函数的动点问题 2
y x
E
Q P
C B O
A 1. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．
的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示
各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
练习1、已知抛物线2
y ax bx c =++经过53(33)02P E ??
? ???
，，，及原点(00)O ，
． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．
得抛物线的解析式为2253
33
y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线
PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC
于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与
PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形
OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，
点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处。已知折叠55CE =，且
3tan 4
EDA ∠=
。 （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
练习3、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交
O
x
y
练习2图
C
B E
D
A
于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，
和(312)--，
． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的
函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(1
0)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角
PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
O
y
C
l
x B A
1x =
练习3图
（1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=
，点A C
，的坐标分别为(30)A -，
，(10)C ，，3
tan 4
BAC ∠=． o
C
B
A
x
练习4图
P
y
（1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，
，(10)C ，，B
(13)，，39
44
y x =+ （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不
包括全等），并求点D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接
PQ ，设A P D Q m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB
△相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．
参考答案
练习1、解：（1）由已知可得：
A C O
B
x
y
33375
5304
20a b a b c ?+=?
?+=?
?=??
解之得，253033a b c =-==，，． 因而得，抛物线的解析式为：225333
y x x =-+． （2）存在．
设Q 点的坐标为()m n ，，则225333
n m m =-
+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△，则有3333
n m --=，即2253
333333m m
m +--= 解之得，12232m m ==，．
当123m =时，2n =，即为Q 点，所以得(232)Q ，
要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△，则有3333
n m --=，即2253
333333m m
m +--= 解之得，12333m m ==，，当3m =时，即为P 点， 当133m =时，3n =-，所以得(333)Q -，． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．
Q 点的坐标为(232)(333)-，，，．
（3）在Rt OCP △中，因为3tan 3
CP COP OC ∠=
=．所以30COP ∠=
． 当Q 点的坐标为(232)，时，30BPQ COP ∠=∠=
． 所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠=
．
因此，OPC PQB OPQ OAQ ，
，，△△△△都是直角三角形． 又在Rt OAQ △中，因为3tan 3
QA QOA AO ∠=
=．所以30QOA ∠= ．
即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠= ． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠= ， 所以OQA OQP △≌△．
练习2
解：（1）OCD △与ADE △相似。
理由如下：
由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，
1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠ ，
又90COD DAE ∠=∠=∵°，
OCD ADE ∴△∽△。
（2）3
tan 4
AE EDA AD ∠=
=∵，∴设AE=3t ， 则AD=4t 。
由勾股定理得DE=5t 。
358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴。
由（1）OCD ADE △∽△，得
OC CD
AD DE
=， 845t CD t t
=∴
， 10CD t =∴。
在DCE △中，2
2
2
CD DE CE +=∵，
222
(10)(5)(55)t t +=∴，解得t=1。
∴OC=8，AE=3，点C 的坐标为（0，8），
点E 的坐标为（10，3）， 设直线CE 的解析式为y =kx +b ，
O
x
y 图1
C B
E
D 3
1
2 A 图2
O
x
y C
B
E
D
P
M
G
l N
A
F
1038k b b +=??=?，∴，解得128k b ?
=-???=?，
，
1
82
y x =-+∴，则点P 的坐标为（16，0）。
（3）满足条件的直线l 有2条：y =－2x +12， y =2x －12。
如图2：准确画出两条直线。
练习3
解：（1） 二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，
和(312)--，， ∴由1242393212.
b
a a
b
c a b ?-=??++=??-+=-?
?
，， 解得123.a b c =-??
=??=?，，
∴此二次函数的表达式为 223y x x =-++．
（2）假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以
B O D ，，为顶点的三角形与BA
C △相似．
在2
23y x x =-++中，令0y =，则由2
230x x -++=，解得1213x x =-=，
(10)(30)A B ∴-，，，．
令0x =，得3y =．(03)C ∴，
． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．
点B 的坐标为(30)，
，点C 的坐标为(03)，，点A 的坐标为(10)-，． 4345.
AB OB OC OBC ∴===∠=
，， 223332BC ∴=+=．
要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△，
已有B B ∠=∠，则只需
BD BO BC BA
=
， ①
y
x
B E A O
C D
1x =
l
或
.BO BD
BC BA
= ②
成立．
若是①，则有33292
44
BO BC BD BA
?=
=
=
． 而45OBC BE DE ∠=∴= ，．
∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得2
2222
9224BE DE BE BD ??+=== ? ???
