经济数学(导数的应用习题及答案)
第四章 导数的应用
习题 4－1
1. 验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理，如果满足，试求出定理中的ξ．
(1)()f x =3
x x -，[-1，1] (2)()f x =321x - [-1，1]
解 (1) 因为函数3
()f x x x =-是多项式函数，所以()f x 在[-1，1]上
连续,在(-1,1)内可导, 且 (1)(1)0,f f -==故该函数在[-1，1]上满足罗尔定理条件,则至少存在一点(1,1)ξ∈-,使得
2'()310 f ξξ=-=
即
ξ=
(2)不满足.
因为'()f x =,所以()f x 在x =0处不可导,故函数在[-1,1]上不满足罗尔
定理的条件.
2．验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理．如果满足，试求出定理中的ξ．
(1) 3
11)(-+=x x f [2，9]
（2）
101()[0,3]
113x x f x x x -+≤≤?=?
-<≤?，，
解 (1)
因为函数()1f x =+()f x 在[2,9]上连续,
在(2,9)内可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 则至少存在一点(2,9)ξ∈, 使得
(9)(2)'()(92)f f f ξ-=-
即
1ξ=
+ (负值舍去).
(2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.
3. 验证柯西中值定理对函数3()2f x x x =++及2
()1g x x =+在区间[0，1]上的正确性，
并求出相应的ξ值．
解 因为3()2f x x x =++及
2
()1g x x =+是多项式函数，所以()f x 与 ()g x 在区间[0，1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,
则至少存在一点(0,1)ξ∈,使得
(1)(0)'()
(1)(0)'()
1
(13
f f f
g g g ξξξξ-=-==即舍去）.
4. 证明方程5
1030x x ++=有且只有一个实根.
证 设5
()103f x x x =++ 先证方程()f x = 0根的存在性. 因为lim (),lim ()()
x x f x f x f x →-∞
→+∞
=-∞=+∞，而在区间（-∞，+∞）上
连续，所以)(x f 在R 上满足零值定理条件,于是方程)(x f = 0在R 内至少有一个根.
再证方程)(x f =0根的唯一性.
假设方程)(x f =0至少有两个根βα,,即.0)()(==βαf f 则)(x f 在],[βα上满足罗尔定理条件,所以至少存在一点,0)('),,(=∈ξβαξf 使得即
50104
=+ξ
显然这样的ξ是不存在的,故假设不成立.所以方程5
1030x x ++=有且只有一个实根.
5. 证明不等式：
(1)ln(1) (0)(2)1,x x x x x e ex
>+>>>当时有
证 (1)设)1ln(
)(t t f +=,不难验证在)(t f 在[0,x ] 上满足拉格朗日中值定理条件,则至少存在一点ξ( 0<ξ 1 ln(1)1x x x ξ+= ?<+ 即 ln(1)x x >+. (2)设()t f t e =,显然()f t 在[1,x ] 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点ξ(1x ξ<<),使得 (1)x e e e x ξ-=- 又因为t e t f =)(是单调增函数,且1<ξ x e e e <<ξ 于是有不等式 (1) . x x e e e x e ex ->->即 6. 证明恒等式: 2 22arctan arcsin 1x x x π+=+(x ≥1). 证 令 22()2arctan arcsin (1)1x f x x x x =+≥+ 则 22 2'()1f x x = + + 因为当1x >时，2 (1)0,x -< 2(1)x =-- 所以当1x > 时，222 '()01f x x ==+ 由拉格朗日中值定理推论1可知，()f x ≡c(x ≥1),取x =1,有 (1)f =2arctan1+arcsin1=π 且函数()f x 在x =1处连续,所以1lim ()(1)x f x c f π +→=== 即当x ≥1时, 222arctan arcsin 1x x x π+=+. 7. 不求导数判断函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数'()0f x = 有几个实根及根的范围. 解 不难验证，函数()f x 在区间[1，2]，[2，3]上都满足罗尔定理条件， 故方程'()f x =0至少有两个实根，它们分别在区间（1，2），（2，3）内. 8.设()f x 在(a ，b )内二阶可导，且1()f x =2()f x =3()f x ，而a <1x <2x <3x 3x )内至少存在一点ξ，使得"()0f ξ=. 证 因为 a <1x <2x <3x 又因为()f x 在(a ，b )内二阶可导，所以函数)(' x f 在[ξ1，ξ2]区间 上满足罗尔定理条件，即至少存在一点ξ∈（ξ1，ξ2），使得0)(" =ξf . 9．设()f x ，()g x 在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，且()()0f a f b ==， g(x )≠0，试证： 至少存在一个ξ∈(a ，b ),使得 '()f ξg(ξ)='()g x f (ξ). 证 令 )() ()(x g x f x F = ，则函数()F x 在区间[a ，b ]上满足罗尔定理条件， 即至少存在一点ξ∈( a ，b )，使得 ''' 2()()()() ()0 ()f g g f F g ξξξξξξ-== 故 )()()()(' 'ξξξξf g g f =. *10. 