polya定理
Polya定理
置换：1，2，3，……，n
P[1]，P[2]，P[3]，……，P[n]
有一个序列，原来是1，2，3，……，n，现在用P[1]来代替1，用P[2]来代替2，用P[3]来代替3，……，用P[n]来代替n，那么我们就称P为原序列的一个置换。
循环：1，2，3，……，n - 1，n
2，3，4，……，n， 1
有一个序列，原来是1，2，3，……，n，现在用2来代替1，用3来代替2，用4来代替3，……，用n来代替n - 1，用1来代替n，那么我们就称（1，2，3，……，n）为原序列的一个循环。
任意一个置换都可以划分为若干个循环的共同作用效果。
例如：置换P[3，5，1，2，4]，我们可以用（1，3）（2，5，4）这两个循环来表示这一个置换（原序列为1，2，3，4，5）。
置换P[5，2，4，6，1，3]，我们可以用（1，5）（2）（3，4，6）这三个循环来表示这一个置换（原序列为1，2，3，4，5，6）。
通过上面两个例子，我们可以感受到了，可以使用若干个循环来表示一个置换。当我们知道一个置换P的时候，我们可以用O（n）的时间来找出它的循环，具体算法就是线性扫描，并对扫描过的进行标记，最终可以求出循环数和每个循环的大小。
重要定理：n个序列，m个置换中，对于每一个序列，置换不动数* 同类数= 总置换数。
其中，给出以上名词的定义：
置换不动数：在m个置换中，存在k个置换，使得这个序列通过任一个置换都保持序列相等，那么k就是置换不动数。
同类数：在n个序列中，存在k个序列，使得这个序列可以通过m个置换中的任一个置换到达，那么k就是同类数。
总置换数：就是m。
证明：
设置换不动数为x，同类数为y，总置换数为z。
对于一个序列A，我们知道，有x个置换可以使得A * P = A（其中P ∈这x个置换）。那么，设有两个置换M和N，满足A * M = A * N ≠A，可以得到A * M / N = A，可见（M / N）∈这x个置换，也就是M ∈（N * 这x个置换），即对于任意一个置换P，则有x 个置换与它等价（包括自己），又因为有y个同类数，所以x * y = z，定理得证。
注意事项：序列虽然是1，2，3，……，n，但是序列的第1个格子、第2个格子、第3个格子、……、第n个格子，它们格子里面的值不一定是1，2，3，……，n，可以是任意数字。判断两个序列是否相等的标准，就是判断每一个对应的格子的内容是否都相等。（通俗点来讲就是对格子涂色）
Burnside定理：
用若干种颜色对一个序列进行染色，那么在m个置换中，C（i）表示在第i个置换下不动的序列数，则有ans = （Σ（C（i）））/ m，其中ans为等价类数目（两个序列A和B，如果A通过某一个置换可以到达B，那么A和B属于同一个等价类）
证明：设总共有L个等价类，总置换数为m，第i个等价类的置换不动数为Xi，同类数为Yi，那么Σ（C（i））（1 <= i <= m）= Σ（Xi * Yi）(1 <= i <= L) = Σ（m）(1 <= i <= L) = L * m，那么L = （Σ（C（i）））/ m，定理得证。（等式转化中用到了重要定理）
证明技巧：令t = Σ（C（i）），那么我们在求t的时候，这种方法就是对于所有的置换分别求出不动数再求和，然而第二种方法就是对于所有的序列分别求出置换不动数再求和，证明的时候利用这两种方法结合即可。
Polya定理：
用k种颜色给n个格子染色，对于一个置换P，如果它有m个循环，那么C（P）= k m。
证明：一个置换P，如果它有m个循环，通过这个置换不动的序列，必然满足一个条件，就是在序列中的同一个循环的格子的颜色相同，有k种颜色，m个循环，那么C（P）= k m。
【例一】：SGU294
有一个长度为N的环，上面写着’X’和’E’，问本质不同的环有多少种。(N不超过200000，两个本质不同的环不可以通过旋转而互相得到)。
【分析】：用2种颜色，给N个格子染色，其中有N个置换（这N个置换分别为：不变，向左移1格，向左移2格，向左移3格，……，向左移N - 1格）。总共最多有2N种环，也就是有60000多位数，就算用一万进制优化，也有15000多位数。
最直接的方法：依次求出N个置换的循环数，然后运用polya定理求出等价类个数，这样的复杂度为O（N2 * 数字位数）。
第一个优化：不难发现，向左移动x格，那么这个置换的循环数就是GCD（N，x），如果不变则视为向左移动N格，具体证明可以按照分组的原理证明就可以了。这样的时间复杂度为O（N * 数字位数），还是过不了。
第二个优化：仔细观察我们计算的方式，居然是依次求N个置换的循环数，这样的话白白浪费了大量运算。我们可以实现预处理出GCD为1的有多少个、GCD 为2的有多少个、GCD为3的有多少个、……、GCD为N的有多少个，然后对于GCD相同的只计算一次，这样就可以避免重复计算，时间复杂度为O（因数个数* 数字位数），可以通过。
【例二】：UV A10601
要求把正方体的12条棱染色，并且每种颜色的个数给定，求总方案数（旋转后相同的方案算一种）。
【分析】：一个正方体，有各种各样的旋转方法，空间想象能力差的人就吃亏了。但是如果分类好的话，谁都可以做出这道题目。我们首先给这个正方体的六个面编个号，分别是1、2、3、4、5、6，其中1与6是相对的，2与5是相对的，3与4是相对的（就是一个骰子而已）。然后我们可以分6种情况：
1在正上方，6在正下方。
6在正上方，1在正下方。
2在正上方，5在正下方。
5在正上方，2在正下方。
3在正上方，4在正下方。
4在正上方，3在正下方。
这六种情况都可以有4种旋转方法：首先俯视这个正方体，然后顺时针旋转0°、90°、180°、270°。这就是4种方法了。
综上所述，分6种情况，每种情况有4种方法，所以旋转方法有6 * 4 = 24种。
这道题目分析到这里，可以说已经完成了80%了。接下来的任务就是找出这24个置换（如果想要方便点的话，可以先打表打出（1，6）、（2，5）、（3，4）这三种情况的置换，然后上下颠倒和顺时针旋转都用通式来表示出来）。因为颜色数有限制，所以我们可以使用状态压缩动态规划，用f[a1][a2][a3][a4][a5][a6]来表示第1种颜色使用了a1次、第2种颜色使用了a2次、第3种颜色使用了a3次、第4种颜色使用了a4次、第5种颜色使用了a5次、第6种颜色使用了a6次的方案总数。然后分别求出24个置换的方案总数，除以24就是答案了（Burnside 定理），总的状态数为O（126）。（其实没有这么多的）
【例三】：SPOJ419 SPOJ422
