例谈小学数学概率与统计复习

威远县严陵镇中心校朱树远

统计与概率是密不可分的;一方面，概率论是现代统计学的根据。统计总是需要通过对样本的统计来推断全体，总要受到实际生活中不确定因素的影响，因此必须加入受不确定因素影响做出错误判断的概率;另一方面，通过频率研究概率需要多次的重复实验，需要收集、整理、分析实验数据，所以概率也离不开统计。

小学毕业班数学复习的目的是对整个小学数学各册教材中的知识做系统的、综合的、全面的梳理，沟通知识之间的横向、纵向联系，形成较完整的知识网络结构。增强用数学方法分析问题的意识，提高解决问题的能力。所以我们在总复习时，精心设计题型和有效地组织学生进行练习，提高复习的有效性。根据多年的教学和实践,提出以下建议:

一、统计

通过复习，培养学生的统计观念,使学生在作出判断前能有意识地从统计的角度思考问题，收集、整理、描述分析与问题相关的数据,作出合理的决策或质疑，这也是“统计”的重要教学目标。

(一)通过比较，加深理解各知识间的区别和联系

例1、对于下面三组数据应分别选用哪种统计图比较合适,

表一:西街小学图书室2008年各类图书数量统计表

种类文艺故事书科普读物课外学习辅导

册数(本) 2400 1600 800

表二:西街小学图书室2008年各类图书所占百分比情况统计表

种类文艺故事书科普读物课外学习辅导

百分比(%) 50 33 17

表三:西街小学图书室2006,2008年图书总数变化情况统计表

年份 2006 2007 2008

册数(本) 2100 2500 4800

面对这三张统计表，应引导学生分析这三张统计表的特点，选择不同的统计图，并在质疑中复习各种统计图的特点与作用。表一中的数据是反映各类图书的册数，主要比较的是数量的多少，所以选择条形统计图比较合适。表二中的数据是反映各类图书所占百分比，显然选择扇形统计图比较合适。表三中的数据是反映各年份图书的数量变化情况，所以选择折线统计图比较合适。我们知道学生对统计表的认识比较容易，可以把统计表的复习结合在统计图的复习中进行。所以重点应放在统计图上。