按(4x -)的乘幂展开多项式432 ()534f x x x x x =-+-+. 解 因为'32' ()41523,(4)21f x x x x f =-+-= "2 "()12302,(4)74f x x x f =-+= "' ()2430,"'(4)66f x x f =-= (4) (4)()24, (4)24f x f == 所以 23 4()5621 (437(4)11( 4)( 4) f x x x x x =-+-+-+-+-）. *11.求下列函数在x =0处的泰勒公式： （1）)(x f =sin x (2))(x f =m x )1(+ 解（1）因为 ()()sin() 2n n f x x π=+，所以 (2)(4)(2)(0)(0)(0)(0)0 (0,1,2,,) m f f f f m n ====== '(5)(41)(0)(0)(0)1 m f f f +==== (3) (7) (41) (0) (0)(0) 1 (1,2,,) m f f f m n -====-= 故 3571 2 12111 1 s i n (1)() 3!5!7! (2 1)! m m m x x x x x x R x m --=- +-++-+- 其中余项212sin[(21)] 2() (01)(21)!m m x m R x x m π θθ+++= <<+. (2) 因为()(1)m f x x =+,'(0)1,(0),f f m == "' (0)(1)f m m =- ……………………… () (0)(1)(2)(1) m f m m m m n =---+ 所以 m x ) 1(+2 (1)12!m m mx x -=++ ++ (1)(2)(1)() !n m m m m m n x R x n ---++ 其中余项为 11 (1)(2)()(1)() (01) (1)! m n n m m m m m n x R x x n θθ--+++-+=<<+ 习题 4－2 1． 1． 求下列极限： + ++0 01 00sin 00ln sin 52(1)lim (2) lim cot 1 (3)lim (1sin ) (4)lim (ln )11 (5)lim (6)lim ()1x x x x x x x x x x x x x x x x x x e π →→→→→→- +-- + 1 1 111212ln tan 7(7)lim (8)lim sin (0) ln tan 2(9)lim (0) (10)lim ()()(11)lim (,0) x x x x x a x nx x x x n n x x x x x a e x a a a a a a n αα α→+∞ →→→+∞→∞>≠++++>其中，， （12）sin lim sin x x x x x →∞-+ （13） 11 01lim (1)x x x x e →??+???? 2tan 0 01 sin 1 (14)lim (15)lim ()sin x x x x x x x +→→ 解 000(sin5)'sin5(1)lim lim lim5cos5 5. 'x x x x x x x x →→→=== 220 001 ln sin 2(2)lim lim lim 0.cot csc x x x x x x x x x π + ++→→→- ==-=- 00ln(1sin ) cos 1 lim lim 1sin 0 (3)lim(1sin ). x x x x x x x x x e e e →→++→+=== 02 00 1 ln(ln ) ln(ln ) lim 11 ln(1ln 01 ln sin ta sin ln csc csc cot sin 0 lim 1 (4)lim (ln )lim lim 1. lim lim lim lim (5)lim e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e x e e e x e e e ++ →→++→+→+ ++ + →→→→+-→- ?- --→= = = =======n 000x 0 1. 1111 (6)lim()lim lim 1(1)11 lim . 2 x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e x e e xe e e e xe →→→→=----==---+==++ +20002 1 sec 77 ln tan 77tan 2tan 7(7)lim lim lim 1. 1ln tan 22tan 7sec 22tan 2x x x x x x x x x x x ++→→→?===?? x 1sin (8)lim sin lim 1, 1sin lim 1, 1.1 0, 0 1x x x x x x x x x αα αα α α ααα αα →+∞ →+∞ →+∞ -=∞>?? ===??? < 2 31 ln()1lim (9)lim lim 1 lim . 3 lim (10)lim () e . x x x x x x a x x e e x x e x x x x a e x e e →+∞→+∞→→-→+++→+∞ ===+ = == (11) t x =1 令, 则 1212001210011220 12112lim()lim(1)lim lim lim(ln ln ln ) ln lim( n n t t t t t t n n t t t t t t t t t n n t t t t t n n t n x x a a a a a a n n n a a a n a a n n n t t a a a a a a a a a a a →→→→→→∞ ++++++-=+++-++-?