第十章 齿轮机构及其设计

第十章齿轮机构及其设计

§10—1齿轮机构的应用及分类

1．齿轮机构的应用及特点

直接啮合：齿轮传动

啮合传动

中间件：链传动

机械传动

直接啮合：摩擦轮传动

. 摩擦传动

中间件：带传动

齿轮用于空间任意两轴之间传递运动或动力。（使用范围广泛、历史悠久）

齿轮机构传动的特点（与链、带或其它传动比较）

1）传递的功率大（可达10万千瓦）

2）转速高（10万转/每分；线速度300米/秒）

3）传动的效率高（0。99）；

4）寿命长、工作可靠性高；

5）可以保持恒定的传动比（或按某一规律变化）；

6）空间轴线位置不受限制

7）制造、安装的成本较高，不宜作较远距离传动。

2．齿轮机构的分类

§10—2 齿廓啮合基本定律

若两轮的传动能实现预定的传动比（i12=ω1/ω2），则相互接触传动的一对齿廓称为共轭齿廓

1）啮合的基本要求

图示为齿轮1和齿轮2的两条齿廓曲线点任意K 啮合接触，两齿廓的公法线nn与连心线 O1O2 相交于点P。

即：啮合点处两齿廓在法线方向上的相对速度为零；设：n为法矢

有:V K1K2·n=0

2)齿廓啮合基本定律

齿廓啮合基本定律：

两齿廓在任一位置啮合接触时，它们的传动比等于连心线O1O2被节点C 所分成的两条线段的反比。

讨论：

1）如果要求两齿廓作定传动比传动，节点P为连心线上的一个定点。

2) 如果要求两齿廓作变定传动比传动，节点P应按给定的规律在O1O2线上移动。

3）在传动比和中心距的已知情况下，给定一个齿廓就能运用齿廓啮合基本定律求出与之共轭的另一齿廓；

4）关于节点与节线：

节线：节点在齿轮1、2运动平面上的轨迹。

对定比传动：节线→节圆齿轮传动→节圆作纯滚动

对变比传动：节线→非圆曲线齿轮传动→非圆曲线作纯滚动

3．齿廓曲线的选择

理论上，共轭齿廓可以找出无限多；

实际上，考虑设计、制造、测量、安装、强度、互换等方

面，对于定传动比的齿轮机构，通常采用渐开线、圆弧、摆线等。

§10—3 渐开线齿廓的啮合特点

一、渐开线的形成及性质

1、形成

方法：1）展开法

1）纯滚动法

AK——渐开线；基圆r b；BK：发生线；θK：渐开线AK段的展角

2、性质

（1）

（2）BK为渐开线在K点的法线，且与基圆相切。

（3）还可以证明：BK为渐开线上K点的曲半半径。

可知：渐开线离基圆愈远，曲半半径愈大，渐开线愈平直

（4）渐开线的形状决定于基圆的大小；

θK相同时，r b越大，曲半半径越大

r b→∞，渐开线→直线

（5）同一基圆上展开的渐开线互为法向等距曲线；

（6）基圆内无渐开线。

二、渐开线方程

三、、渐开线齿廓的啮合特点

1、渐开线齿廓能保证定比传动

2）渐开线齿廓之间的传力方向不变（不考虑摩擦）

3）渐开线齿轮传动具有可分性。

（这一特点对渐开线齿轮的制造、安装都十分有利、且

为渐开线齿轮独有）。

小结：

基圆内公切线与O1O2线的交点

节点相对速度瞬心i12=O2P/O1P

1）一对齿轮啮合存在：定比传动为定点

（受中心距影响）节点在齿轮1、2运动平面上的轨迹

节圆齿轮传动等效与一对节圆作纯滚动

定比传动为圆r1′、r2′（变比传动非圆）

2) 三线重合：两基圆的内公切线、公法（力的作用）、线理论啮合线；

3) 特性：定比传动、传力方向不变、传动的可分性；

4)常用关系：

r K cosαK = r b

啮合角恒等于齿轮节圆上的压力角α′=α1′=α2′

i 12=ω1/ω2= r 2′/ r 1′=r b2/r b1=Z 2/Z 1

中心距：a ′=

r 1′+ r 2′

a ′cos α′= r b1+ r b2 = c a ′sin α′=N 1N 2

§10—4 渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸 一、齿轮各部分名称和基本参数 1、 各部分名称