．
解得
9
4
BE DE ==（负值舍去）． 93
344OE OB BE ∴=-=-=．
∴点D 的坐标为3944??
???
，．
将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．
∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．
［或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为
3y x =．此时易知BOD BAC △∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立
33y x y x ==-+，求得点D 的坐标为3944??
???
，．］
若是②，则有34
2232
BO BA BD BC
?=
=
= ． 而45OBC BE DE ∠=∴=
，．
∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得2222
22(22)BE DE BE BD +===．
解得
2BE DE ==（负值舍去）．
321OE OB BE ∴=-=-=．
∴点D 的坐标为(12)，
． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．
∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．
∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以
B O D ，，为顶点的三角形与BA
C △相似，且点
D 的坐标分别为3944??
???，或(12)，．
（3）设过点(03)(10)C E ，，
，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ． 将点(1
0)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． ∴此直线的函数表达式为33y x =-+．
设点P 的坐标为(33)x x -+，
，并代入223y x x =-++，得2
50x x -=． 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．
512x y ∴==-，． ∴点P 的坐标为(512)-，
． 此时，锐角PCO ACO ∠=∠．
又 二次函数的对称轴为1x =，
∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，
． ∴当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；
当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠； 当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．
练习四
解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±
x
B
E
A O C
1x =
P
C '
· P
y
令0x =，得1y =-
∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-
（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45
∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45
过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形 令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +
∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2
11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3
∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11
2123422
??+??= (3)． 假设存在
∵∠P AB =∠BAC =45
∴P A ⊥AC
∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90
在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 设M 点的横坐标为m ，则M 2
(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m --，MG=2
1m -即211
322
m m ---=
解得11m =-（舍去） 22
3
m =（舍去）
(ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有AG CA =MG
PA
即 211232
m m ---=
解得：1m =-（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-
G M
图3
C B
y
P A
o
x
G
M
图2
C B
y
P
A
o
x
② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m +，MG=2
1m -
∴ 211
322
m m +-=
解得11m =-（舍去） 243m = ∴M 47
(,)39
(ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有
AG CA =MG
PA
即 211232
m m +-=
解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)
∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?P CA 相似 M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39
，(4,15)
练习5、
解：（1） 点(30)A -，
，(10)C ， 4AC ∴=，3
tan 434
BC BAC AC =?=
?=∠，B 点坐标为(13)，
设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，
由0(3)3k b k b
=?-+??
=+? 得34k =，94b =∴直线AB 的函数表达式为39
44y x =+
（2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ，
在Rt ABC △和Rt ADB △中，
BAC DAB = ∠∠ Rt Rt ABC ADB ∴△∽△，
D ∴点为所求又4
tan tan 3
ADB ABC ==
∠∠， 49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷
=∠134OD OC CD ∴=+=，1304D ??
∴ ???
，
（3）这样的m 存在
在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB =如图1，当PQ BD ∥时，APQ ABD △∽△
则
1334135
34
m m
+
-=+
，解得259m = 如图2，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△
则
1334135
34
m m
+
-=+
，解得12536m =
A
B
C
D Q O y x
图1
P
A
B
C
D Q O y
x
图2
P
专题：二次函数中的动点问题
y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2; 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
最新最新中考二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ??? ，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B Q ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=Q ，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 35GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+Q ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?．
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断 图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 共同点：
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
二次函数动点问题解答方法技巧分析
函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就就是所含字母x 的二次函数;下面以a ＞0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系: 二、 抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.