==+++=+由于故 1211ln 12). n x x a a a nx n n a e a a a n ++== (12) sin 1sin lim lim 1sin sin 1x x x x x x x x x x →∞→∞- -==++ 11 002 00111 1 (1)1lim ln[(1)] lim ln[] 011ln(1)11 1lim lim [ln(1)1]lim 21 (13)lim (1) x x x x x x x x x x x e x e x x x x x x x x x x x e e e e e e →→→→→++→-+-++-??+ == ?? ???? = == 011lim 2(1)2 . x x e e →-- +== (14) 2001 sin 1lim lim sin 0.sin sin x x x x x x x x x →→=?= (15)2 00 1 1 ln 1tan ln lim lim cot tan csc 0lim 1 lim ()e 1. x x x x x x x x x x x e e x ++ →+→→+→=== = 2．设320 lim(sin 3)0, x x x ax b --→++=试确定常数a ，b 的值. 解 因为 320 lim(sin 3) x x x ax b --→++ 33 2 2 sin 3lim 3cos 33lim 3x x x ax bx x x a bx x →→++=++== 所以 20 lim(3cos 33)0 x x a bx →++= 则3+a =0, 即a = -3. 2 2 0000 3cos 339sin 36lim lim 6327cos 36 lim 0 6 lim(27cos 36)0 x x x x x a bx x bx x x x b x b →→→→++-+=-+==-+= 又因为 所以 则 -27+6b =0，即b =9 2. 3. 设 l n (1)(tan ) ,01()1, 0x x x f x x -?< =??， 证明函数()f x 在x =0 处右连续. 证 因为ln (tan ) 1 [ln (1)]0 lim ln(1)0lim (tan )x x x x x x e -+-→+ -→=，且 1 11 000ln(1 ) 22 00ln (tan ) ln (tan ) ln (tan )lim lim lim [ln(1)]sec lim lim 0 tan x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + ++ ----→→→-→→==--?-=?== 所以 ln(1)00(00)lim (tan )1 x x f x e + -→+=== 又因为 (0)f =1=00f +（）, 所以()f x 在x = 0处右连续. 4．x →+ ∞时，()f x = 的极限存在吗？可否应用罗必达法则. 解 因为 lim lim x x →+∞ =以后仅以这种方式重复出现, 故此极限不能用罗 必达法则来求. 正确解法为 lim lim 1x x →+∞ = . 习题 4－3 1. 确定下列函数的单调区间： 2 222 (1)()(1) (2)()1(3),(3)()(4)() . 1133, x f x x e f x x x x f x f x x x x -=+=≤-?+==?>-++? 解 (1)函数的定义域D （f ）=（-∞，+∞） 222 23'()2(1)(2)2x x x f x xe x e x x e ---=++-=- 当0x <时,'()0f x >,因此(,0)-∞为函数的单调增区间;当0x >时，'()0f x <，因此 (0,)+∞为函数的单调减区间. (2)函数的定义域D （f ）=（-∞， 6] '()f x = 当4x <时，'()0f x >,因此(,4)-∞为函数的单调增区间;当46x <<时，'()0f x <,因 此46（，）为函数的单调减区间. （3）函数的定义域D （f ）=（-∞，-1）∪（-1，+∞） 2(2) '()(1)x x f x x += + 当(,2)(0,)x ∈-∞-?+∞时, '()0f x > , 因此(,2)(0,)-∞-?+∞为函数的单调增区间；当(2,1)(1,0)x ∈--?-时，'()0f x <,因此(2,1)(1,0)--?-为函数的单调减区间. (4) 函数的定义域D （f ）=（-∞，+∞） 1133431 '(1)lim lim 11x x x x f x x +→-→-+---===-∞ +++ +（） （）因 ，则 2 6 ,1 '() 3 ,1x x f x x +<-?=?>-? 当(,3)x ∈-∞-时，'()0f x <,因此(,3)-∞-为函数的单调减区间; 当(3,)x ∈-+∞时, '()0f x > , 因此(3,)x ∈-+∞为函数的单调增区间. 2．利用函数单调性证明下列不等式： 311(1)1)1 (2)3(1) 1 (3) arctan (0)3a b a b a b x x x x x x x + <+<<->-<<>( （4） 5x ≥时，2x >x 2 证 (1)设 1 ()f x x x =+ ，因为函数的定义域D （f ）=（-∞，0）∪（0，+∞）且 2221(1)(1) '()x x x f x x x --+== 所以当(1,)x ∈+∞时,'()f x >0, 即函数()f x 在(1,)+∞内为单调增函数. 又因为1 即 11.a b a b + <+ （2 ）设 1 ()3f x x =- - 21'()f x x = -= 当1x >时,'()0f x <,()f x 在(1,)+∞内为单调减函数; 又因为()f x 在1x =处连续,所以1lim ()(1)0 x f x f +→== 故对于(1,),x ?∈+∞有()(1)f x f < 即 1 3. x >- (3)先证不等式 arctan x 2 1 '()11f x x = -+ 当x > 0时,显然'()0f x <， 所以()f x 在（0，+∞）内单调减少. 