给你一个2a2b的矩阵，在内存中的存放方式是先存第一行的，再存第二行的……每行也是从左到右存放。现在你想求它的转置矩阵（也是一样的储存方式），但是只能用交换操作，问需要交换多少步。
SPOJ419有100组输入数据
SPOJ422有400000组输入数据
【分析】：举个例子来说明题意：设a = 1，b = 2：
原矩阵：0 1 2 3
4 5 6 7
原矩阵内存：0、1、2、3、4、5、6、7
转置矩阵：0 4
1 5
2 6
3 7
转置矩阵内存：0、4、1、5、2、6、3、7
相当于一个置换P[0，4，1，5，2，6，3，7]，显然这个置换可以表示成（0）（1，4，2）（3，5，6）（7），有4个循环，答案为21 + 2 - 4 = 4，即交换次数为4。
假设置换中有k个循环，那么交换次数为2a + b - k，因为交换只存在于每个循环之中，并且在一个大小为x的循环中需要交换x - 1次。
在上面这个例子中：6从原矩阵中的（1，2）到达转置矩阵中的（2，1），从原矩阵中的地址22 * 1 + 2到达转置矩阵中的地址21 * 2 + 1。
一半来说，从2a*2b的（x，y）到达2b*2a的（y，x）的时候，地址从2b x + y到达2a y + x，把这两个地址写成二进制数，就相当于下图：
那么每次转换位置的时候就相当于把地址循环向左移动a位（越界的拉到最右边去），那么一个地址经过移动若干次肯定会回到它自己本身，这就是循环。这些循环的大小应该就是（a + b）/ GCD（a + b，a），因为（a + b）/ GCD（a + b，a）* a = LCM（a + b，a），并且LCM（a + b，a）mod （a + b）一定等于0，所以具有以上性质。
我们令L = （a + b）/ GCD（a + b，a），当a = 1的时候就是【例一】了，当a ≠1的时候，我们令T = GCD（a + b，a），把一个置换中的a + b个内容划分为若干组，其中每组的大小为T，在同一组中，显然方案数为2T，划分完毕之后，就相当于把每一个置换的总长度变为L（因为（a + b）/ T），也就把问题转化为a = 1的情况了。
设每一个置换的长度为L，若一个置换为循环向左移动i位（不动视为向左移动L位），那么我们就在GCD（L，i）上累加一下，把GCD相同的统一计算，再运用Polya定理和Burnside 定理可以求出等价类个数，即最初问题的循环个数k，最后求出答案2a + b - k，即最少交换次数。
下面我们来仔细分析一下具体过程：
①：预处理出1到106中的每一个数是否质数以及每一个数的其中一个质因子。
②：对L进行质因数分解（L也就是（a + b）/ GCD（a + b，a）），相同的质因子只存一个。然后先初始队列队列令f[1] = L，对于队列上的一个数i，我们枚举一个质因子j，令Δ= f[i] / j，那么我们就让f[i] = f[i] - Δ，f[i * j] = f[i * j] + Δ
（注意如果i * j大于L就放弃），并且不重复地扩展队列，那么扩展次数就是L 的因数个数了。（其实f[i]就是GCD为i的个数）
③：枚举②中队列的每一个数，对于GCD为i的，我们累加2i*f[i]，最后得到的结果除以L，就是最初问题的循环个数k，最后求出答案2a + b - k，即最少交换次数。
对②分配方式的证明：
首先当前队列上的数为i，那么枚举到第一个质因子j时，我们把f[i]分配给f[i * j]的时候应该分配得相对较多，因为它包括了GCD是i * j的倍数的情况，所以我们应该让先分配的优先扩展队列，这样才能避免重复分配，这样的话就可以保证分配的正确性，因为GCD为它本身的倍数的可以成功扩展出去。
综上所述，我们可以得到一个时间复杂度为O（cases * α（a + b））的算法。（其中α（x）为x的因数个数）
经验总结：这一题中题目已经很清楚地写出了2x这个关键字眼，就应该想到需要把地址拆成二进制写出来，然后对二进制数进行分组，不难发现转置操作就是循环左移a位。后面的优化手段也只是常见做法而已，关键的是要把问题转化为polya模型。
【例四】：SGU282
染色图是无向完全图，且每条边可被染成M种颜色中的一种。两个染色图是同构的，当且仅当可以改变一个图的顶点的编号，使得两个染色图完全相同。问N个顶点，M种颜色，本质不同（两两互不同构）的染色图个数（模质数P）。
（1<=N<=53，1<=M<=1000，N 【分析】：这道题目说改变顶点的编号视为同构，那么我们就可以想到点的置换，枚举点的置换并求出它所导致的边的置换，求平均数即为答案。但是点的置换有N！这么多，所以我们只好避免重复计算，把具有相同特征的置换统一计算。 我们把置换用最小表示法表示出来，A1 + A2 + ……+ A L = N，其中L为这个置换的循环数，A i 表示第i个循环的大小，并且0 ＜A1≤A2≤……≤A L。按道理来讲这种划分方法的数量应该很少的，并且事实上它也只有三十多万而已。 对于一个{Ai}，我们可以计算出有多少个置换的最小表示法是它。显然选出来的方案数首先是C （N，A1）* C（N - A1，A2）* ……* C（A L，A L），那么就是N！/（A1！A2！……A L！）。但是因为相同的值无论先后取都是一样的，所以有重复，那么答案又应该是N！/（A1！A2！…… A L！B1！B2！…… B T！），但是对于一个A i，选完之后还与顺序有关（因为选点的顺序不同置换就不同了），所以最终的答案应该是N！/（A1A2……A L B1！B2！……B T！）。 现在已经处理好点的置换了，就来分析一下点的置换引起边的置换的关系。 ①：对于任意两个点，分别为i和j，它们同时属于一个A k，那么所有边（i，j）可以组成[A k / 2]个循环。 ②：对于任意两个点，分别为i和j，它们分属A m和A n，那么所有边（i，j）可以组成GCD（A m， A n）个循环。 根据上面两个关系，我们可以求出点的置换所引起的边的置换的循环总数，然后运用polya定理求解即可，时间复杂度为O（F（N）* N2）。（其中F（N）为N的最小表示法数量） ①证明：对于任意两个点，分别为i和j（i ＜j），它们同时属于一个A k，那么边（i，j）将会成为（i mod A k + 1，j mod A k + 1），又因为min（|i - j|，A k - |i - j|）≤[A k / 2]，所以所有边可以组成[A k / 2]个循环。 ②证明：对于任意两个点，分别为i和j，它们分属A m和A n，那么边（i，j）将会将会成为（i mod A m + 1，j mod A n + 1），并且循环的大小为LCM（A m，A n），总个数为A m * A n，所以循环个数为A m * A n / LCM（A m，A n），即GCD（A m，A n）。 