18.1 勾股定理(1)-

第十八章勾股定理

单元规则

直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，?如两个锐角互余，?30°的角所对的直角边等于斜边的一半．本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是非常重要的性质．

勾股定理揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产实践中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．

本单元的知识结构和特点如下:

一、让学生亲身体验勾股定理的探索和运用过程

勾股定理的发现从传说说起，从故事中，让学生通过观察计算以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质．因而猜想所有的直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

用勾股定理探索三个问题，又一次让学生体验了它的运用过程．探索1?木板进门问题；按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试，这个问题可以用勾股定理解决；探究2是梯子滑动问题；梯子顶端滑动一段距离，?梯子底端是否也滑也相同的距离．这个问题可以转化为已知斜边和一条直角边长，求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾

股定理解决；探究3

?1的直角三角形的斜边，联

2，3的直角三角形的斜边，?的线

二、结合具体例子介绍抽象的概念

在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容．在勾股定理一节中，先让学生观察得出命题1，然后通过面积变形证明命题1．由此说明，经过证明被确认的正确的命题叫做定理．

在勾股定理逆定理一节中，从古埃人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形．因而猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2．把命题2的条件和结论与上节的命题1?的条件、结论作比较，引出逆命题的概念．接着探究证明命题2的思路．?同三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念．

命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况．为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立．教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立．

三、注重介绍数学文化

我国古代的学者们对勾股定理研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它．尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这都是我国人民对人类的重要贡献，从而激发学生的爱国热情和民族自豪感，树立热爱科学，献身科学的远大理想．

教学过程中要让学生获得更多的与勾股定理有关的背景知识，还可以安排一些数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与学生交流．同时，要适当总结与定理、逆定理有关的内容．例如对第七章“三角形”，第十三章“全等三角形”中的一些结论进行更进一步认识和总结．

本单元的教学时间需8个课时，具体安排如下：

18．1 勾股定理4课时

18．2 勾股定理的逆定理3课时

数学活动

小结1课时

18．1 勾股定理

课时安排四课时

从容说课

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用．勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值．

本节让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现勾股定理；勾股定理的证明方法很多，而教材中主要介绍的是一种面积证法．试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系．由勾股定理可知，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知，已知斜边与一直角边的长，就可以求出另一直角边的长．教材中的三个探究栏目让学生学会用勾股定理解决问题．

因此，本节的重要是体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题．难点是勾股定理的证明．在教学过程中，教师应鼓励学生积极参与这些活动，通过观察实践、推理、交流等获得结论，并证明结论，发展空间观念和推理能力．同时，勾股定理的应用较为广泛，教师可补充一下其他现实情境，鼓励学生自己寻找解答方法．勾股定理的探索、发现及验证的过程中，数形结合的思想有较多的体现，教师在教学中应注意渗透．

18．1 勾股定理（一）

教学时间第一课时

三维目标

一、知识与技能

让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．

二、过程与方法

1．在学生充分观察、归纳、猜想、?探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．

2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、?概括和有条件地表达活动的过程和结论．

三、情感态度与价值观

1．培养学生积极参与、合作交流的意识．

2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．

教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发展勾股定理．

教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．

教具准备学生准备若干张方格纸;多媒体课件演示．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课．

活动1

问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，?长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗？

问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取出6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火？

问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么意义？?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽？

设计意图：

问题设计具有一定的挑战性，目的是激发学生探究的欲望．反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一基本观点．

师生行为：

教师可引导学生将问题2转化为数学问题，也就是“已知直角三角形的两边，?求第三边”的问题，学生会感到困难．从而教师指出：学习本章，我们就能回答上述问题．首先我们先来看一个传说．

二、实际操作，探索直角三角形的三边关系

活动2

问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500?年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？

问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？

观察下图，并回答问题：

（图中每个小方格代表一个单位面积）

（1）观察图1．

正方形A中含有______个小方格，即A的面积是______个单位面积；

正方形B中含有______个小方格，即B的面积是______个单位面积；

正方形C中含有______个小方格，即C的面积是______个单位面积．

（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多

少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．

（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？

设计意图：

通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．

师生行为：

对于问题1和问题2，教师要留给学生充分的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论．

生：在课本图18．1-1中，地面是由完全相同的小等腰直角三角形拼成，并且每两个小的等腰直角三角形拼成一个小正方形．设小正方形的面积为1，则以AB，AC为边的小正方形的面积都为1，而以斜边BC?为边的小正方形是由四个全等的等腰直角三角形拼成，因此它的面积为2，?我们可以发现等腰直角三角形以直角边为边的小正方形的面积和等于以斜边为边的稍大的正方形的面积．即两直角边的平方和等于斜边的平方．对于问题3，可让学生在自己准备好的小方格纸上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，并在小组内交流．学生计算C正方形的面积，可能有不同的方法．?不管是通过直接数小方格的个数，还是将C划成为4个全等的等腰直角三角形来求，都应予以肯定，并鼓励学生用语言进行描述．

生：我们从上面的图中更进一步验证了等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．

师：原来著名的哲学家毕达哥拉斯，他在朋友家地板砖的启发下，也发现了这个结论．并且还做了更为深入的研究，你知道是什么吗？

生：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢？

师：的确如此，想知道结果吗？我们不妨寻着大哲学家的足迹，也做更深入的探究．活动3

问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，?每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A′、B′、C?′的面积，看看能得出什么结论．（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．）