外观参数：

齿数Z ；齿顶圆da ；齿根圆d f ；齿高h 、齿厚s k 、齿槽宽e k 、齿距p k 内在参数： 分度圆d （r ）：

基准圆（公称直径）、 对标准齿轮在该圆上s=e=p/2

基圆d b (r b )：决定齿廓形状 齿顶高ha ； 齿根高h f

2、标准齿轮的基本参数

模数m ，齿数z ，压力角α，齿顶高系数*

a h ，顶隙系数*

c

1）、模数m

分度圆周长：zp d =π ∴z p

d π

=

令模数 π

p

m =

∴ 分度圆直径 d=mz 关于模数m ：

(1)人为规定，为使齿轮参数计算方便：mm ； (2)已经标准化，单位：mm ； (3)p=πm 齿距为π的有理倍数;

(4)尽管不同圆上的模数不同，但以后提到的模数就是只分度圆上的模数 (5)齿轮的其它参数均于模数有关，模数类似于照片放大倍数。 2）、齿数z

齿轮齿数由速比决定，同时对强度和啮合特性也有影响； 齿轮齿数越多→齿廓越平直；无穷多齿→齿条

3）、分度圆压力角α

基圆半径决定了渐开线齿廓形状，所以只有m,z α全部确定的后才可能有确定的渐开线齿廓。 GB1356-88规定标准值α=20°；特殊场合：α=14.5°、15°、22.5°、25°。 （从另外角度看，α的大小决定了采用渐开线哪一段作齿廓；为零不是更好吗？）

至此：分度圆就是齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆。

4）、齿顶高系数*

a h 和顶隙系数*

c m c h h a f )(**

+=

标准值：*a h =1，*

c =0.25 ；非标准短齿：*

a h =0.8，*

c =0.3

二、、标准直齿轮的几何尺寸

标准齿轮：标准齿轮是指m 、α、*a h 、*

c 均取标准值，分度圆齿厚等于齿槽宽，且具有标准的

齿顶高和齿根高的齿轮。 d=mz

h a =*

a h m h f =(*a h +*

c )m h =h a +h f =(2*a h +*

c )m

d a =d+2h a =(z +2*a h )m d f =d-2h f =(z-2*a h -2*c )m

d b =d cos α P=πm

一对标准齿轮传动的标准中心距：

m 影响到齿轮各部分尺寸，∴又把这种以模数为基础进行尺寸计算的齿轮称模数制齿轮。 三、任意圆上的齿厚

任意圆齿厚的计算公式：

m

h h a a *

=)(2

1

)(211212z z m d d a ±=±=

m

e S π2

1==ααcos 2

cos mz

r r b =

=

四、内齿轮

内齿轮与外齿轮的不同点是：（实虚对调、齿顶齿根更名）

1．齿廓是内凹的,其齿厚和槽宽分别对应于外齿轮的槽宽和齿厚。.

2. 齿顶圆小于分度圆,齿根圆大于分度圆。

3.齿顶圆必须大于基圆。

五、齿条

当外齿轮的齿数增加到无穷多时,齿轮上的基圆和其它圆都变成了互相平行的直线，同侧渐开线齿廓变成了互相平行的斜直线齿廓，于是，齿轮变为齿条。

齿条与外齿轮相比主要有以下两个特点：

1、齿轮上的圆在此转化为直线（转动→移动）

2、齿廓不同高度上的压力角均相等，且等于齿廓的齿形角，标准值为20°。

3、齿廓在不同高度上的齿距均相等，即：。

齿轮参数计算小结：

1）基本参数：

模数m，齿数z，压力角 ，齿顶高系数*a h，顶隙系数*c

2）标准齿轮：具有标准模数m、标准压力角α、s=e、同时具有标准齿顶高h a和齿根高h f。

3）齿根圆≠基圆。

4）英美采用径节制齿轮，关系：m=25.4/P

5）搞清哪些尺寸是针对单个齿轮的？哪些尺寸是针对一对齿轮的？

§10—5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

一、正确啮合条件（搭配条件）

任意两个渐开线齿轮不一定都能配对使用，（起码轮齿大小应差不多，这是不够的）而是必须严格地满足一定的几何条件。

如图：两个渐开线齿轮在啮合过程中，啮合点都应在啮合线N1N2上，即K，K’点

∴ Pn 1 = P n2 即: P b1 = P b2

可得：2211cos cos ααm m = (a 已经标准化) ∴ ??