这个问题解决的关键是找出相同特征的置换并统一只计算一次，这种思想在很多地方都很有用，它的作用就是能大大减少重复计算次数，提高程序效率。同时做一些数学题的时候应该多猜想，找出尽可能多的有用的性质来帮助解题，时间允许的话可以适当证明一下。 【例五】：POJ1286 用3种颜色给n（n ＜24）个点染色，其中旋转和翻转均被视为相同种类，问种类个数。 【分析】：这道题应该是很简单的。用3种颜色给n个点染色，旋转的话置换则有[1，2，……，n]、[2，……，n，1]、……、[n，1，……，n - 1]，翻转的话则有[n，n - 1，……，1]、[n - 1，……，1，n]、……、[1，n，……，2]，总共有2n个置换，直接把每一个置换枚举出来再用polya定理求解即可，时间复杂度为O（n2），其实这题还可以运用【例一】和【例三】中的思想进行优化，做到O（n）。 【例六】：POJ2154 有3500组数据，每组数据给出n（1 ≤n ≤109）和p（1 ≤p ≤30000），要求用n种颜色给n个点染色（不必用完n种颜色），旋转则视为同一种方案，问方案数模p。 【分析】：最简单的方法就是求出n个置换（左移1次、左移2次、……、左移n次），然后求平均数，这样的时间复杂度为O（3500 * n），不大实际。 我们可以运用【例三】中的方法进行优化，只对n的因数进行求解，因为因数个数很少，我们可以求出每一个因数有多少次成为GCD。 在此之前，我们必须对n进行质因数分解，时间复杂度为O（n0.5），所以总的时间复杂度为O（3500 * n0.5）。 这道题必须注意的是方案数模p（p不一定与n互质），我们如果求完总数再除以n的话就有麻烦了。但是我们发现，它是用n种颜色染色的，所以我们在使用polya定理求解的时候，假设一个置换有k个循环，本来应该累加n k的，现在只需要累加n k-1即可，因为这样就等价于除以n了，但是却避免了除法。 【例七】：POJ2888（个人感觉这题不错） 多组数据，给出n（1 ≤n ≤109）个点和m（1 ≤m ≤10）种颜色还有k（0 ≤k ≤C（m，2））个限制，就是用m种颜色给n个点染色（不必用完m种颜色），这n个点组成一个环，有k个限制，第i个限制包括两个数A i和B i，表示A i和B i这两种颜色不可以相邻。并且这个环旋转产生的新方案被视为同一种，现在要求满足这k个限制的方案数。 【分析】：点数这么多，并且还多组数据，普通的方法一定不行，因为n个置换实在难受，所以我们只好另寻思路。 对于n个置换（左移1次、左移2次、……、左移n次），就算使用【例三】的优化方法，我们也不能满足k个限制，所以【例三】这种强大的优化方法也无能为力。 置换数太多，让我们无法使用polya定理，应该用其它方法和Burnside定理结合起来解题，这样才能求出方案数。 考虑到有限制条件，我们可以使用DP。首先枚举第一个点的颜色，再用f[i][j]来表示当前处理到了第i个点，并且这个点的颜色为j的方案数，最后在f[n]中求出与第一个点的颜色匹配的方案数和。考虑到每一阶段转移的方式都是不变的，并且n很大，m很小，所以我们可以使用矩阵乘法加速转移。 一个置换可以划分为x个循环，那么我们就用x来代替n做上面的矩阵乘法就可以了，因为循环是必须同色的，并且只有相邻循环会涉及到题目的限制，和逐个逐个点是一样的。 所以总的时间复杂度为O（F（n）* m3 * log2n）。（其中F（n）为n的因数个数） 题目就这么多了，再多的题目也是类似的方法处理，万变不离其宗，关键的是使用好两个定理，避免重复计算，找出题目中各种各样的性质，再用强大的方法优化，这样就对解题有很大的帮助。 组合数学(5)置换群与Pól y a定理 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 ACM 暑期集训 组合数学（5） 置换群与P ólya 定理 1 群的基本概念 b a e a b b a a a e e a a b b a c b a c b a A A b a A b a A =======∈∈?-1543)()(21,,，则）逆元：（）单位元：（）可交换性：（）可结合性：（）封闭性 （算的性质上的二元运算。二元运为，则称都有，如果对于，运算设非空集合 上的二元运算。是非空集合，代数系统A A ?? 为无限群。为有限群。否则，称是有限集合，称如果。，下是一个群，记作群在运算则称集合存在逆元）对于（）存在单位元（是可结合的）运算（是封闭的）运算（，满足下述条件：，设给定代数系统G G G G G G G a G a e G *??=*∈∈?***??-1,43212 置换群 {}个不同的置换。 次置换共有例如：到自身的双射 ，，，次置换：集合!14234321321 ,32132 1 n n s k k k k n n X n n ??? ? ??=?? ? ? ??== ? ?? ? ? ??=???? ??????? ? ?=????? ? ?=???? ??=?≠?=??4312 4321 32144321142 3432 1321443 211423 4321 ))(()(t s t s s t t s i s t i t s X t s t s X 则例如律。。即置换的乘法无交换。一般地，为上的一个置换，且定义仍是，置换的乘法和上的置换设 ?? ? ? ??=? ??? ??=???? ??=-n k k k k s k k k k n s n n I n n X 32 132132132132 11 321 的逆置换为为恒等置换。 称 {}，称为置换群。 乘法运算下构成一个群在置换的 的置换组成的集合，是由集合设G X t t t G m ,,,21 = ?? ???????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ? ?=312321,123321,231321,213321,132321,3213213S S n X n 次对称群，记作法下构成一个上的全体置换在置换乘集合 POJ 2369 Permutations 求置换P 的秩k （order ）：P k =I 第2章基本原理和定理 2.1亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理：任一个矢量场由其散度、旋度以及边界条件所确定，都可以表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和。 