由于当x >0时, ()lim ()lim (arctan )0x x f x f x x x ++ →→<=-= 故arctan x x <. 再证不等式 3 1a r c t a n (0) 3x x x x - <> 令 31 ()arctan (0) 3g x x x x x =--> 4 2 22 1'()10 11 x g x x x x =--=-<++ 所以()g x 在(0,)+∞内单调减少.因此,当x >0时,()(0)0g x g <=. 即当0x >时,31 arctan 3x x x -<. 综上所述，当0x >时，有不等式 31 arctan 3x x x x -<<. （4）设2 ()2x f x x =-，则 52'()2ln 22,(5)250x f x x f =-=->且 由于不易判定当5x ≥时,'()f x 是否大于零，采用'()f x 的导数来判定.因为 222''()2(ln 2)22(ln 4)20x x f x -=-=-> (5)x ≥ 且 14 5'(5)(2ln 42)|2ln 4100x x f x -==-=-> 所以当5x ≥时，'()f x 单调增加，有'()0f x >，从而()f x 单调增加，有()0f x >.即 当5x ≥时, 2 2x x >成立. 3．利用函数单调性证明方程32 30x x c -+=在区间[0，1]中至多有一 个实根，其中c 是常数. 证 设c x x x f +-=2 33)(, 则 )2(363)(2'-=-=x x x x x f 当）上是减函数，所以有， 在（即时，10)(,0)()1,0(' x f x f x <∈ (1)()(0)f f x f << 2()c f x c -<<即 当0 32 30x x c -+= 在区间[0,1]中至多有一个实根. *4.设()f x 在[0,+∞]上连续,在（0，+∞）内可导, 且(0)0f =, '()f x 在 （0，+∞）上是单调增加的, 证明函数 () ()f x g x x = 在（0，+∞）内是单调增加的. 证 欲证 () ()f x g x x = 在（0，+∞）内是单调增加的，只需证明 '()0 ( (0,)) .g x x >∈+∞即可 因为 2'()() g'()f x x f x x x -= 且函数?(x )在[0，+∞]上连续,在（0，+∞）内可导，所以, 当0x <<+∞时, ()f t 在[0,]x 上满足拉格朗日中值定理条件,则至少存在一点 ξ,(0), x ξ<<使得 ()(0)(0)'() ()'() f x f x f f x xf ξξ-=-= 即 2 2'()'()('()'()) '()f x x xf x f x f g x x x ξξ--= = 又因为'()(0,)f x +∞在上是单调增加的函数. 所以 )('f )x ('f ξ> (0)x ξ<<<+∞ 于是 '()0g x > 故 () ()f x g x x = 在（0，+∞）内是单调增加的. 5.单调函数的导函数是否也必为单调的？在区间（0，+∞）内考察函 数()sin f x x x =+. 答 不一定.例如函数()sin f x x x =+. 因为' ()1cos 0,()sin f x x f x x x =+≥=+所以为单调增函数.又因为''()sin f x x =-在 （0，+∞）上符号不定, 故.)(' 不是单调函数x f . *6 设f (x )在[0,+∞]上连续可导，且f (0)=1,|'()f x |< f (x ).求证: ()x f x e <(x >0). 证 设 () ()x f x F x e = ，则 ' 2'()()'()() ()x x x x f x e e f x f x f x F x e e --== 又已知条件|'()f x |< f (x ), 即)()('x f x f <.所以'()0F x <,即F (x )为减函数(x >0).因 而 F (x ) < F (0) = 1, 故()x f x e <(x >0). *7．证明函数 ln x y x x =+ 在其定义域内是单调增加的. 证 该函数的定义域为(0,+∞). 因为 22ln 1'x x x y -+= 令2 ()1ln g x x x =+- (x > 0)，则 (22'()2x x g x x +=? 当 ,'()0,(),()x g x g x g x g ∈<>时为减函数有; 当 ),'()0,(),()x g x g x g x g ∈+∞>>时为增函数有; 即当x ∈(0,+ ∞)时,总有 3()ln 02g x g >=->. 所以0'>y . 故ln x y x x =+ 在其定义域内为单调增加. 习题 4－4 1.求下列函数的极值： (1) 32 37y x x =-+ (2) 2(3)(2)y x x =-- (3) ln(1)y x x =-+ (4) y 解（1）函数定义域()D f R = 2'363(2)y x x x x =-=- 12 '0, 0, 2y x x ===令得驻点 . 讨论'y 在驻点左右两侧符号的变化： 在1x = 0处, 当x <0时, 'y >0; 当0 在2x = 2处, 当2 （2）函数的定义域为()D f R = 2 '2(3)(2)(3)(3)(37)y x x x x x =--+-=-- 令'y = 0，得驻点127 ,3 3x x ==.讨论'y 在驻点左右两侧符号的变化： 在 173x = 处，当77,'0;3'0.33x y x y <><<<时时，所以 173x =是 ()f x 的极大值点，极大值为74()327f =. 在23x =处，当3x >时，'0.y >所以23x =是()f x 的极小值点, 极 小值为f (3) = 0. (3) 函数定义域为 D （f ）= (-1,+∞) 1'111x y x x =- = ++ 令'y = 0, 得驻点 x = 0. 