?====α

αα2121m

m m

结论：一对渐开线齿轮正确啮合条件是：分度圆上的模数和压力角分别相等。

二、齿轮传动的中心距及啮合角 1．基本要求：

一对标准齿轮外啮合传动，在确定其中心距时必须满足：

1） 保证两轮的齿侧间隙为零（正反转不冲击） 2） 保证两轮的顶隙为标准值

注：这里指的侧隙是法向公称侧隙，实际上为防止膨胀卡死和便于润滑等，轮齿间侧隙并不为零，但它是由公差来保证的。

2． 标准齿轮的标准安装可以保证顶隙c =c* m ；

a= r a1 +c + r f1 = r 1+h a *m+c*m+ r 2 -

(ha*m+c*m )

a = r 1+ r 2 此中心距称为标准中心距。

3） 标准齿轮的标准安装可以同时保证侧隙为零 一对齿轮传动 → 一对节圆作纯滚动

标准安装a = r 1+ r 2 → 节圆与分度圆重合

分度圆上：s = e → s 1=e 1= s 2=e 2= s 1′= e 1′= s 2′= e 2′:即：齿轮1滚过一个

齿厚对应齿轮2将滚过一个齿槽宽，若齿轮1滚过一个齿槽宽对应齿轮2将滚过一个齿厚，节圆上不存在滑动，啮合即不存在侧隙。

（思考：有侧隙将是什么样？）

讨论问题：

(1) 标准齿轮的标准安装与分度圆、节圆、压力角、啮合角

分度圆是指单个齿轮尺寸时取的参考圆，其上具有标准模数和标准压力角。.一旦确定了齿数和模数分度圆半径就确定下来，在加工、安装、传动时分度圆都不会改变。

节圆是一对齿轮在啮合传动时两个相切作纯滚动的圆，其大小将随两轮中心距的变化而变化。单个齿轮没有节圆。节圆与分度圆是两个完全不同的概念。只有当两标准齿轮的标准安装时，两轮的节圆才分别与两轮的分度圆重合。

压力角是指单个齿轮渐开线齿廓上某一点的线速度方向与该点法线方向所夹的锐角。渐开线齿廓上各点压力角的大小是不相等的（齿条齿廓例外），通常所说的压力角是指分度圆上的压力角。