定理指出，由于闭合面S 保卫的体积V 中任一点R 处的矢量场Fr 可分为用一标量函数的梯度小时的无旋场和用另一个适量函数的旋度表示的无散场两部分，即为 F A Φ=-?+?? 而式中的变量函数和适量函数分别于体积V 中矢量场的散度源和旋度源，以及闭合面S 上矢量场的法向分量和切向分量。 1()1()d d 44V S V Φπ π''''???''= -''--??F r n F r S r r r r 1()1()d d 44V S V π π''''???''= -''--??F r n F r A S r r r r 2.2唯一性定理 惟一性定理：给定区域V 内的源（ρ、J ）分布的和场的初始条件以及区域V 的边界 S 上场的边界条件，则区域V 内的场分布是惟一的。 场、源；范围 —— 时间间隔、空间区域； 条件 —— 初始条件、边界条件。 有惟一解的条件： （1）区域内源分布是确定的（有源或无源），与区域外的 源分布无关； （2）初始时刻区域内的场分布是确定的； （3）边界面上或是确定的。 重要意义： （1）指出了获得惟一解所需给定的条件； （2）为各种求解场分布的方法提供了理论依据。 2.3镜像原理 镜像原理：等效源（镜像源）替代边界面的影响边值问题转换为无界空间问题；理论基础：惟一性定理 2.4等效原理 等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理。考察某一有界区域，如果该去云内的源分布不变，而在该区域之外有不同分布的源，只要在该区域的边界上同时满足同样的边界条件，根据唯一性定理，就可以在该规定区域内产生同样的场分布。也就是说，在该区域外的这两种源的另一种源是另一种源的等效源。 基本思想：等效源替代真实源； 理论基础：惟一性定理。 1. 拉芙（Love）等效原理 将区域V1内的源和用分界面S上的等效源和来替代，且将区域V1内的场设为零，则区域V2内的场不会改变。 2Schelknoff 等效原理 （1）电壁＋磁流源 在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则 J不产生辐射场，区域内V2 的场由 S J产生。 2m S （2）磁壁＋电流源 在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则m J不产生辐射场，区域内V2 的场由 S J产生。 2 S 塑料的配色、着色原理和工艺 一、塑料配色的定义: 定义：配色就是在红、黄、蓝（三原色）三种基本颜色基础上，配出令人喜爱、符合色卡色差要求、符合客户希望得到的颜色、经济并在加工、使用中不变色的色彩。另外塑料着色还可赋予塑料多种 功能，如提高塑料耐光性和耐候性；赋予塑料某些特殊功能，如导电性、抗静电性、抗菌性能等特殊材料；不同彩色农地膜具有除草或避虫、育秧等作用。即通过配色着色还可达到某种应用上的要求。 二、着色剂: 颜料和染料 颜料特性：颜料是不能溶于普通溶剂的着色剂，故要获得理想的着色性能，需要用机械加温混练等方法将颜料均匀分散于塑料中。 颜料分类：按结构颜料可分为有机颜料和无机颜料。 无机颜料: 优点：热稳定性好、有非常好的耐候性能、光稳定性优良、价格低、分散性能优越。例如：钛白粉、碳黑等。 钛白粉系列：主要有钛白粉、氧化锌、锌钡白三种。钛白粉分金红石型和锐钛型两种结构，金红石型钛白粉折射率高、遮盖力高、稳定、耐候性好。钛白粉在原厂出厂时如果没有进行分散加工，在配色过程中就会产生大量的黑点，属于分散没有打开状态，所以需要用分散剂进行分散加工才可以使用，部分厂家的牌号在经过加工后进入市场，这样的材料可以直接使用。主要用于遮盖树脂的透过率及增加白度的作用。 炭黑：是常用黑色颜料，价格便宜，另外还具有对塑料的紫外线保护（抗老化）作用和导电作用，不同生产工艺可以得到粒径范围极广的各种不同炭黑，性质差别也很大。炭黑按用途分有色素炭黑和 橡胶补强用炭黑，色素炭黑按其着色能力又分为高色素炭黑、中色素炭黑和低色素炭黑。炭黑粒子易发生聚集，要提高炭黑的着色力, 要解决炭黑的分散性就需要添加分散剂进行加工后才可以使用。 缺点：着色力相对差，相对密度大、添加量较大、颜色不鲜艳; 主要用于：用于增加颜色浓度（根据颜色的需要一般来说各种树脂 均可），尤其是在工程塑料方面有良好的优越性能，例如: PA PC PBT POM PPO PPS等材料及非透明颜色、灰色等树脂当中。 学科：奥数 教学内容：综合除法与余数定理 【内容综述】 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 【要点讲解】 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得 （此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（） 分析 把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算 （1 ）； （2 ） 解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用 除 ，只需先以 除， 再把求得的商用2除，而余数不变。 ∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以， 所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时 余28，它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除； 收稿日期:1997-10-31 塑料着色剂 马爱葵 (齐鲁石化公司树脂研究所,淄博 255400) 摘要 本文介绍了塑料着色剂具备的性能,着色原理,着色剂与树脂的相容性及其存在形式,主要着色方法,并对几类常用塑料的着色剂作了介绍 关键词 着色剂 塑料着色是塑料行业重要的组成部分,是影响制品质量的重要环节。不但可以美化产品外观,且可赋予塑料多种功能,改善塑料的某些性能(提高树脂的耐候性、改善其电性能及光学性能)[1],另外,还可起到标识、驱虫、增产等功效[2]。 着色剂是将颜料或染料根据用途与精加工色料预分散体系,由染料或颜料、分散剂等组成。染料能溶于塑料中,不必做分散处理,但考虑到渗色性、迁移性等只能用于聚苯乙烯、丙烯酸树脂、聚碳酸脂等塑料中。而颜料的各项性能好,迁移性小,几乎能用于各类树脂中。颜料在塑料中以微粒状态存在,要使其粒子不发生凝聚并在塑料中混合均匀,必须使用分散剂(如金属皂等)。 1 着色剂具备的性能[3、4] 不同用途的塑料,所要求的着色剂性质也不同。