讨论'y 在驻点左右两侧符号的变化： 当-1 (4) 函数的定义域为 D （f ）= [-1, 2] '0 y = = 令'y =0,得驻点 1 2x = .讨论'y 在驻点左右两侧符号的变化： 当 112x -<< 时,'0;y >当122x <<时, '0y <, 所以 1 2x = 是该函数 ()f x 的极大值点, 极大值为13 ()22f = . 2.求下列函数在所给区间上的最值： (1) |4| (,)x y e -=-∞+∞ (2) 21 [,1]12x y x = -+ 解 (1) 因为函数在点x = 4处不可导,则函数没有驻点，且4|1x y ==，由x e 的单调性知，函数的最小值为1, 无最大值. (2)令 2 (2)'0 (1)x x y x += =+,得驻点0, 2(x x ==-舍去）. 当1 02x -<<时,'0;y <当01x <<时,'0y >. 故x = 0是()f x 的极小值点,极小值为y (0)=0. 又因为111 (), (1)222f f -==.故函数的最大值为11()(1),(0)0. 22f f f -===最小值 3. 利用函数最值与极值证明下列不等式： （1）1 1 (1)1, 2 p p p x x -≤+-≤ x ∈[0，1] p >1 (2) 1(01),(0,)x x x α ααα+≤+<<∈+∞ 证 (1)令()(1) [0,1]p p f x x x x =+-∈ 由 111 '()[(1)]0,2p p f x p x x x --=--== 得唯一驻点. 因为当 102x << 时,'()0;f x <当112x <<时,'()0f x >, 所以 12x = 是()f x 的极小值点，因驻点唯一， 1 2x = 也是最小值点，最小值为1 11()22p f -=. 又因 1 1(0)(1)1,(1) 1. 2 p p p f f x x -==≤+-≤故 （2）令()1, (0,)f x x x x α αα=-+-∈+∞ 由1 '()0f x x ααα-=-=, 得唯一驻点1x =. 又因为2 "()(1),"(1)(1)0f x x f ααααα-=-=-<则，故1x =是()f x 的极大值点，由其 唯一性知，1x =也是()f x 的最大值点，且(1)0f =. 所以()f x 在(0,)+∞内的最大值为(1)0f =,于是有不等式()0f x ≤.即 1 (0,).x x x ααα+≤+∈+∞ 4.设方程2 2 1 (0)x y y y +=>确定的隐函数为()y y x =，试讨论该函数 的极值点与极值. 解 在方程2 2 1x y y +=两边关于x 求导，则有 2222''0xy x yy y ++= 因为y >0, 所以 2 210x y +≠ 于是 2 ' 2 221xy y x y =-+ 令'0y =，得驻点 x =0. 由于当x >0时,'0y <; 当x <0时，'y >0. 所以x =0是函数y = y (x )的极大值点, 极大值为y (0)=1. ５.当a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在x =3π 处有极值?是极 大值还是极小值？并求出此极值. 解 因为x x a x f 3cos cos )(' += 1 '()cos cos 10 332f a a πππ=+=-=令，得知当a = 2时, x =3π为()f x 的一个驻点. 又由于 "()(sin 3sin )0. 33f a πππ=--=-= 所以当a = 2时, x =3π 为()f x 的一个极大值点, 极大值为()3f π= 6．要做一个底为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3， 底长与宽的 比为2 : 1，问各边长多少时，才能使表面积为最小？ 解 设底宽为x ，则长为2x ，表面积为S 由题意体积 2 272V x h ==，则高为 272 2h x = ，于是 2 22 72722162(22()2(2)422S x x x x x x x x =?+? +?=+ '2 21680x S x x =- =令，得 驻点3x =. 因为 "''3 432432 8. S (3)8027x S x =+ =+ >,所以()S x 在3x =处取得极小值，又因为驻点 唯一，3x =也是()S x 的最小值点，即长为6cm, 宽为3cm,高为2cm 时，才能使其表面积最小. 7．如函数()f x 在点0x 的邻域有定义，且在点0x 左右近旁一阶导数的 符号相反，那末，点0x 一定是函数()f x 的极值点么？试举例说明． 答 不一定. 例如, 1,0 (),0x x f x x x +≥?=? - 1,0 '()1,0x f x x >?=? - 但f (0) = 1不是()f x 的极值. 图4一1 ８．设三次函数3 2 ()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，试确定a 、b 、c 应满 足的条件，使 （１）函数()f x 是单调增加的;（２）函数()f x 有极值. 解 (1) 由于 2 '()32 f x ax bx c =++ ()f x 欲使单调'()0f x ≥增加，必有.因此有二次函数2320ax bx c ++≥ 又由二次函数根的判别式知, 必有 2 0,30a b ac >-≤. (2)要使函数()f x 有极值,则必有方程2 '()320f x ax bx c =++=有两个 不同的实根. 即2 30b ac ->. 习题 4－5 1．确定下列函数的凹性及拐点： （1）2 3 y x x =- (2) y =2 1x + (3) 2 ln(1)y x =+ (4) 53 y x x =+ 解（1）函数的定义域为()D f R = 2 '23,"26y x x y x =-=-, 令 1''0,3y x == 得 当 13x < 时，"0y >, 因此1(,)3-∞为函数()f x 的上凹区间;当13x > 时，"0y <, 因 此1 (,)3+∞为函数()f x 的下凹区间. 