啮合角是指一对齿轮啮合时，啮合线与两节圆公切线之间所夹的锐角。它代表了传力的方向。它的大小与两轮的中心距有关。

只有当两标准齿轮的标准安装时，压力角与啮合角在数值上才相等。 （2）非标准安装时，顶隙、侧隙、节圆、传动比、啮合角怎样变化？

（3）一对齿轮传动在运动学上等效于一对节圆作纯滚动，但实际齿廓间的啮合也是纯滚动吗？有无相对滑动？

一对齿轮传动只有当啮合点处于节点时，才无相对滑动（速度瞬心）。从磨损的角度看，小齿轮的齿根最为不

利。

三、标准齿轮齿条传动的标准安装及啮合特点

1）标准安装

齿轮的分度圆与齿条分度线相切。标准安装同样可以保证顶隙为标准值和齿侧间隙为零。 2） 非标准安装

如果将齿条从标准安装位置沿径向下移一段距离（仅作移动）后，会怎样？

a)N 1N 2线不变→节点P 不变→节圆不变r 1≡r 1′ b) α′≡α

c) 齿条节线与分度线不再重合、顶隙变大、出现侧隙。

四、 渐开线齿轮的连续传动条件 1、轮齿啮合过程：

21N N ——理论啮合线 ；

21B B ——实际啮合线；

在两轮轮齿的啮合过程中，并非全部渐开线齿廓都参加工作，而是一部分参加啮合。实际参与啮合的这段齿廓称为齿廓工作段。

2、连续传动条件

齿轮连续传动的条件是：实际啮合线

大于或

α

αcos cos ''a a

=

至少等于法向齿距。即：齿轮传动的重合度：

从理论上讲重合度＝1就能保证齿轮的连续传动，但在实际应用中考虑到制造和安装的误差，为确保齿轮传动的连续，应大于或至少等于许用值[],

3、重合度的计算：

其中, 为啮合角，和分别为齿轮1、齿轮2的齿顶圆压力角。

4、关于重合度的讨论

1）重合度的几何含义

重合度变大，意味着实际啮合啮合区变长，双齿啮合区变长，传动的平稳性增加，承载能力亦增加；

2）重合度的大小与模数无关；

3）齿数Z1、Z2↑重合度↑；中心距a↑重合度↓。

4）齿轮、齿条啮合，重合度的计算方法

5）重合度的极限值

当两轮齿数趋于无穷大时，将趋于理论上的极限值。

当=20°、时，＝1.981 事实上，由于两轮均变为齿条，将吻合成一体而无啮合运动。所以，这是个理论上的极限值。。

6）对于标准齿轮标准传动，重合度大于1。

§10—6渐开线齿轮的变位修正

一、渐开线齿轮加工的基本原理

近代齿轮加工方法很多，如：切制法、铸造法、热轧法、冲压法、电加工法等。

但切制法使用最多，其加工原理可分为两大类，即仿形法和范成法。

1、仿形法

仿形法是用与齿槽形状相同的成形刀具或模具将轮坯齿槽的材料去掉。常用的有铣削法和拉削法。

图示为圆盘铣刀切削加工齿轮示意图。

（指状铣刀切削加工齿轮加工方法与圆盘铣刀相似。指状铣

刀常用于加工大模数齿轮和整体的人字齿轮。）欲得到精确

齿形，需每一种齿数配一把齿刀，这是不可能的。为简化刀具

数量，采用八把一套或十五把一套铣刀，其每把铣刀可切削齿

数在一定范围内的齿轮。为保证加工出来的齿轮在啮合时不会

被卡住，每一号铣刀的齿形都是按所加工的一组齿轮中齿的最

少的那个齿轮的齿形制成的。因此，当用这把铣刀切削同组齿

轮中其他齿数的齿轮时，齿形有误差。）

优点：在普通铣床上即可加工齿轮，加工费用低。

缺点：渐开线齿廓形状不准确+ 分度误差→精度低。

逐个加工齿槽→生产效率低。这种加工方法适用于修配或小量生产。

（不绝对：专用刀具、专用分度机构、精拉、冲可以获得高精度和高生产率）

2、范成法（展成法、共轭法、包络法）

范成法是目前齿轮加工中最常用的一种切削加工方法，它是利用一对齿轮作无侧隙啮合传动时，两轮齿廓互为包络线的原理来加工齿轮的。

1）、齿轮插刀插齿（从碾压角度解释范成原理；齿条插刀更容易制造）

2）、齿条插刀插齿（生产不连续）

3）、齿轮滚刀切齿（滚刀相当于连续的齿条插刀）

范成法优点：用同一把刀具可加工出m、均相同而齿数不同的所有齿轮。生产效率高。

二、标准齿条型刀具

从图中可以看出，齿条型刀具与传动用齿条在几何尺寸上的不同点是：顶部多出c*m段。

顶部c*m段的作用：加工出齿轮齿根部分的顶隙。顶部c*m段(齿顶线以上)的刀刃不是直线而是一段圆弧，它切削出被加工齿轮靠近齿根圆的一段非渐开线曲线，这段曲线称为过渡曲线，它把渐开线齿廓与齿根圆光滑地连接起来。当一对齿轮啮合传动时，这段曲线不参与啮合。