注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 ①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形; ③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式); ④求直线、抛物线解析式; ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。 二次函数的动态问题(动点)
中考二次函数动点问题(含答案)
中考二次函数动点问题(含答案) 1.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方 向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止 运动，设运动的时间为秒． （1）求正方形的边长． （2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分 （如图②所示），求两点的运动速度． （3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）若点ABCD保持（2）中的速度不变，则点ABCD沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小．当点ABCD沿着这两边运动时，使ABCD的点ABCD有个． （抛物线ABCD的顶点坐标是． [解] （1）作轴于． ， ． ． （2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒． 又． 两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作ABCD轴于ABCD，则ABCD． ABCD ，即 ABCD ． ABCD ．ABCD ．ABCD，
ABCD ． 即 ABCD ． ABCD ，且 ABCD ， ABCD当 ABCD 时，ABCD有最大值． 此时 ABCD ， ABCD点ABCD的坐标为 ABCD ．（8分） 方法二：当ABCD时， ABCD ． 设所求函数关系式为． 抛物线过点， ． ，且， 当时，有最大值． 此时， 点的坐标为． （4）． [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。 ． 2. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒． （1）求的度数． （2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度． （3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． （4）如果点ABCD保持（2）中的速度不变，那么点ABCD沿ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小，当点ABCD沿这两边运动时，使ABCD的点ABCD有几个？请说明理由． 解: （1）ABCD．
初中数学二次函数动点问题
函数性问题专题—动点问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题） 一、因动点而产生的面积问题 例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2 +bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1 求A 、B 、C 三点的坐标； (2 若点D 的坐标为(m ，0 ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围； (3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分： (2 若点D 的坐标为(1，0 ，求矩形DEFG 的面积 . 例2：如图1，已知直线
12 y x =-与抛物线2 164 y x =- +交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标； （2）求线段A B 的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段A B 端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2 图1 图10 第-2-页共4页 例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边 AB=4,BC=4
二次函数动点问题(一)
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写出点Q点 精品资料欢迎下载 二次函数中的动点问题（一） 学习目标 1、熟悉掌握二次函数的概念及图像的特征。 2、掌握二次函数解析式的具体求法及二次函数的一些基本性质及利用二次函数的性质解决一些极值问题：如边长、面积、利润等。 3、解决二次函数中因动点产生不同图形的问题及其包含的一些几何问题 学习过程 一、因动点产生的相似三角形问题 例1：如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，△6），且ABE与△ABC的面积之比为3∶2． （1）求直线AD和抛物线的解析式； ．．．．的坐标． 专项练习： 直线y=- 1 3 x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y ＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的 坐标；若不存在，请说明理由． 二、因动点产生的等腰三角形问题 例2：如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连
精品资料欢迎下载结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若y 12 △，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m 图1 专项训练： 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC 上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值； （3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）． 图1图2 三、因动点产生的直角三角形问题 例3：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b＞0)．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），联结PP′、P′A、P′C．设点P的纵坐标为a． （1）当b＝3时，①求直线AB的解析式； ②若点P′的坐标是(－1，m)，求m的值；
二次函数中动点问题——平行四边形(练习)
2018年04月28日187****6232的初中数学组卷 一．解答题（共5小题） 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E 作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2． （1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值； （3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
二次函数动点问题的学习归纳
二次函数动点问题的学习归纳 模式1：平行四边形 例题1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 练习：如图，抛物线 322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．
例题2：如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数 y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 练习：如图1，直线 4 3 4 + - =x y 和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是 （-2，0）． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)
二次函数的动态问题（动点） 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个． [解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． 图① 图②
（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 3 5 GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?． 即2319 20105 S t t =- ++． 19195323 210b a -=-=???- ??? ，且190103≤≤， ∴当19 3t = 时，S 有最大值． 此时476331 1051555 GP t OG t ===-=，， ∴点P 的坐标为7631155?? ??? ，． （8分） 方法二：当5t =时，163 7922 OG OQ S OG OQ ==== ，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++． 抛物线过点()63102852? ? ??? ，，，， 1001020286325520.2a b a b ++=??∴?++=??， 31019.5a b ?=-??∴??=?? ，
中考数学压轴题 二次函数动点问题 专题练习
二次函数的动点问题 1如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴 交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点； （3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 分析 (1)由点B (-2,m )在直线12--=x y 上,可求得m 的值及 点B 的坐标,进而求得抛物线的解析式; (2)通过分别求得CB 和CE 的长来说明CB =CE, 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ，过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，由△DFB ≌△DHE,证得D 是BE 的中点； (3)若存在点P 使得PB=PE,则点P 必在线段BE 的中垂线CD 上, 动点P 又在抛物线上,通过解直线CD 和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标. 解（1）∵ 点B (-2,m ) 在直线12--=x y 上， ∴ m =-2×(-2)-1=3. ∴ B (-2,3) ∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4 1=a . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-= x x y ，即x x y -=24 1 . （2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5).
