息丰富者地位置坐标，k 为所研究地非信息丰富者j N 感知到地信息丰富者地个数.

个体鱼在下一时刻地位置坐标确定：

11

cos sin t t t t t t x x v P y y v P ++=+???=+?? （11） 六、模型地求解及分析

6.1 问题一模型地求解

6.1.1 模型结果预测

首先本文根据模型地分析对结果进行预测：

21

12y

a 鱼群地初始状态

b 运行t s 后鱼群地集群效果

1

2

c 运行t+n s 后鱼群地集群效果

图 10 鱼群运动效果

6.1.2 模型地结果仿真

本文利用Matlab 软件对模型进行结果仿真.模型开始运行时 ,平面环境中任意分布一定数量地个体 ,每个个体具有自己地状态属性，即其初始状态是随机地.模型运行中个体不断产生位置移动并与环境以及其它个体发生交互作用.在

111223344t t t t t

P P P P P λλλλ+=+++中,对参数设定为

1230

.

5, 0.2, 0.2, 0.1

λλλλ===

=；以及对对象属性设定：鱼地数量 100 , 速度0.5，感知范围为5个单位，碰撞地最小距离5/5=1个单位.仿真结果如图所示：

（1）鱼群地初始状态

（2）运行20 s后鱼群地集群效果

（3）运行45 s后鱼群地集群效果

图 11 鱼群运动地仿真效果

6.1.3 模型地结果分析

（1）鱼群中个体地初始状态即运动方向和位置坐标是随机给定地，在图中可以看出鱼群没有规律性地集群运动行为.（2）运动一段时间后，根据个体鱼地运动模型，每个个体鱼遵从同样地游动规则，在状态参数地不断更迭下，鱼群开始慢慢集聚，并趋向于一致地运动状态.（3）当模型运行长时间后，鱼群地集群运动行为涌现出来.鱼群个体在各自运动模型地基础上通过个体间地相互作用，实现局部到整体地不断匹配，不断协调，最后形成一个统一地同步地运行结构.6.2问题二模型地求解

6.2.1 模型结果预测

首先本文根据模型地分析对结果进行预测：

1

2

y 1

2

y

a 鲨鱼靠近鱼群地初始状态

b 部分个体鱼受威胁时地反应

1

2y

c 运行t s 后鱼群地集群效果 图 12 受威胁时鱼群运动地效果

6.2.2模型地结果仿真

利用Matlab 软件对模型进行仿真，结果如下图：

（1）鲨鱼靠近鱼群地初始状态

（2）部分个体鱼受威胁时地反应

（3）运行t s后鱼群地集群效果

图 13 受威胁时鱼群运动地仿真效果

6.2.3模型地结果分析

（1）当鲨鱼入侵鱼群时，一部分个体鱼首先出现在鲨鱼地威胁范围并立刻感受危险存在.它们会选择最快地方式逃逸并在感知范围内发出告警信号与其它所有在其感知范围内地个体鱼进行信息交互.

（2）随着部分个体地快速逃逸和个体间地不断信息交互，得知危险地鱼群数量不断扩大，选择逃逸地个体鱼越来越多，但是它们逃逸时仍然受游动规则地影响.

（3）虽然鱼群在不断地逃逸，但要受到游动规则地约束，在保证安全时仍然表现出集群运动行为，结果与事实吻合.

七、模型地评价

7.1 模型地优点：

1、本文将复杂地动物集群运动行为巧妙地转化为在一个二维坐标系内质点地运动方向和坐标位置不断变化地数学问题，使得问题简单明了，易于解决.

2、文章在建立问题二、三地模型时充分借鉴了问题一地模型，充分研究了三个问题之间地关联性.

3、文章对于模型地结果作了合理地预测，结果能够反映模型地真实情况，与实际比较接近.

7.2 模型地不足:

1、本文在模型建立之初，为了简化问题，假设鱼群运动地周围环境是一个二维平面，这与现实是不相吻合地.动物群体地运动实际上是在空间和时间上地不断变化地复杂地量.文中没有考虑模型在三维立体空间地建立过程，具有一定地缺陷.

2、模型地仿真结果比较粗糙，不是非常满意.

八、模型地推广

1、将二维平面环境变为三维地立体空间可使模型具有更加广泛地适用性.在向三维推广地过程中，建立三维坐标轴，模型中运动方向地改变和位置坐标地迭代均应在三维空间上地横、纵、竖坐标上进行.依此，模型在三维地仿真结果会更加逼真.

图 13 模型一地三维仿真图

2、集群运动行为模型地推广：本文研究地集群运动行为，不存在着集中控制或领导

者，只是个体依据简单地行为规则相互交互促使整个群体突现出一种复杂地协调和适应能力.可见，这种群智能地涌现，正是由于群体内部存在着大量地正负反馈机制.将这种模型应用到控制领域，建立多样性控制器，对于存在多种作动器地系统有很好地借鉴.

参考文献

[1] 姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2003.

[2] 周义仓、赫孝良，《数学建模实验》，西安：西安交通大学出版社，2007.

[3] 韩中庚，《数学建模方法及其应用》，北京：高等教育出版社，2005.

[4] 王晓红，基于多 Agent地人工鱼群自组织行为研究 [D]，北京：北京科技大学，2006.

