【全国卷】2018高三理科数学总复习第六节 几何概型(001)

第六节几何概型

【最新考纲】 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．

3．几何概型的概率公式

P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

.

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()

(2)概率为0的事件一定是不可能事件．()

(3)在几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )

(4)古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的．( )

答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√

2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

解析：P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝1

3，

∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)． 答案：A

3．(2014·湖南卷)在区间[－2 ，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )

A.45

B.3

5 C.25 D.15

解析：在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－

2≤X ≤1的概率为P ＝3

5

.

答案：B

4．(2014·福建卷)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

解析：由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000

＝0.18 ∴S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 答案：0.18

5．设不等式组?

????0≤x ≤2

0≤y ≤2，表示的平面区域为D ，在区域D 内随

机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．

解析：如图所示，区域D 为正方形OABC 及其内部，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，

∴所求事件的概率P ＝4－π4＝1－π

4

答案：1－π

4

一个区别

古典概型与几何概型的区别在于：前者的基本事件的个数有限，后者的基本事件的个数无限．

一条规律

对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积等常见几何概型的求解方法．

两种方法

判断几何概型中的几何度量形式的方法

1．当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．

2．当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若

变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．

一、选择题

1．(2016·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈[0，1

2

]的概率为( )

A.1π

B.2π

C.13

D.23 解析：由0≤sin x ≤1

2，且x ∈[0，π]

解之得x ∈[0，π6]∪[5

6

π，π]

故所求事件的概率P ＝? ????π－56π＋? ??

?

?

π6－0π－0

＝1

3

. 答案：C

2．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1

3，则阴影部分

的面积是( )

A.π

3 B ．π C ．2π D ．3π

解析：设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S′＝π·32＝9π. 由几何概型的概率，得S S ′＝1

3，则S ＝3π.

答案：D

3．(2014·辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )

A.π2

B.π4

C.π6

D.π8

解析：设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P(A)＝

阴影面积长方形面积＝1

2π×12

1×2

＝π

4.

答案：B

4．(2015·陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋yi(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y ≥x 的概率为( )

A.34＋12π

B.12＋1

π C.12－1π D.14－12π

解析：|z|＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分，

∵S 圆＝π×12

＝π，S 阴影＝π4－12×12＝π－24

.

故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24÷π＝14－1

2π.

答案：D

5．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <1

2

V S -ABC 的概率是( )

A.78

B.34

C.12

D.14

解析：当点P 到底面ABC 的距离小于3

2时，

V P -ABC <1

2

V S －ABC .

由几何概型知，所求概率为P ＝1－? ??

??123＝7

8.

答案：A 二、填空题

6．(2016·郑州模拟)在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为5

6

，则m ＝________．

解析：由|x|≤m ，得－m ≤x ≤m. 当m ≤2时，由题意得

2m 6＝56

， 解得m ＝2.5，矛盾，舍去．

当2

6，解得m ＝3.

答案：3

7．(2015·重庆卷)在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．

解析：∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，

∴????

?

Δ＝4p 2－4（3p －2）≥0，x 1＋x 2＝－2p<0，x 1x 2＝3p －2>0，

解得2

3

故所求概率P ＝?

????

1－23＋（5－2）

5

＝2

3

. 答案：2

3

8．(2016·济南模拟)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．

解析：由对称性，S 阴影＝4∫1

0(1－x 2)dx

＝4?

????x －x 3

3|10＝83. 又S 正方形ABCD ＝2×2＝4.

由几何概型，质点落在阴影区域的概率P ＝S 阴

S ABCD ＝23

. 答案：23

9．(2014·福建卷)如图所示，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．

解析：y＝e与y＝e x的交点B(1，e)，

由定积分的几何意义，S四边形OB′BA＝∫10e x dx＝e x|10＝e－1.

∴S阴影ABC＝1·e－(e－1)＝1.

由于y＝e x与y＝ln x的图象关于直线y＝x对称，所以S总阴影＝2S阴影ABC＝2.

又S正方形＝e2，故所求事件的概率P＝S总阴影

S正方形

＝

2

e2.

答案：2 e2

三、解答题

10．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．

解：弦长不超过1，即|OQ|≥3

2

.

因Q 点在直径AB 上是随机的，记事件A ＝{弦长超过1}． 由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝3

2.

∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－3

2

.

11．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取一个数，求方程有实根的概率．

解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b.

试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≤b}． 所以所求的概率为P(A)＝3×2－1

2×22

3×2

＝2

3.