二次函数综合动点问题
二次函数综合（动点）问题——平行四边形存在问题 适用 学科 数学适用年级九年级授课教师叶祥教材 版本新人教版 课时时长 （分钟） 40分钟授课日期 2017年5月17日 （上午第4节） 知识点1、二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2、平行四边形性质 3、平行四边形模型探究 教学目标一、知识与技能 1、掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质； 2、掌握平行四边形的性质； 3、会对平行四边形模型进行探究，分类讨论不同的情况。 二、过程与方法 1、首先要掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质，因为平行四边形存在问题是在二次函数的前提下进行的； 2、掌握平行四边形的性质，先脱离二次函数，再回到二次函数 的情景中研究； 3、先从简单入手探究平面直角坐标系中动点情况下平行四边形
的存在问题，然后回到二次函数前提下的平行四边形存在问题。 4、充分运用数形结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。 三、情感、态度与价值观 1、培养学生的处理图像综合运用的能力； 2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法； 3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问 题的信心。 教学重 是否存在一点使得四边形是平行四边形，如果存在求出点的坐标点 教学难 是否存在一点使得四边形是平行四边形，如果存在求出点的坐标点 教学过程 一、课堂导入 如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为A（2，3）、B（6，3），C （4，0），现要找到一点D，使得这四个点构成的四边形是平行四边形，那 么点D的坐标_______________________________.
二次函数与几何图形动点问题
A 专题九 二次函数与几何图形动点问题 中考目标： 1、 灵活运用二次函数、特殊三角形和四边形相关性质、判定、定理，确定二次函数，判定线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积、还有存在、最值等问题； 2、 能够通过数形结合，进行建构模型，联想、猜测，运用分类、转化、从特殊到一般归纳等数学思想解 决问题； 3、 运用“动中求静”，找到、运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、 几何知识解决问题。 一．考点归纳：特殊图形的定义、性质、判定等，图形的变化：轴对称、平移、旋转（特殊的是中心对称） 二次函数部分的归纳： 1、二次函数的表达式：一般式 ，顶点（ ， ） 对称轴x= ， 还有 式； 2、二次函数的图象是 ，二次函数的性质： 。 二、考点探究 活动一：二次函数与三角形 例1.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12,0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同 时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直 平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的 坐标，若不存在，请说明理由． 练习：如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-2 1，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状； (2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 跟踪练习：《题型专练》P56 T1；P58 T5 中考考点：二次函数与四边形 例1. 如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物 线交于A 、C 两点，其C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶 点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 跟踪练习：《题型专练》P57 T3；P59 T7 中考考点：二次函数与三角形、四边形的面积
中考数学压轴题二次函数动点问题一
二次函数压轴题 1.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）， OB ＝OC ，tan∠ACO＝3 1． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 3.如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点， 与y 轴交于点C （0，3）。
⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC 是等腰三角形若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由; ⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。 4.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB 第九讲——二次函数动点问题的学习归纳 模式1：平行四边形 例题1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 练习：如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）， 与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系． 例题2：如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 练习：如图1，直线 4 3 4 + - =x y 和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2， 0）． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值． 二次函数与几何图形 模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 2、如图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系． 模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3 2-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【精编版】二次函数的动态问题 1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，， (20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形 MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值， 并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，， (08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是 2(0)y ax bx c a =++≠， 则16404208a b c a b c c ++=?? ++=??=-? ，，． 解得168a b c =-?? =??=-? ，，． 所以所求抛物线的解析式是2 68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ． 当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标． 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 y 图象x O 开口 对称轴 顶点坐标 最值当 x＝时， y 有最值是当 x＝时， y 有最值是增在对称轴左侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而 减 在对称轴右侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而 性 2、平行四边形模型探究 如图 1，点A x1, y1、B x2, y2、C x3, y3是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标 系中 是否存在点D，使得以A、 B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点 D 的坐标。 图1图2 如图 2，过A、B、C分别作 BC、AC、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线 l 2: 当 l 1 ∥l 2 时 k = k ; 当 l 1 ⊥l 时 k ·k = -1 1 2 2 1 2 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（ 2）再画图（ 3）后计算 二、精讲精练 2 1、已知抛物线y=ax +bx+c 与 x 轴相交于A、B 两点（ A、B 分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于 C 点，且 OA： OB： OC=1： 3： 3，△ ABC的面积为6，（如图 1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C 为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，在直线 BC上方的抛物线上是否存在一动点 P，△ BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指 出此时 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 2、（2013?黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣ 2， 0），B（﹣ 3，3）及原点 O，顶点为 C （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 AO为边的四边形 AODE是平行四边形，求点 D的 坐标。(完整版)九年级--二次函数中的动点问题
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