三、渐开线齿廓的根切

1、根切现象

用范成法加工齿轮时,有时会发现刀具的齿顶部分把被加工齿轮齿根部分已经范成出来的渐开线齿廓切去一部分,这种现象称为根切。

产生严重根切的齿轮，一方面削弱了轮齿的抗弯强度，另一方

面使实际啮合线缩短，从而使重合度降低，影响传动的平稳性。因而

应力求避免发生根切现象。

2、根切的原因？

用范成法加工齿轮，当齿数较少时使刀具与轮胚的相对尺寸发生改变，刀具的齿顶线高度超过了啮合极限点N1，就会发生根切。

。

根切的原因的证明：

若刀具过高，在N1点未能退出啮合，设再转△φ角时：

1）轮胚在基圆上转过的弧长为：r b?△φ = r?△φ cosa

2) 刀具在PN1方向（基圆切线）的直线位移量：r?△φ cosa

（∵刀具节线与轮胚分度圆作纯滚动，刀具的水平位移量为：

r?△φ）

轮胚落后于刀具→根切。

3、不发生根切的最少齿数．

不根切条件：刀具高h a = h a*?m≤N1N1′

N1N1′=P N1?Sina =r?Sina?Sina =mz Sin2a /2

带入后得：Z≥2 h a*/ Sin2a （即：Z min=2 h a*/ Sin2a ;当a=20o, h a*=1, Z min =17）

.4 避免根切的方法

1） 减小刀具的齿顶高系数h a *

2） 增大刀具的压力角α （

采用非标准刀具）

3） 变位修正 （径向变位法）

改变了刀具与轮胚的相对位置→刀具分度线与轮胚分度圆不在相切→切出变位齿轮（区别于标准齿轮）

不根切→变位齿轮，使用变位齿轮不仅仅是为不根切。（人→御寒→穿衣）

四、变位齿轮的概述 标准齿轮的不足：

A ） 受Z min 限制，外廓尺寸、重量难以进一步减小；

B ） 受中心距a=m(z 1+z 2)/2限制，如：外啮合：a ′a 侧隙过大，配凑中心距不

易； C ） 小齿轮啮合次数多，磨损严重，曲率半径小，齿根薄→强度低

1． 加工齿轮时刀具的变位

x>0 正变位 刀具位移量：x ?m x<0 负变位

x=0 零变位（不一定是标准齿轮）

2．z < z min ,时，为避免根切刀具的最小变位系数x min ?不发生根切的条件：

h a *?m- x ?m ≤N 1N 1′

x ?m ≥h a *?m - N 1N 1′ ；∵ N 1N 1′=mz Sin 2a/2

x ≥h a *- z Sin 2a/2 ∵z min = 2h a */ Sin 2a

将z min 带入后得：x ≥2 h a *（z min - z ）/ z min

即最小变位系数：x min =2 h a *（z min - z ）/ z min

常用关系式：x min =（17-z ）/17 讨论：

1）Z0 → 采用正变位，刀具外移，避免根切； 2）Z=z min （17） → x min =0 → 刚好不根切（实际微量根切）；

3）Z>z min （17） → x min <0 → 还可以采用负变位，只要刀具内移量< x min ?m ，就不会根切。 3．变位齿轮的几何尺寸

1）不变的参数

齿轮Z，模数m、压力角a不变→分度圆d、基圆d b、和齿距p均不变.

如图所示，它们的齿廓曲线均为同一基圆上展出的渐开线，只不过截取的部位不同。

2)正变位齿轮的尺寸变化（刀具外移，可以避免根切）

（1）齿厚S↑齿槽宽e↓

S = πm/2+2KJ= m(π/2+2xtgα)

e=πm/2-2KJ= m(π/2-2xtgα)

(2 )齿根的曲率半径也增大，强度有所提高；（小轮

正变位可以改善强度和磨损）

（3）分度圆d未变，所以齿顶高h a↑,齿根高h f↓；

即：齿顶圆、齿根圆均增大。

（4）齿廓两侧渐开线靠近，齿顶变尖（齿顶厚变薄）

3)负变位齿轮的尺寸变化与正变位相反

4。变位齿轮传动

1）变位齿轮传动的中心距

由于变位齿轮的齿厚、齿槽宽发生了改变，因此，中心距也需相应改变，以实现无侧隙啮合，无侧隙啮合方程式：invαˊ= 2tgα(x1+x2)/(z1+z2)+invα

可知：x1+x2≠0 ；→αˊ≠α；→aˊ≠a (∵aˊcosαˊ=a cosα)

