2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案

（九年级组）

第一试

一、选择题

1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B

二、填空题

7．17

92（两边同时乘以a +b +c ） 8．-8 9．25-

=x （提示：[]x ≤x ＜[]x +1，原方程化为[]x ≤2[]x +27＜[]x +1，解得[]x =－3，代入原方程求出x .）

10．（1，21）（10

11,51-）（提示：除直角三角形ABC 斜边的中点外，直线AB 上与该中点关于斜边上高的垂足对称的点也满足题意）

第二试

一、解：设甲仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为x 台，y 台，()[]y x -12+台，则乙仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为（9-x ）台，（15-y ）台，()[]y -15x -9-20+台，设总运输费为S 元，

则S=10x +5y +6()[]y x -12++4（9-x ）+8（15-y ）+15()[]y -15x -9-20+，

得S=15x +6y +48=9x +6(x +y )+48，…………………………………………………………10分又0≤x ≤9，0≤y ≤15，4≤x +y ≤12，

S≥9×0+6×4+48=72，………………………………………………………………………15分此时，x =0，y =4，又()[]y x -12+=8，

故甲仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为0台，4台，8台.……………………20分

二、(1)证明：由AB =AD ，知∠ABD =∠ADB =α,由等弧对等圆周角知，∠ACD =∠ACB =α.令∠DFC =β则∠BAD =∠BFC =2β，故∠ABD +∠ADB +∠BAD =α+α+2β=180°，于是α+β=90°，∠CDF =90°.又∠FBC =180°-α-2β=α=∠FCB ，所以FB =FC …………………………10分

(2)解：设边BC 的中点为M ，连接FM . 易知△FCD ≌△FBM ,BC =2CD

又AC 是∠BCD 的角平分线，由角平分线定理，得2==CD

BC DE BE …………………25分

三、解：点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 坐标为（0，﹣3）．

∵y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，

∴顶点D 的坐标为（1，﹣4）；点E 的坐标为（1，0）．………………………………5分

（1）当点M 在对称轴右侧时．

①若点N 在射线CD 上，如图，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ． ∵∠CMN =∠BDE ，∠CNM =∠BED =90°，

∴△MCN ∽△DBE ，

∴2

1==DE BE MN CN ， ∴MN =2CN ．设CN =a ，则MN =2a ．

∵∠CDE =∠DCF =45°，

∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形，

∴NF =CN =a ，CF =a ，

∴MF =MN +NF =3a ，

∴MG =FG =

23a ， ∴CG =FG ﹣FC =2

2a ， ∴M （223a ，﹣3+22a ）．代入抛物线解得a =9

27， ∴M （37，﹣9

20）； ………………………………………………………………13分 ②若点N 在射线DC 上，如图，MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ． ∵∠CMN =∠BDE ，∠CNM =∠BED =90°，

∴△MCN ∽△DBE ，

∴2

1==DE BE MN CN ， ∴MN =2CN ．

设CN =a ，则MN =2a ．

∵∠C DE =45°，

∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形，

∴NF =CN =a ，CF =a ，

∴MF =MN ﹣NF =a ， ∴MG =FG =

2a ， ∴CG =FG +FC =2

23a ， ∴M （22a ，﹣3+2

23a ）．代入抛物线y =（x ﹣3）（x +1），解得a =5，

∴M （5，12）；………………………………………………………………………………21分

（2）当点M 在对称轴左侧时．

∵∠CMN =∠BDE ＜45°，

∴∠MCN ＞45°，

而抛物线左侧任意一点K ，都有∠KCN ＜45°，∴点M 不存在．…………………………24分

综上可知，点M 坐标为（37，﹣920）或（5，12）．……………………………………25分