拐点为.12（，）327 (2) 函数的定义域为D (f ) = R 3 2 1' "0 (1)y y x = >+ 因此函数在定义域R 上是上凹的. (3) 函数的定义域为D (f ) = R 22 22 2(1) 2',"1(1)x x y y x x -= = ++ 令"0y =，得121,1x x ==-. 当1x <-时，"0y <时，因此(,1)-∞-为函数的下凹区间;当11x -<<时, "0y >, 因此（-1，1）为函数的上凹区间. 拐点为（-1，ln2）; 当1x >时，"0y <，因此(1,)+∞为函数的下凹区间. 拐点为（1，ln2）. (4) 函数的定义域为D (f ) = R 1 3 10'1"9y y x - =+= 由于在x = 0处二阶导数不存在，但0x >时，"0;y >0x <时，"0y <， 因此(0,)+∞为函数的上凹区间，(,0)-∞为函数的下凹区间. 拐点为（0，0）. 2 证明曲线y =. 证 函数的定义域为(,3]-∞ '"y y = = 当3x -∞<<时,"0y <, 因此函数在定义域内为下凹的.故曲线无拐点. 3.设()y f x =在0x x =的某个邻域内具有三阶连续导数. 如果 0)('',0)('00==x f x f ,0)('''0≠x f . 试问0x x =是否为极值点？为什么？又)(,(00x f x 点) 是否为曲线的拐点，为什么？ 解 0x x =不是极值点. 因为()y f x =在0x x =的某个邻域内具有三阶连续导数, 所以有 230000000"()"'() ()()'()()()()2!3! (f x f f x f x f x x x x x x x x x ξξ=+-+-+-介于与之间) 代入已知条件得 0()()f x f x =+ 3 0"'() ()3!f x x ξ- 当"'()0f ξ>时，00 00()(), ()(), f x f x x x f x f x x x >>?? < 同理可得时0)('''<ξf ,0x x =不是函数()y f x =的极值点.但点 00(,())x f x 是曲线的拐点. 例如曲线3()f x x =上的点(0,0)就是曲线的拐点. 4. 求 arctan 2x y =的单调性、极值及拐点. 解 函数定义域为D (f ) = R 2 2 '04y x = >+ 所以 arctan 2x y =为单调增函数，无极值. 又因为 224"(1)x y x =- +，所以当0",0;0",0><<>y x y x 时时，故点(0,0)为曲线的拐点. 5．试证明曲线 21 1x y x -= +有三个拐点，且此三点位于同一直线上. 证 因为2222 23122(1)(41)',"(1)(1)x x x x x y y x x -++-+==++ 令123"0.1, 22y x x x ==-==+得 1,"0,12,"0,22,"0,2,"0,,(1,1),(2(2x y x y x y x y A B C <-<<<->-<+<>+>---+ 当时当-当当故函数有三个拐点分别为 由A ，B 两 点的坐标, 得过A ，B 两点直线的斜率为 14AB k = 由A ，C 两点的坐标, 得过A ，C 两点直线的斜率为 14AC k = 所以点A,B,C 在同一直线上. 习题 4－6 作出下列函数的图形: 2 1.21x y x = - 解 函数定义域为11 ()(,)(,) 22D f =-∞?+∞ 令22'2 22'()021(21)x x x y x x -===--，则0, 1x x ==且12x =一阶导数不存在． 23222"()'(21)(21)x x y x x -==--, 则12x =二阶导数不存在． 函数一阶导数以及二阶导数的符号变化和曲线变化见表4－1. 表4－1 极大值(0)0f =，极小值 (1)1f =. 又因为 2 1 2 lim 21 x x x →=∞-，所以 221x y x =-有铅锤渐近线12x =且 2 22121lim lim 22x x x x x a x x x →∞→∞-=== - 222 1 1 12lim ( )lim 212 214x x x x x x b x x x →∞ →∞-+ =-==-- 所以函数有两条渐近线 111 , 224x y x ==+,其图形见图4－2所示. 图4－2 图4－3 2.1 x y e -= 解 函数的定义域为()(,0)(0,)D f =-∞?+∞ 因为1 1 ' 21'()0 x x y e e x - - ==>,所以()f x 无极值. 又令1 311"(2)0x y e x x -=-=，得 1 2x = 且0x =二阶导数不存在. 函数一阶导数以及二阶导数的符号变化和曲线变化见表4－2. 表4－2 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸 多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在 一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成 高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值 导数与微分在经济中的简单应用 一、边际和弹性 （一）边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本 总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。 平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则： 称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。 