第三章数列知识点归纳与典型题型
第三章数列知识点归纳与典型题型
一．基础知识
1．数列和数列有关的概念
①数列的概念；②数列的项与项数；③数列的通项公式；④数列的和；⑤数列的分类；
⑥递推公式。
二．等差数列前n 项和的关系
1．等差数列{n a }的前n 项和公式为二次函数型
2．对于数列{n a }的前n 项和c bn an S n ++=2，当0=c 时，数列{n a }一定是等差数列；当0≠c 时，数列{n a }一定不是等差数列；但当2≥n 时，所组成的数列是等差数列。 3.求n S 的最大值、最小值的基本思路：
（1）当0,01>
（3）因n d
a n d d n n na S n )2
(22)1(1221-+=-+（0≠d ）。 当0
N n n ∈时，nd S S ＝－奇偶,
1
+n n
a a S S ＝
偶
奇,)(1++=n n n a a n S 当项数为)(12*
N n n ∈-时，n a S S ＝－偶奇,n a n S )1(-＝偶n
na S ＝奇1
-n n S S ＝偶
奇 三．等比数列前n 项和的关系
1．等比数列中一定要注意公比q 是否为1的情况，特别是当题目为字母时。
2．公比1≠q 的等比数列的前n 项和q
q a S n n --=1)1(1，变形为q a q q a S n
n -+--=1111，令
q
a k --
=11
则k kq S n n -=的形式，这在解选择题和填空题时常会用到。 四．n a 与n S 的关系：
??
?≥-==-)
2()1(1
1
n S S n S a n n n ，适用与一切数列。
五．常用的前n 项和公式
1．2
)
1(321+=
++++n n n 2．2
12531n n =-+
+++）（ 3．)1(2642+=++++n n n 4．6
)
12)(1(3212
2
2
2
++=
++++n n n n
5．4
)1(3212
23
3
3
3
+=++++n n n
6．3
)
2)(1()1(433221++=+?++?+?+?n n n n n
六．由递推关系寻求通项公式
类型1：递推式为)(1n f a a n n +=+型的，可用迭加法 题目1：在数列{n a }中，211=
a ，1
4121-+=+n a a n n ，求n a 。（提示：利用 )1
21121(211412
+--=-n n n 来计算）。(答案：243
4--=n n a n ) 类型2：递推式为n n a n f a )(1=+型的，可用迭乘法
题目2：在数列{n a }中，21=a ，n n a n
n a 1
1+=
+，求n a 。(答案：n a n 2=) 类型3：递推式为q pa a n n +=+1（0,1≠≠q p ）型的，可设)(1λλ+=++n n a p a 可得：λ)1(1-+=+p pa a n n ，与已知递推式比较，得1
-=
p q
λ，于是)1(11-+=-+
+p q a p p q a n n ，即{1-+p q
a n }是以p 为公比的等比数列，∴1
)1(111
---+
=-+p q
p p q a a
n n 注：λ其实就是一阶线性递推数列q pa a n n +=+1的特征根。
题目3：在数列{n a }中，11=a ，231+=+n n a a ，求n a 。(答案：1321
-?=-n n a ) 类型4：递推式为)(1n f pa a n n +=+（1≠p 为常数）型的，两边同除以1
+n p 得
111)
(++++=n n n n n p n f p a p a ，令n
n n p
a b =；1)()(+=n p n f n F ，则)(1n F b b n n +=+即为类型1 注：λ其实就是一阶线性递推数列q pa a n n +=+1的特征根。
题目4：在数列{n a }中，
651=a ，11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。(答案：
n n n a )3
1
(2)21(3-=) 类型5： ),(n n S a f 型的，这种类型一般利用??
?≥-==-)
2()1(1
1
n S S n S a n n n ，互化完成
题目5：在数列{n a }中，51=a ，前n 项和为n S ，且)(52*1N n n S S n n ∈++=+，求n a 。(答案：123-?=n n a )
类型6：递推式为n n n rq pa a +=+1（0,0,1≠≠≠q r p ）型的，这种类型一般利用
)(11n n n n q a p q a λλ+=+++，构成等比数列来解决。
题目6：已知数列{n a }的前n 项和为n S ，满足)3(2
131
2≥-?=---n S S n n n ）（，且23,121-==S S ,求n a 。(答案：n n n a )2
1(6)1(41-+-?=-)
等，以上几种作为参考由任课教师自行解决
七．数列求和
1．常见的裂项公式：
（1）
1
1
1)1(1+-=+n n n n
（2）
)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n
（3）
??
????++-
+=++)2)(1(1
)1(121)2)(1(1n n n n n n n （4）
)()
(1
1b a b a b
a --=
+）
（5））（21≥-=-n S S a n n n （6）!)!1(!n n n n -+=?
2．基本方法。
（1）倒序相加法：这是教材中推导等差数列求和公式所用的方法，具体方法为：将原和式倒写，然后两式相加即可求得。
（2）错位相减法：这是教材中推导等比数列求和公式所用的方法，（3）分解转化求和：也叫分组求和，例如课本141页：的例3 （4）裂项求和：例如练习册67页能力检测的第5和第六
（5）并项求和：例如：1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）等，以上几种作为参考由任课教师自行解决