问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，?也满足上述结论吗？

设计意图：

进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具一般性．

师生行为：

同样让学生计算A、B、C，A′、B′、C′的面积，但正方形C和C?′的面积不易求出，可以让学生在预先准备好的方格纸上画图形，在剪一剪、拼一拼后发现求正方形C和C′的面积的方法．

生：从图中不难观察出A、B两个正方形分别含有4个小方格和9个小方格；A?′、B′两个正方形分别含有9个小方格和25个小方格．

生：正方形C?的面积可看作虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积，

即5×5-4×1

2

×2×3=13．所以正方形A的面积＋正方形B的面积等于正方形C的面积，即

4+9=13．

用同样的方法计算C′的面积可得8×8-4×1

2

×3×5=64-30=34．所以正方形A?′的面积＋

正方形B′的面积＝正方形C′的面积．

师生共析：

如果将虚线标出的正方形C和C′周围的四个直角三角形分别沿斜边折叠进去，你会得出什么结论呢？

正方形C的面积就等于1+4×1

2

×2×3=13．正方形C′的面积就等于

4+4×1

2

×3×5=34．和前面的结论一样．

生：通过上面的折叠我发现了该图案正是2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标．

师：很正确．我们通过对A、B、C，A′、B′、C′几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方．

一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论？

我们不妨设小方格的边长为0.1，?我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0.5，1.2的直角三角形来进行验证．

生：也有上述结论．

师：当时大哲学家也发现并进一步深入探究的也正是这个结论，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．我们也应该向大哲学家学习，认真体验生活，努力发现生活中存在的各种奥秘．

这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．

大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．

三、例题剖析

活动4

问题1：小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．?你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

问题2：（1）如右图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前有多高？

（2）求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．

设计意图：

问题1、2是贴近学生生活有趣的实例，学生可利用勾股定理解决．直角三角形的三边关系告诉我们已知两边可求出第三边．体验勾股定理解决生活中问题的过程．师生活动：

问题1：我们通常所说的29英寸和74厘米的电视机，?是指其荧屏的对角线的长度，

而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．

问题2：（1）解：=15（m）；?15+9=24（m）．

所以旗杆折断之前高为24m．

（2）解：另一直角边的长为=8（cm），所以此直角三角形的面积为1

×8×15=60（cm2）．

2

师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．

四、课时小结

1．掌握勾股定理及其应用；

2．会构造直角三角形，利用勾股定理理解简单应用题．

主要通过学生回忆本节课所学内容，从内容、应用、数学思想方获取新知的途径等方面进行小结，后由教师总结．

板书设计

活动与探究

11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（?肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵树树干间的距离是50肘尺．每棵树上都停着一只鸟．忽

然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．

问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？

过程：首先应将此经典名题的内容抽象成数学问题，画图形（如下图）

由题可知这两只鸟同时看见鱼A，立刻出发，同时到达目标，因此AB=AC．

设所求的距离为x肘尺．

根据直角三角形的三边关系，有

AB2=302+x2，AC2=202+（50-x）2．

∵AB=AC；

∴302+x2=202+（50-x）2．

经过化简整理，得

100x=2 000．

这是一个一元一次方程，解得x=20．

结论：因此，这条鱼出现的地方距比较高的树的树根20肘尺．

备课资料:勾股定理──千古第一定理

在古代，许多民族发现了这个事实即直角三角形的三条边长为a，b，c，则a2+b2=c2，其中a，b是直角边长，c为斜边长．我国的算术《周髀算经》中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”或“商高定理”．在西方，被称为“毕达哥拉斯”定理，而西方的数学和科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的

最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，就落在毕达哥拉斯的头上．不管怎么说，勾股定理是数学中的伟大定理，它的应用范围是非常广泛的，它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有生产技术和科学研究都离不开它；而且有许多发展目前还探索不够，说不上什么时候会出现创新出奇的崛起，它的前程未可估量．人类远征太空的梦想正在实现．

当年，周公憧憬“天可阶而升”的幻想竟变成了现实．今天，人们普遍认为，与世外交明生物对话的日子虽很遥远，但却势在必行．很难想象，他们是什么模样，智能高低如何，总不能按照几千来人们创造神的形象那样，谁也未曾见过神，于是，神就被模塑得与人一样．可是，人类的智慧毕竟贫乏，无法确定“世外人”的分辨能力，只好将“地球人”的意识强加给“世外人”．

因此，为了寻找与“世外人”接触的可能性，人类已向太空发射一批物件，其中包括：地球人的男、女形象，各种物质和元素符号，有代表性的乐曲……

数学家华罗庚提出一种新颖的独特设想：最好带两个图形去，一个“数”，一个“数形关系”．

他提供的“数”如上图（左），这是“洛书”，相传大禹治水时，洛水中爬出一只神龟，背负着这幅象征吉祥的图，它构成了一个“幻方”，纵、横和对角线的数字和都为15．“数形关系”，则如上图（右），这分别是一幅人们所熟悉的“勾股弦关系”图．

这两个图形说明数学的基础扎根于它们之中，不论在我们居住的地球上，或是某个神秘的天体上，绝无例外．

为什么说勾股定理如此重要，是千古第一定理呢？除以上所述外，更重要的在于：

（1）勾股是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象──数与形第一定理；

（2）勾股定理导致无理数的发现．这就是所谓的第一次数学危机；

（3）勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学；

（4）勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，?也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．