而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为： 其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。 类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为： 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为： 表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。 在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即： 其中=1或=-1。 由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。 注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。 事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有： 由极限存在与无穷小量的关系可知： （1） 其中，当很小时有： （2） 产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导 数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 专题8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：３ 考点二：导数的几何意义。 例2． 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21=k ,所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，,可得点M 的纵坐标为2 5，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：３ 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析:443'2--=x x y ,∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-，带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线Ｃ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线Ｃ相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点,则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=，∴ 230200 0+-=x x x y 。 又263'2 +-=x x y ,∴?在()00,y x 处 曲 线 C 的 切 线 斜 率 为 ()2 63'02 00+-==x x x f k ， 高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 导数在微观经济学中边际问题的应用 云南农业大学 关键词：导数；变化率；边际；边际分析。 前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常重要的作用。 高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。 一、导数的概念 从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。 二、经济学中常用的函数 导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。 （一）价格函数 一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者的消费额度就可以小些。 （二）成本函数 成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即 Z=X+Y 假设固定成本不变（X为常数），变动成本Y是产量Q的函数（Y=C(Q)），则成本函数为Z=X+C(Q)。 （三）需求函数 作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q仅受市场价格x的影响。即 （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 导数练习题（含答案） 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 （1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ） （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】 一、求下函数的导数 （1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx （9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1） （）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10 第七节 导数在经济学中的应用 本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回 内容要点： 一、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是， 收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、 函数弹性 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。 