着色剂应具备的一般性能为: 1.1 色调鲜,着色力好 着色剂应具鲜明的色调,一般拼色易降低色度,着色力好利于降低成本,防止塑料物性变化。着色剂化学组成、粒子大小、结晶形态分散程度均影响主料物性和着色力及色调。一般染料着色力及色度最好,有机颜料次之,无机颜料最差。 1.2 分散性好 颜料分散性不仅影响制品外观,而且影响机械强度、耐候性等。 1.3 良好的耐热性 一般无机颜料耐热性好,而染料、有机颜料稍差。聚烯烃的成型加工温度较高(200～300℃),许多颜料此高温下会分解(如黄色的氢氧化铁水合物可分解为红色的氧化铁),有机颜料、染料也会改变其颜色。因此,选用热稳定性好的颜料如:钛白粉、硫化锌、硫酸钡、镉黄、镉红、群青、钴蓝、炭黑等。 1.4 良好的耐光性(耐候性) 在设计室外使用时,应考虑耐光性。一般无机颜料耐候性较好,染料和颜料耐光性较差,颜料一般具有抑制紫外光对塑料的老化作用,而群青则促进老化。 1.5 耐迁移性强 塑料用着色剂应耐迁移、不起霜,无机颜料优于染料、有机颜料。 1.6 耐化学溶剂性好 1.7 色泽重现性好 1.8 合乎要求的细度 1.9 有较高的遮盖力 2 着色原理[5] 塑料着色是润湿—分级分散的过程,即颜料微粒被分散剂所润湿,再经载体树脂、分散介质分级分散。其过程为:(a)用润湿剂(表面活性剂)使颜料或染料颗粒表面被分散剂所润湿,而成为分散微色料粒子。有时润湿剂即是分散剂又是载体树脂。起双重作用。 (b)采用机械研磨,使色料聚集体破碎,被分散剂充分包覆。(c)预分散。(d)将色母料按比 20总第92期1998年第2期 安 徽 化 工 综合除法与余数定理Revised on November 25, 2020 第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3 2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 ∴Q=542-+x x ， R=6。 下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。 精心整理塑料配色技术 配色原理 颜色的种类非常多不同的颜色会给人不同的感觉。红橙黄给人感到温暖和欢乐因此称为“暖色” 蓝绿紫给人感到安静和清新因此称为“冷色”。 颜色可以互相混合将不同的原来颜色混合产生不同的新颜色混合方法分为以下两种 - 颜色色光的相加混合 - 颜色色料混合 - 颜色色料的相减混合颜色色光混合 颜色色料的混合(相减混合) 颜色色料混合一般应用红黄蓝三种颜色色料互相混合。红色即是可让红色波长透过吸收绿色及其余 附近的颜色波长令人感受到红色。黄色蓝色也是同样道理。 当黄蓝混合时黄色颜料吸收短的波段蓝色颜料吸收长的波段剩下中间绿色波段透过令人们感受 到绿色同样红黄混合时剩下560nm以上较长的波段透过而成为橙色。红蓝色混合一起成为紫色。 以红黄蓝为原色两种原色相拼而成的颜色称为间色分别有橙绿紫由两种间色相拼而成的称 为复色分别有橄榄蓝灰棕色 此外原色或间色亦可混入白色和黑色调出深浅不同的颜色。在原色或间色加入白色便可配出浅红粉红 浅蓝湖蓝等颜色若加入不同份量的黑色便可配出棕深棕黑绿等不同颜色。 一、配色着色_定义 配色就是在红、黄、蓝三种基本颜色基础上配出令人喜爱、符合色卡色差要求、经济并在加工、使用中 不变色的色彩。另外塑料着色还可赋予塑料多种功能如提高塑料耐旋光性和耐候性赋予塑料某些特殊 功能如导电性、抗静电性不同彩色农地膜具有除草或避虫、育秧等作用。即通过配色着色还可达到某 种应用上的要求。 二、着色剂 着色剂主要分颜料和染料两种。颜料是不能溶于普通溶剂的着色剂故要获得理想的着色性能需要 用机械方法将颜料均匀分散于塑料中。按结构可分为有机颜料和无机颜料。无机颜料热稳定性、光稳定性 优良价格低但着色力相对差相对密度大有机颜料着色力高、色泽鲜艳、色谱齐全、相对密度小缺点为耐热性、耐候性和遮盖力方面不如无机颜料。染料是可用于大多数溶剂和被染色塑料的有机化合物、 优点为密度小、着色力高、透明度好但其一般分子结构小着色时易发生迁移。白色颜料主要有钛白粉、氧化锌、锌钡白三种。钛白粉分金红石型和锐钛型两种结构金红石型钛白 第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 41264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同 -7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面， 同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面， 塑料生产塑胶配色着色作业指导书 一、配色着色－定义： 配色就是在红、黄、蓝三种基本颜色基础上，配出令人喜爱、符合色卡色差要求、经济并在加工、使用中不变色的色彩。另外塑料着色还可赋予塑料多种功能，如提高塑料耐光性和耐候性；赋予塑料某些特殊功能，如导电性、抗静电性；不同彩色农地膜具有除草或避虫、育秧等作用。即通过配色着色还可达到某种应用上的要求。 二、着色剂： 着色剂主要分颜料和染料两种。颜料是不能溶于普通溶剂的着色剂，故要获得理想的着色性能，需要用机械方法将颜料均匀分散于塑料中。按结构可分为有机颜料和无机颜料。无机颜料热稳定性、光稳定性优良，价格低，但着色力相对差，相对密度大；有机颜料着色力高、色泽鲜艳、色谱齐全、相对密度小，缺点为耐热性、耐候性和遮盖力方面不如无机颜料。染料是可用于大多数溶剂和被染色塑料的有机化合物、优点为密度小、着色力高、透明度好，但其一般分子结构小，着色时易发生迁移。 白色颜料主要有钛白粉、氧化锌、锌钡白三种。 钛白粉分金红石型和锐钛型两种结构，金红石型钛白粉折射率高、遮盖力高、稳定、耐候性好。 炭黑是常用黑色颜料，价格便宜，另外还具有对塑料的紫外线保护（抗老化）作用和导电作用，不同生产工艺可以得到粒径范围极广的各种不同炭黑，性质差别也很大。炭黑按用途分有色素炭黑和橡胶补强用炭黑，色素炭黑按其着色能力又分为高色素炭黑、中色素炭黑和低色素炭黑。炭黑粒子易发生聚集，要提高炭黑的着色力，要解决炭黑的分散性。 珠光颜料又叫云母钛珠光颜料，是一种二氧化钛涂覆的云母晶片。根据色相不同，可分为银白类珠光颜料、彩虹类珠光颜料、彩色类珠光颜料三类。 购买颜料，必须了解颜料的染料索引（C.I），C.I 是由英国染色家协会和美国纺织化学家和染色家协会合编出版的国际性染料、颜料品种汇编，每一种颜料按应用和化学结构类别有两个编号，避免采购时因对相同分子结构、不同叫法的颜料发生误解，也有利于使用时管理和查找原因。 