由上两式可以在x1+x2已知后，计算变位齿轮传动的实际啮合角aˊ→实际中心距aˊ。

2）变位齿轮传动中心距与齿轮的齿高问题

中心距的大小不仅影响啮合侧隙，还将影响顶隙；那么，满足无侧隙啮合方程式确定的中心距，是否可以同时保证标准顶隙？（答案是否定的）

A）按无侧隙啮合方程式确定的中心距aˊ→→将使顶隙过小；

invαˊ= 2tgα(x1+x2)/(z1+z2)+invα

aˊ=a cosα/cosαˊ

B）若按标准顶隙确定中心距a〃→→将使啮合出现侧隙；

a〃=r

+c*m+r f2= r1+(h a*+x1)m+ c*m + r2-(h a*+ c*-x2)m= a+( x1+ x2) m

a1

解决办法：按无侧隙啮合方程式确定的中心距aˊ，将齿高削一段△ym。（△y齿顶高变动系数）设y为中心距变动系数；那么，实际中心距：aˊ= a+ y m

y m = aˊ- a =（r1+r2）cos a/cos aˊ-（r1+r2）

y =（z1+z2）(cos a/cos aˊ-1)

△y=( x1+ x2)- y

变位齿轮的齿顶高计算：h a=h* m+x m-△y m

只要x1+x2≠0 ，齿轮的齿顶高就得降低△ym；所以x=0的齿轮不一定就是标准齿轮。

3）变位齿轮传动的类型及其特点

（1）变位齿轮传动的类型（按x1+x2分类）

x1=0，x2=0 标准齿轮传动

x1+x2=0 x1=-x2≠0等变位齿轮传动（又称高度变位齿轮传动）

x1+x2 x1+x2>0 正传动

x1+x2≠0 不等变位齿轮传动（又称为角度变位齿轮传动）。

x1+x2<0 负传动。

（2）变位齿轮传动的特点

①等变位齿轮传动（高度变位：齿顶高、齿根高变化，但全齿高不变）

x1+x2=0, x1=-x2（一般情况：x1>0、x2<0）x1≥h a*（z min- Z1）/ z min；

x

≥h a*（z min - Z2）/ z min

2

取h a*= 1 x1+x2≥[2z min -（Z1+Z2）]/ z min

由于x1+x2=0；（Z1+Z2）≥2z min

欲采用等变位齿轮传动，两轮的齿数之和必须大于等于最少齿数的两倍（34）

特点：

α/=α，a/=a，y=0，Δy=0

应用：

A）可以减小机构的外廓尺寸，采用z1

C）相对提高齿轮的承载能力（大小轮的强度趋近）

D）修配旧齿轮（保留大轮）

不足：

必须成对使用，互换性差，

重合度略有下降，大轮齿厚变薄

②正传动

特点：x1+x2>0 α/ >α，a/ > a

应用：

A）可以减小机构的外廓尺寸，采用Z1+Z2< 2Z min 的齿轮传动；

B）配凑中心距（采用α/ >α的中心距）；

C）提高齿轮的承载能力（曲率半径、齿厚可以增大）；

D）改善齿轮的磨损情况（远离N1N2点，但B1B2变短）

重合度下降较大，轮顶变尖

必须成对使用，互换性差，

③负传动

特点：x1+x2<0 ；α/ <α，a/

应用：

A）；配凑中心距

B）重合度略有增加；

不足：

强度及齿轮的承载能力下降

磨损情况加剧

必须成对使用，互换性差，

结论：

A）正传动优点较多，变位系数的选择余地较大，综合传动质量较好；

B）在标准中心距的条件下，采用等变位传动可以代替标准齿轮传动，达到改善传动质量的目的；

C）负传动的缺点太多，一般除了在配凑中心距之外很少采用；

D）对单个齿轮而言，采用正变位，均可以使耐磨性及齿面、齿根的强度有所提高。负变位反之，小轮多采用正变位；

E）变位齿轮的共同特点是：仍采用标准刀具，不会增大成本；必须成对使用，互换性差。

4）变位齿轮传动的设计步骤

（1）已知中心距的设计

已知条件：z1、z2、m、α、a′，其设计步骤如下：

①由式a′?cosα′=a?cosα确定啮合角α′；②由式x1+x2=(invα′-invα)(z1+z2)/(2tanα)确定变位系数和；

③由式y=(a′-a)/m确定中心距变动系数；

④由式Δy=(x1+x2)-y确定齿顶高降低系数⑤分配变位系数x1、x2 (可参考有关手册、资料：计算法、表格法、线图法、封闭图法)