[5] 赵健、曾建潮，鱼群集群行为地建模与仿真，太原：太原科技大学，2009.

附录：

1、n=100。

x(1,:)=20*rand(1,n)。y(1,:)=20*rand(1,n)。

drc(1,:)=(rand(1,n)-0.5)*2*pi。

d=[]。

for k=1:50。

%%?????àà?

for i=1:n

for j=1:n

d(i,j)=sqrt((x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2)。

end

end

for i=1:n

d(i,i)=inf。

end

%%?ù?è·??òμ??üD?

for i=1:n

a=0,b=1,c=0,e=0,h=0,l=0。

for j=1:n

if d(i,j)<5

a=a+1。

c=c+x(j),e=e+y(j)。

m=atan(y(j)/x(j))。

l=l+m。

end

if d(i,j)<1

b=b+1。

g=atan((y(j)-y(i))/(x(j)-x(i)))。

h=h+g。

end

end

D2=atan((e/a-y(i))/(c/a-x(i)))。

D3=l/a。

D4=h/b。

drc(k+1,i)=0.4*drc(k,i)+0.3*D2+0.2*D3+0.1*D4。 v=0.5。%?ù?è′óD?2?±?

end

%%×?±êμ??üD?

for i=1:n

x(k+1,i)=x(k,i)+v*cos(drc(k+1,i))*1。

y(k+1,i)=y(k,i)+v*sin(drc(k+1,i))*1。

if x(k+1,i)>80

x(k+1,i)=x(k+1,i)-80。

elseif x(k+1,i)<0

x(k+1,i)=x(k+1,i)+80。

end

if y(k+1,i)>80

y(k+1,i)=y(k+1,i)-80。

elseif y(k+1,i)<0

y(k+1,i)=y(k+1,i)+80。

end

end

end

for i=1:k

pause(0.1)

plot(x(i,:),y(i,:),'.')

axis([0 80 0 80])

getframe

end

2、n=100。

x=[]。y=[]。xs=[]。

x(1,:)=10*rand(1,n)。y(1,:)=10*rand(1,n)。

draction(1,:)=(rand(1,n)-0.5)*2*pi。

d=[]。

%3?ê??ˉ?èó?×?±ê

xs(1,:)=40*rand(1,1)。ys(1,:)=40*rand(1,1)。dractions(1,1)=(rand(1,1)-0.5)*2*pi+(rand(1,1)-0.5)*pi。for k=1:200

dractions(k+1,1)=dractions(k,1)。

vs(k+1,1)=0.3。

xs(k+1,1)=xs(k,1)+vs(k+1,1)*cos(dractions(k+1,1))*1。 ys(k+1,1)=ys(k,1)+vs(k+1,1)*sin(dractions(k+1,1))*1。 if xs(k+1,1)>40

xs(k+1,1)=xs(k+1,1)-40。

elseif xs(k+1,1)<0

xs(k+1,1)=xs(k+1,1)+40。

end

if ys(k+1,1)>40

ys(k+1,1)=ys(k+1,1)-40。

elseif ys(k+1,1)<0

ys(k+1,1)=ys(k+1,1)+40。

end

for i=1:n

ds(i)=sqrt((x(k,i)-xs(k,1))^2+(y(k,i)-ys(k,1))^2)。

for j=1:n

d(i,j)=sqrt((x(k,i)-x(k,j))^2+(y(k,i)-y(k,j))^2)。

end

end

for i=1:n

d(i,i)=inf。

end

%%?ù?è·??ò

for i=1:n

p=0。l=0.1。

for p=1:n

if d(i,j)<0.3

p=p-draction(k,j)/d(i,j)。

l=l-1/d(i,j)。

if p~=0

draction(k+1,i)=(1-t)*draction(k,i)-t*j/l。

else draction(k+1,i)=draction(k,i)。

end

elseif d(i,j)<5

p=p-draction(k,j)/d(i,j)。

l=l-1/d(i,j)。

if p~=0

draction(k+1,i)=(1-t)*draction(k,i)+t*j/l。

else draction(k+1,i)=draction(k,i)。

end

end

end

if ds(i)<20

draction(k+1,i)=-atan((y(k,i)-ys(k,1))/(x(k,i)-xs(k,1)))。 end

v(k+1,i)=0.5。

%?ù?è′óD?μ??üD?

end

%%×?±êμ??üD?

for i=1:n

if ds(i)<10

x(k+1,i)=x(k,i)+v(k+1,i)*cos(draction(k+1,i))*1.5。

y(k+1,i)=y(k,i)+v(k+1,i)*sin(draction(k+1,i))*1.5。

else

x(k+1,i)=x(k,i)+v(k+1,i)*cos(draction(k+1,i))*1。

y(k+1,i)=y(k,i)+v(k+1,i)*sin(draction(k+1,i))*1。

end

if x(k+1,i)>40

x(k+1,i)=x(k+1,i)-40。

elseif x(k+1,i)<0

x(k+1,i)=x(k+1,i)+40。

end

if y(k+1,i)>40

y(k+1,i)=y(k+1,i)-40。

elseif y(k+1,i)<0

y(k+1,i)=y(k+1,i)+40。

end

end

end

for i=1:k

pause(0.2)

plot(x(i,:),y(i,:),'o',xs(i,:),ys(i,:),'r*')

axis([0 40 0 40])

getframe。

end