三、配色着色工艺： 配色着色可采用色粉直接加入树脂法和色母粒法。 色粉与塑料树脂直接混合后，送入下一步制品成 综合除法与余数定理修 订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C- 第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是 )(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 ACM 暑期集训 组合数学（5） 置换群与P ólya 定理 1 群的基本概念 b a e a b b a a a e e a a b b a c b a c b a A A b a A b a A =======∈∈?-1543)()(21,,，则）逆元：（）单位元：（）可交换性：（）可结合性：（）封闭性 （算的性质上的二元运算。二元运为，则称都有，如果对于，运算设非空集合 上的二元运算。是非空集合，代数系统A A ?? 为无限群。 为有限群。否则，称是有限集合，称如果。，下是一个群，记作群在运算则称集合存在逆元）对于（）存在单位元（是可结合的）运算（是封闭的）运算（，满足下述条件：，设给定代数系统G G G G G G G a G a e G *??=*∈∈?***??-1 ,43212 置换群 {}个不同的置换。 次置换共有例如：到自身的双射 ，，，次置换：集合!1423432132 1,321321 n n s k k k k n n X n n ??? ? ??=?? ?? ??== ? ?? ? ? ??=???? ??????? ? ?=????? ? ?=???? ??=?≠?=??4312 4321 32144321142 3432 1321443 211423 4321 ))(()(t s t s s t t s i s t i t s X t s t s X 则例如律。。即置换的乘法无交换。一般地，为上的一个置换，且定义仍是，置换的乘法和上的置换设 ?? ? ? ??=? ??? ??=???? ??=-n k k k k s k k k k n s n n I n n X 32 132132132132 11 321 的逆置换为为恒等置换。 称 {}，称为置换群。 乘法运算下构成一个群在置换的的置换组成的集合，是由集合设G X t t t G m ,,,21 = ?? ???????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ? ?=312321,123321,231321,213321,132321,3213213S S n X n 次对称群，记作法下构成一个上的全体置换在置换乘集合 POJ 2369 Permutations 求置换P 的秩k （order ）：P k =I POJ 1026 Cipher 求置换P 的k 次幂P k 。题目大意：首先输入长度为n 的数字串构成置换P 。然后求字符序列Src 进行k 次置换后的字符序列。 POJ 1721 CARDS 已知置换P 的k 次幂P k ，求P （是k 次方根吗） 基础回顾 （一）法拉弟电磁感应定律 1、内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比 E ＝n ΔΦ/Δt （普适公式） 当导体切割磁感线运动时，其感应电动势计算公式为E ＝BLVsin α 2、E ＝n ΔΦ/Δt 与E ＝BLVsin α的选用 ①E ＝n ΔΦ/Δt 计算的是Δt 时间内的平均电动势，一般有两种特殊求法 ΔΦ/Δt=B ΔS/Δt 即B 不变 ΔΦ/Δt=S ΔB/Δt 即S 不变 ② E ＝BLVsin α可计算平均动势，也可计算瞬时电动势。 ③直导线在磁场中转动时，导体上各点速度不一样，可用 V 平=ω（R 1+R 2）/2代入也可用E ＝n ΔΦ/Δt 间接求得出 E ＝BL 2 ω/2（L 为导体长度， ω为角速度。） （二）电磁感应的综合问题 一般思路：先电后力即：先作“源”的分析--------找出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E 和r 。再进行“路”的分析-------分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便安培力的求解。然后进行“力”的分析--------要分析力学研究对象（ 如金属杆、导体线圈等）的受力情况尤其注意其所受的安培力。按着进行“运动”状态的分析---------根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型。最后是“能量”的分析-------寻找电磁感应过程和力学研究对象的运动过程中能量转化和守恒的关系。 【常见题型分析】 题型一 楞次定律、右手定则的简单应用 例题（2006、广东）如图所示，用一根长为L 、质量不计的细杆与一个上弧长为L 0 、下弧长为d 0 的金属线框的中点连接并悬挂于o 点，悬点正下方存在一个弧长为2 L 0、下弧长为2 d 0、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且d 0 远小于L 先将线框拉开到图示位置，松手后让线框进入磁场，忽略空气阻力和摩擦，下列说法中正确的是 A 、金属线框进入磁场时感应电流的方向为a →b →c →d → B 、金属线框离开磁场时感应电流的方向a →d →c →b → C 、金属线框d c 边进入磁场与ab 边离开磁场的速度大小总是相等 D 、金属线框最终将在磁场内做简谐运动。 题型二 法拉第电磁感应定律的简单应用 例题（2000、上海卷）如图所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在坚直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动，此时abcd 构成一个边长为Ｌ的正方形，棒的电阻力为r ，其余部分电阻不计，开始时磁感强度为B 。 （1）若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为K ，同时保持棒静止，求棒中的感应电流，在图上标出感应电流的方向。 （2）在（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t 1 秒未时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？ （3）若从t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以速度v 向右做匀速运动时，若使棒中不产生感应电流，则磁感强度怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？ d a c B 0 e b f 分散性是指颜料在塑料着色过程中均匀分散在塑料中的能力，这里的分散性是指将颜料润湿后减少其凝聚体和附集体尺寸到理想尺寸大小的能力。在塑料加工温度下可以完全溶解于塑料中的着色剂被定义为染料。所以溶剂染料在塑料着色中原则上没有分散性的概念。与染料相反，颜料在塑料中着色呈现高度分散微粒状态，所以始终以原来的晶体状态存在。正因为如此，颜料的晶体粒子状态与分散性有很大的关系。 颜料分散性好坏不仅影响着色力和色光，还对塑料制品的光学性能有直接影响。 颜料的分散不好着色不匀，产生条痕或色点不仅影响着色产品外观，更严重影响着色成品的力学性能。更重要的是：颜料分散性好坏影响它在塑料加工中的应用价值，特别在化纤纺丝和超薄薄膜中的应用。颜料在熔融挤出工艺中所受到剪切力相对于颜料在油墨、涂料加工工艺中要小的多。而且颜料在超薄薄膜、纤维纺丝中分散的要求远远比油墨和涂料高得多。因此颜料在塑料中的分散性是颜料在塑料中应用的一个特别重要的指标。 一，颜料的分散性与表面性能 颜料的分散性与颜料的表面性质有关，有机颜料颗粒的表面特性与颜料分子堆积、排列方式有关，不同粒子晶体结构显示不同表面性能。 按照相似相容的原理，如果颜料表面是非极性的，那么应用于非极性的塑料中就非常容易分散，反之如果颜料表面呈极性，那么应用在水性涂料和高极性喷墨墨水中就非常容易分散。 二，颜料分散性与粒径大小、粒径分布 同样结构有机颜料其分散性与原始粒径大小也有很大关系，当颜料原始粒径降低，其透明度提高，分散性降低。颜料原始粒径大小对分散性影响在于颜料小颗粒填充较大的颗粒之间的并使聚集体排列更加紧密，以至于润湿剂（聚合物）不能渗透，颜料颗粒不能充分润湿包覆，在分散过程中剪切应力达不到颜料表面，使聚集体在最终产品中依然大量存在。 颜料分散性与颜料粒子分布有关，颜料粒子均匀分布较窄，用在纺丝着色时颜料容易分散。 综合除法与余数定理 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如 下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数 乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 例1 计算（） 分析把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2）除式要变成的形式（b可以是负数） 例2用综合除法计算 （1）； （2） 解：（1） ∴商式为，余式为-3 （2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。 ∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以 ，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28， 它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得 a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 一．简答题（40分） 1.传感器的基本概念及基本功能？ 传感器就是借助于检测元件（敏感元件）接受一定形式的信息，并按一定的规律将它转换成另一种信息的装置。它获取的信息，可以是各种物理量、化学量和生物量，而转化后的信息也有各种形式。目前，将传感器接收到的信息转化为电信号是最常用的一种形式（电信号包括电压，电流及频率信号） 基本功能：信息收集，信号数据的转换 2.传感器的基本组成并说出每部分的功能？ 传感器通常是由敏感元件，转换元件和调节转换电路三部分组成 其中敏感元件是指传感器中能够直接感受或响应被测量的部分；转换元件是指传感器中能够将敏感元件感受或响应的被测量转换成电信号的部分；调节转换电路是指将非适合电量进一步转换成适合电量的部分。 3.传感器的发展趋势？ 1新特性（努力实现传感器的新特性） 2可靠性（确保传感器的可靠性，延长其使用寿命） 3集成智能（体感传感器的集成化和智能化程度） 4微型（传感器微型化） 5仿生（发展仿生物传感器） 6新材料（新型功能材料开发） 7多融合（多传感器信息融合） 4.按被测量的不同传感器可以分为哪几类？ 1按感知外界信息基本效应不同分为物理传感器，化学传感器，和生物传感器等 2按被测量不同分为力学量/热量/液体成分/气体成分/真空/光/磁/离子/放射线传感器等 2按敏感材料不同分为金属/半导体/光纤/陶瓷/高分子材料/复合材料传感器等 3按工作原理不同分为应变式/电感式/电容式/压电式/磁电式/光电式/热电式/气敏/湿敏传感器等 5.传感器的特性及其概念？ 6.传感器的静态特性包括那几个重要指标？ 传感器的特性是指传感器的输入量和输出量之间的对应关系。通常分为 静态特性：输入不随时间变化而变化的特性（重要指标包括线性度、灵敏度、重复性、迟滞、零点漂移、温度漂移等） 动态特性：输入随时间变化而变化的特性（可从时域和频率方面即对应阶跃响应法和频率响应法方面分析） 7..电感式传感器的概念及每类传感器的基本概念？ 1应变式传感器：基于电阻应变片的应变效应（对半导体应变片而言为压阻效应）。 2电感式传感器：基于电磁感应原理，利用磁路磁阻变化引起传感器线圈的电感（自感系数或互感系数）变化来检测非电量的一种机电转换装置。常见有自感式，互感式，涡流式等。 3电容式传感器：可以把某些非电量的变化通过一个可变电容器转换成电容量变化的装置。常见有变极距型，变面积型，变介质型。 4压电式传感器：基于压电材料受力作用而变形时，其表面会有电荷产生，从而实现非电量测量原理。压电式传感器是典型的有源传感器，常见有单向力，双向力，三向力。 5磁电式传感器：利用电磁感应原理将运动速度转换成感应电动势输出的传感器。又称感应式或电动式 HE染色 试剂配置 A：0.5~1%的伊红酒精溶液： 称取伊红Y0.5~1g，加少量蒸馏水溶解后，再滴加冰醋酸直至浆糊状。以滤纸过滤，将滤渣在烘箱中烤干后，以95%酒精（即工业酒精，如果不怕浪费，用无水乙醇配制也可）100毫升溶解。 