对以上三个统计表，教学中常常发现:学生有时会错误地认为表一和表二选择折线统计图或者条形统计图都可以。

例2 根据下面三组数据，在平均数、中位数、众数这三个统计量中选用哪个统计量能更好地反映各组数的一般水平,

表一:六(1)班第一小组同学一分钟口算成绩统计表

姓名张兰陈小丽郑凯朱虹李芳张明王兵成绩(分) 97 96 95 94 90 88 28 表二:六(1)班第一小组同学一次语文考试成绩统计表

姓名张兰陈小丽郑凯朱虹李芳张明王兵成绩(分) 91 88 87 90 85 86 89 表三:六(1)班第一小组同学一分钟投篮成绩统计表

姓名张兰陈小丽郑凯朱虹李芳张明王兵成绩(分) 10 16 16 14 19 15 16

应该如何分析这组数据呢,我们可以引导学生先算出每张表中数据的平均数，

再引导学生分析质疑。根据表一中数据特点，由于其中一个数偏小，而且在这7个

数中就有6个数在平均分以上，使学生重新认识应该采用中位数94来反映这组同

学的口算成绩的一般水平是比较合适的。由于表二中这组没有特别大的数，也没有

特别小的数，所以采用平均数是比较合适的。从表三中可以看到，有三位同学的投

篮成绩是16个，所以采用众数16来反映这组数据的一般水平是比较合适的。

(二)通过分析整理，提高分析问题和解决问题的能力

教师在教学中要采取启发和互动式的教学方式帮助学生设计调查表，经历数据

的收集、整理、描述和分析的过程。复习时除了根据收集的数据绘制统计图外，还

要教会学生解读统计图，还要把它融合在相关知识与技能的整体训练中，也就是让

学生针对统计图表进行分析与推断，提出相关的数学问题，提高复习的效率。

例3 顺城街小学六(1)班进行“说出你最喜欢的体育活动”的调查活动，每位

同学只选择自己最喜欢的一项体育活动。 22 25 下图是各项目人数统计图，根据

统计 20 18

图中的信息解答下面的数学问题: 15

10 (1) 六(1)班共有多少位同学, 10 8 (2)喜欢跳绳比喜欢篮球的同学多百分

之几, 5

0 (3)喜欢乒乓球项目的人数占全班人数的篮球跳绳乒乓球其它百分之几,

例4 下图是东东的爸爸根据1月份的总收入制作的开支安排统计图。

(1) 你从图中了解到哪些信息,

食品

(2)东东爸爸1月份总收入是4000元，用于 40% 汽车费

用15% 其他部分的开支是多少元, 付住房

其货款

它 25% 3 水电费

(3)你还能提出哪些数学问题,

通过以上复习，可以提高学生分析问题

和解决问题的能力。

例5 六(1)班张老师和第一小组的六位同学组成一个小组进行踢毽子比赛，每人一分钟踢毽子个数如下:(其中张老师踢了a个)

98 59 62 56 52 54 a

(1) 如果张老师踢的个数刚好是这组数据的中位数。那么a可能是多少,

(2) 如果这组数据的中位数是56个，那么a可能是多少,

这里，(1)中如果张老师踢的个数刚好是这组数据的中位数。那么通过排序后知道，a应该排在第四位。a可能是56、57、58、59。(2) 如果这组数据的中位数是56个。那么a可能是小于或等于56的整数。

又比如，有个这样的一个题目:说的是一名不会游泳、身高1.4米的学生在一个平均水深1.2米的游泳池中会不会有危险,这样的问题，我们认为题目本身就有缺陷，但它可以帮助学生加深对平均数的理解。不管从那种角度上回答，应该对学生说，肯定有危险～

通过对这类题目的分析，可以进一步提高学生对中位数、众数等概念的理解。

二、概率

概率也就是我们书上说的可能性，可以用0和1以及0到1之间的分数来表示一个事件发生的可能性的大小。

事件可分为确定事件和不确定事件。

必然事件(概率为1)

确定事件:

不可能事件(概率为0)

不确定事件:随机事件(其概率也就是可能性在0和1之间)

(一) 通过简单事件，体验可能性的大小，

为了加深对可能性大小的理解，我们应该从一些简单的事件出发，理解和掌握有关概率的基础知识和基本的思维方式。

例1下面是五个盒子里放的黄球的情况不同，要从每一个盒子里摸出一个黄球，摸到黄球的可能性是多少,请用线连一连。

3个黄球 2个黄球 1个黄球全是黄球全是白球 1个白球 2个白球 3个白球摸到黄球的摸到黄球的摸到黄球的一定摸到黄球不可能摸 123 可能性是

可能性是可能性是到黄球 4 4 4 的

学生根据黄球与白球的个数及所占比例，找出相应的可能性的大小是不难的，但要真正理解可能性的大小是反映独立事件随机出现的频率大小这确实是个难点，因此在复习时一定要引导学生进一步质疑，比如可以向学生提出以下问题:

1、盒子中有1个黄球3个白球，第次摸出1个球后立即放回盒子中，摸4次一定有一次能摸到黄球吗,

质疑的目的是使学生再次感悟到每次摸球都是独立事件，而每次摸到黄球的可能性都是1?4。

2、在以上五个盒子中哪一个盒子摸到黄球与白球的可能性是相等的，你能改变盒中球的数量，使摸到黄球与白球的可能性仍然相等吗,

3、如果一个盒子中有3个黄球、3个白球和一个红球，那么摸到黄球的可能性与摸到白球的可能性是否相等,为什么,

质疑的目的是使学生认识到摸到黄球与白球的可能性都是3,7，当然是相等。

可能性有大小，主要靠理论分析，不能以试验的结果为结果。如掷硬币实验，如果前10次都掷出的是正面，能预测出下一次一定出现正面，还是一定会出现反面吗,不能，能动摇每掷一次出现正面和反面的可能性都是二分之一吗,不能～我们有的老师平时动不动就叫学生做分组实验，企图通过若干次试验证其可能性的大小，这是不符合大数定律，主要靠理性思考。