⑥计算齿轮的几何尺寸。

（2）已知变位系数的设计

已知条件：z1、z2、m、α、x1、x2，其设计步骤如下：

①由式invα′=2tanα(x1+x2)/(z1+z2)+invα确定啮合角；②由式a′=acosα/cosα′确定中心距；③由式y=(a′-a)/m确定中心距变动系数；

④由式Δy=(x1+x2)-y确定齿顶高降低系数；

⑤计算变位齿轮的几何尺寸。

【思考题】

1）负传动时齿轮的变位系数一定是小于零的吗？。

2）零变位齿轮就是标准齿轮吗？

例1：用α=20o，h a*，m=5的滚刀切制=11的标准齿轮，会不会根切？怎样变位？分度圆齿厚怎样变化？

解：当α=20o，h a*=1 时Z min=17；所以会根切。

采用正变位x ≥h a*（z min - z）/ z min=0.353

分度圆齿厚增大了：2x m tgα=1.2848 mm

例2：z1=30、z2=40、m=20、α=20o，中心距a=725mm; 应采用什么类型的齿轮传动？

解：

标准中心距a= m（z1+z2）/2=700 < 725

必须采用正传动变位齿轮(x1+x2)>0

由无侧隙啮合方程式：invαˊ= 2tgα(x1+x2)/(z1+z2)+invα

和恒等关系式：aˊcosαˊ=a cosα

解得：x1+x2=1.45

例3：图示为用齿条型刀具范成切制齿轮时，刀具与轮坯的相对位置，轮坯中心与刀具分度线之间的距离L=29 mm.，齿条模数m=4;试求被切齿轮的齿数、分度圆、齿顶圆、齿根圆。

解：

如果是标准齿轮：r=mz/2=H →z=2*29/4=14.5

齿数应是整数，可以判定不是标准齿轮。

H= r + xm = mz/2+xm=29

设：Z=15 求得：x= - 0.25

不根切的最小变位系数:

x min=（17-Z）/17=（17-15）/17=0.118

显然x< x min→Z=15假设不对。

设：Z=14 求得：x= 0.25

不根切的最小变位系数:x min=（17-14）/17=0.176；

显然x> x min→Z=14假设正确。该齿轮为m=4；Z=14；x= 0.25的变位齿轮；

分度圆直径：d=mz=56 mm

齿顶圆直径：da=mz+2(h a*m+xm)=66 mm

齿根圆直径：df= mz-2(h a*m+c*m -xm)=48mm

【思考题】：上面求出的齿顶圆直径是否就是变位齿轮传动的齿顶圆？

§10—7 平行轴斜齿圆柱齿轮机构

一、斜齿轮齿廓曲面的形成和啮合特点

1、斜齿轮的产生：

1）直齿轮的不足：

重合度小 + 齿廓啮合接触线为

直线：

→突然进入退出啮合

→冲击、振动、噪音

→平稳性差、承载能力低

2）改进办法：

切片→相错→啮合逐片进入、退

出→无限薄→斜齿轮3）斜齿轮的齿廓曲面

渐开线螺旋面齿廓的特点：

①与端面平行的所有切面内，齿廓均为渐开线（展开先后不同）；

②发生面与基圆柱面的交线为一螺旋线。

③齿廓在不同高度上螺旋角不同。

斜齿轮的啮合特点：

①齿廓啮合渐入渐出，平稳性好

②齿廓接触为斜直线，且总接触线长。

③重合度大于直齿轮传动。

④对齿廓误差的敏感性小；

⑤不根切的最少齿数Z MIN可以更少；

⑥很容易配凑中心距；

⑦会产生轴向力。

总之，斜齿轮较直齿轮更适宜高速、重载的传

动。制造成本与直齿轮相同。

二、斜齿轮的基本参数及尺寸参数计算

端面参数：便于计算、测量

法面参数：沿齿向进刀→按法向齿形选刀→法面参数为标准值（m n,αn,h*an,c*n）

1、斜齿轮尺寸参数的计算特点：

法面参数为标准值（m n,αn），→将法面参数m n,αn换算到端面m,αt→（因为端面上也是渐开线）尺寸参数计算可仿直齿轮进行。

齿高直接在法面进行，不必换算h*an,c*n。

1）斜齿轮的螺旋角

tgβ=πd/l

tg βb =πd b /l

tg βb /tg β=d b /d=cos αt

tg βb =tg β·cos αt

轮齿螺旋角β有左旋、右旋之分；旋向判定：从轴线方向看，螺旋升高的方向即为旋向。 2)法面模数m n 与端面模数m t

P n =P t cos β → πm n =πm t cos β→m n =m t ·cos β

m t =m n /cos β

3)法面压力角αn 与压力角模数αt

齿条与齿轮可以正确啮合，即满足齿轮的正确啮合条件，齿条上的压力角必与齿轮上的压力角一致，为推导方便，以下针对齿条研究其法面压力角αn 与压力角模数αt 之间的关系，

而推出的结果则同样适用与齿轮与齿轮之间；另外注意：对齿条而言齿形角即为压力角。

端面上 AB=BD/tg αt

法面上 AB=B 1D/tg αn 同时： B 1D= BD cos β 所以：BD/tg αt = BD cos β/tg αn

tg αn = tg αt ·cos β （αn <αt ）

4)平行轴斜齿轮几何参数计算

基本参数： m n 、Z 、αn 、h *

an 、c *

n 、β、

换算出端面模数和端面压力角：m t =m n /cos β；tg αt = tg αn /cos β 将直齿轮尺寸参数计算公式中的m t ，α用m t ，αt 替换后 计算： 分度圆直径： d=m t Z

基圆直径： d b = m t Z cos αt 端面齿距： p t =πm t

端面齿厚、齿槽宽： s t =e t = p t /2=πm t /2

齿高计算直接在法面进行： ha= h *

an m n (对正常齿：h *

an =1)

h f = c *n m n (对正常齿：c *

n =0.25)

齿顶圆直径： da=d+2ha

齿根圆直径： da=d-2h f

中心距: a=m t (z1+z2)/2= m n (z1+z2)/(2 cos β)

对于斜齿轮同样可以采用变位齿轮传动，变位传动特点与直齿轮基本相同； 注意：刀具的法向变位量与切向变位量相同：x t m t = x n m n → x t = x n cos β

三、平行轴斜齿轮传动的正确啮合条件和重合度 1、正确啮合条件

（斜齿轮在端面内的啮合相当于直齿轮的啮合）

m

= m t即： m n1= m n2= m n

αt1= αt2= αtαn1= αn2= αn

β1=±β2（- 号用于外啮合；+ 号用于内啮合）

2、斜齿轮传动的重合度εγ

ε

端面重合度（与直齿轮计算相同）

重合度εγ

εβ轴面重合度（斜齿产生的增量）

εβ=ΔL/p bt = B tgβb/p bt

= B tgβ cosαt /（p t cosαt）

= B tgβ/p t= B tgβ/（p b/ cosβ）

=B sinβ/(πm n)

四、斜齿轮的当量齿数

选择刀具和强度计算需要知道法面齿形

当量齿数的引出：端面齿形≠法面齿形

：在模数和压力角确定后，齿形与Z有关

当量齿数Z V的含义：齿数为Z的斜齿轮，其法面齿形与齿数为Z V的直齿轮的端面齿形相近。

椭圆的长半轴 a=d/(2cosβ)，

短半轴 b=d/2，

而C点曲率半径ρ=a2/b=d/(2cos2β)

2πρ=p n Z V=πm n Z V=πm t Z V cosβ

将a,b代入得：

Z V= Z/ cos3β

不发生根切的最少齿数：z min=z vmin cos3β

§10—8 蜗杆传动机构

1、蜗杆传动的特点

1）蜗杆传动的形成-----看成由螺旋传动演化而来（为便于理解蜗杆传动的特点）