例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。 高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如 在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 一、选择题（每小题5分，共70分．每小题只有一项是符合要求的） 1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对 ２．已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是（ ）． A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 ３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）． A B ． C ．23 D ．23或0 ４．若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）． A ．[0,]π B ．2[0,)[,)23 ππ π C ．2[,)3ππ D ．2[0,)(,)223πππ ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图 所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）． ６．函数3 ( )2f x x ax =+-在区间[1,) +∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[3,)+∞ B ．[3,)-+∞ C ．(3,)-+∞ D ．(,3)-∞- ７．已知函数3 2 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小值分别为（ ）． '()f x A ． 427 ，0 B ．0，427 C ．427- ，0 D ．0，4 27 - 8．由直线21=x ，2=x ，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是（ ）． A. 415 B. 4 17 C. 2ln 21 D. 2ln 2 9．函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）． A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．12 b < 10．21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a 的值为（ ）． A ．18 B ．14 C ．1 2 D ．1 11. 已知函数()x x x f cos sin +=，则=)4 ('π f （ ） A. 2 B.0 C. 22 D. 2- 12．函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值是（ ） A. 32 B. 16 C. 24 D. 17 13．已知 （m 为常数）在 上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 14.dx e e x x ? -+1 0)(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 二、填空题（每小题5分,共30分） 15．由定积分的几何意义可知? --2 22 4x =_________． 16．函数 )0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 ． 17．已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的范围为______________． 18．设 是偶函数，若曲线 在点 处的切线的斜率为1，则该曲线在 处的切线的斜率为_________． 精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是. 13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求 y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为， 高中数学 导数及其应用学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数的导函数．．． 在区间上是增函数，则函数在区间上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） ()y f x =[,]a b ()y f x =[,]a b )(/x f 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o o y o y o y 2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有 可能的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线在点处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 21x y x =-()1,1 例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . 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