B：苏木素染液配方：(配制3000ml，可按比列减少) 苏木精6g 无水乙醇100ml 硫酸铝钾150g 蒸馏水2000ml 碘酸钠1.2g 冰醋酸120ml 甘油900ml 配制方法：将苏木素溶于无水乙醇，再将硫酸铝钾溶于蒸馏水，溶解后将甘油倾入一起混合，最后加入冰醋酸和碘酸钠。 C：1%盐酸酒精分化液：将1毫升浓盐酸加入99毫升70%酒精中即可。 染色流程 (1)二甲苯（Ⅰ）15min (2)二甲苯（Ⅱ）15min （3）二甲苯：无水乙醇=1:12min (4)100%乙醇（Ⅰ）5min (5)100%乙醇（Ⅱ）5min (6)80%乙醇5min (7)蒸馏水5min (8)苏木精液染色5min (9)流水稍洗去苏木精液1-3s (10)1%盐酸乙醇1-3s (11)稍水洗10-30s (12)蒸馏水过洗1-2s (13)0.5%伊红液染色1-3min (14)蒸馏水稍洗1-2s (15)80%乙醇稍洗1-2s (16)95%乙醇（Ⅰ）2-3s (17)95%乙醇（Ⅱ）3-5s (18)无水乙醇5-10min (19)石炭酸二甲苯5-10min (20)二甲苯（Ⅰ）2min (21)二甲苯（Ⅱ）2min (22)二甲苯（Ⅲ）2min (23)中性树胶封固 注：①第（11）、（12）步可省去，（13）步冲水时间需延长至20-30min。 ②第（21）步如果不用石炭酸二甲苯，可改用无水乙醇。 *冷冻切片HE染色步骤： （1）冰冻切片固定10～30s （2）稍水洗1～2s （3）苏木精液染色（60℃）30～60s （4）流水洗去苏木精液5～10s （5）1%盐酸乙醇1～3s （6）稍水洗1～2s （7）促蓝液返蓝5～10s （8）流水冲洗15～30s （9）0.5%曙红液染色30～60s （10）蒸馏水稍洗1～2s （11）80%乙醇1～2s （12）95%乙醇1～2s （13）无水乙醇1～2s （14）石炭酸二甲苯2～3s （15）二甲苯（Ⅰ）2～3s （16）二甲苯（Ⅱ）2～3s （17）中性树胶封固。 注：第（14）步如果不用石炭酸二甲苯，可改用无水乙醇。 染色结果：细胞核蓝色，胞质、肌纤维、胶原纤维和红细胞呈深浅不一的红色。 4．12切片脱水透明切片经HE染色后，要彻底脱水透明，才能用中性树胶封盖。如果脱水不彻底，封片后呈白色雾状，镜下观察模糊不清，且容易褪色。切片1-2级无水乙醇脱水，也可使用石碳酸二甲苯进行脱水。石碳酸有较强脱水能力，但长时间可使切片脱色，因此要经过多次二甲苯以使石碳酸完全除去。 5.H-E染色评定标准： （1）切片完整，厚度4-6微米，厚薄均匀，无皱褶无刀痕； （2）染色核浆分明，红蓝适度，透明洁净，封裱美观。 4 染色结果编辑 细胞核被苏木精染成鲜明的蓝色，软骨基质、钙盐颗粒呈深蓝色，粘液呈灰蓝色。细胞浆被伊红染成深浅不同的粉红色至桃红色，胞浆内嗜酸性颗粒呈反光强的鲜红色。胶原纤维呈淡粉红色，弹力纤维呈亮粉红色，红血球呈橘红色，蛋白性液体呈粉红色。 着色情况与组织或细胞的种类有关，也随其生活周期及病理变化而改变。例如，很多细胞在新生时期胞浆对伊红着色较淡或轻度嗜碱，当其衰老时或发生退行性变则呈现嗜伊红浓染。胶原纤维在老化和出现透明变性时，伊红着色由浅变深。 综合除法与余数定理 一、知识提要与典型例题 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 （一）、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数 826322 4 1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 Polya定理 置换：1，2，3，……，n P[1]，P[2]，P[3]，……，P[n] 有一个序列，原来是1，2，3，……，n，现在用P[1]来代替1，用P[2]来代替2，用P[3]来代替3，……，用P[n]来代替n，那么我们就称P为原序列的一个置换。 循环：1，2，3，……，n - 1，n 2，3，4，……，n， 1 有一个序列，原来是1，2，3，……，n，现在用2来代替1，用3来代替2，用4来代替3，……，用n来代替n - 1，用1来代替n，那么我们就称（1，2，3，……，n）为原序列的一个循环。 任意一个置换都可以划分为若干个循环的共同作用效果。 例如：置换P[3，5，1，2，4]，我们可以用（1，3）（2，5，4）这两个循环来表示这一个置换（原序列为1，2，3，4，5）。 置换P[5，2，4，6，1，3]，我们可以用（1，5）（2）（3，4，6）这三个循环来表示这一个置换（原序列为1，2，3，4，5，6）。 通过上面两个例子，我们可以感受到了，可以使用若干个循环来表示一个置换。当我们知道一个置换P的时候，我们可以用O（n）的时间来找出它的循环，具体算法就是线性扫描，并对扫描过的进行标记，最终可以求出循环数和每个循环的大小。 重要定理：n个序列，m个置换中，对于每一个序列，置换不动数* 同类数= 总置换数。 其中，给出以上名词的定义： 置换不动数：在m个置换中，存在k个置换，使得这个序列通过任一个置换都保持序列相等，那么k就是置换不动数。 同类数：在n个序列中，存在k个序列，使得这个序列可以通过m个置换中的任一个置换到达，那么k就是同类数。 总置换数：就是m。 证明： 设置换不动数为x，同类数为y，总置换数为z。 对于一个序列A，我们知道，有x个置换可以使得A * P = A（其中P ∈这x个置换）。那么，设有两个置换M和N，满足A * M = A * N ≠A，可以得到A * M / N = A，可见（M / N）∈这x个置换，也就是M ∈（N * 这x个置换），即对于任意一个置换P，则有x 个置换与它等价（包括自己），又因为有y个同类数，所以x * y = z，定理得证。 注意事项：序列虽然是1，2，3，……，n，但是序列的第1个格子、第2个格子、第3个格子、……、第n个格子，它们格子里面的值不一定是1，2，3，……，n，可以是任意数字。判断两个序列是否相等的标准，就是判断每一个对应的格子的内容是否都相等。（通俗点来讲就是对格子涂色） 第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。组合数学(5)置换群与Pólya定理教学总结
第二章 基本原理和定理
塑料的配色着色原理和工艺
综合除法与余数定理
塑料着色剂
综合除法与余数定理
塑料配色技术
7.综合除法与余数定理
塑料生产塑胶配色着色作业指导书
综合除法与余数定理修订版
组合数学(5)置换群与Pólya定理
电磁感应解题技巧及练习
颜料分散性
综合除法与余数定理含答案
传感器原理及应用复习(简答题)
HE染色方法与步骤吐血整理
综合除法(1)
polya定理
最新综合除法与余数定理