例2 按要求，涂一涂。

不可能摸到黄球可能摸到黄球

引导学生分析领会题目的要求，只要涂出的颜色符合要求即可，如第一个图中只要不把球涂成黄色都行。而第二个图学生只要有一个球涂成黄色就符合要求，但不能把四个球都涂成黄色。这样的题目就是训练学生正确理解“一定”、“可能”、“不可能”。

(二)，深入剖析游戏规则，提高学生解决问题的能力

例3 掷两个骰子，老师对学生说:“如果掷出的两个骰子和是5、6、7、8、9算我羸，否则就算你们羸。”请问这样的游戏规则公平吗,如果不公平，你认为谁羸的机会大一些。

多数学生很可能都会认为是不公平的，因为和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。而老师只选了11个数中的5个数，而学生却比老师多一个数，所以学生很大可能会认为学生羸的机会要大一些。其实，大家知道，和为5、6、7、8、9的概率比和是2、3、4、10、11、12的概率要大一些，所以老师羸的机会大。比如和为2的中有一种可能，即1+1,2 ;和为3的有两种可能，即1+2,3或

2+1,3，等等。

例4 在一个正方体的6个面上分别标上数字，使得“2”朝上的可能性为

1?3。

其实只要在这个正方体的6个面上分别标上1、2、2、3、4、5这6个数字就行了。显然答案不唯一。比如，A、A、B、B、2、2均可。

对于游戏规则是否公平，要深入了解这游戏规则的实质才能判断。

以上发言，如有不当之处，请批评指正。谢谢大家～

2009年5月20日

小学数学估算教学的研究

《小学数学估算教学的研究》一、课题提出的背景和意义。当今世界许多国家已经把估算教学列入到小学数学教材中，美国教学课程标准中要求全体学生应学会在计算时进行估算，养成对数值做判断的习惯。在我国，教育部2011年制订的《全日制义务教育课程标准》中便明确指出要重视口算，加强估算，提倡算法多样化。估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用。学生估算意识和估算能力的养成，对于提高他们的观察、处理解决实际问题的能力，具有十分重要的价值。目前我们对估算能力的认识，尤其是如何有效培养学生的估算能力的问题还缺少系统、深入的探索与研究。（一）现实的需要。在以往数学教材中，估算内容少、散，又为选学内容，使得估算不足以引起教师的重视，总认为数学要求的就是精确性和严谨性, 小学生学习数学只要学会精确的计算就行了。实际上, 估算教学在小学阶段出现，有它的现实意义与现实背景。首先，从人的运算年龄特征与起源来看，估计相对于早于精确。从运算的认知过程与结果上看，估算具有直觉化、跳跃化与内隐化的特点，它相对于精确计算那种程序化、精确化与外部化的特点来说，要简单、开放的多。其次，在现实生活中，我们经常会在买东西、等人等场合中不自觉地进行估算。估算已成为解决生活问题的一项技能。再次，估算教学中还渗透了一些思维训练，估算的思想中有着简算的思维含量，它的教学对于以后大数量之间的简便计算有着很大的技能迁移。可见，估算具有重要的实用价值。

（二）数学课程改革的需要。加强估算是数学课程改革的一个重要方面。《数学课程标准》对估算的要求提出了明确的落实点，规定了估算的教学内容和估算意识、技能培养的要求。在第一、二学段的“数与代数”中共有45条具体目标，其中有关估算的目标有5条，如第一学段中，提出：“结合现实素材感受大数的意义，并能进行估算”、“能结合具体情境进行估算并解释估算的过程。”；在第一学段的教学建议指出：“在本学段教学中，教师要不失时机地培养学生的估算意识和初步的估算技能。”。第二学段中提出是：“结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。”、“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。”“能根据给出有关正比例关系的数据，在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个的数值估计另一个数值。”这些目标的实施，将使估算教学落到实处。（三）教师专业发展的需要。开展新课程“估算教学”实施策略和如何评价估算结果，提高估算教学有效性，寻求“估算教学”教学策略和评价方法的过程中，能促进教师教学水平的提高，对提升教师自身的素质以及教师专业化成长都具有重要的意义。（四）学生全面发展的需要。估算应用意识是计算能力的重要组成部分，在工业、农业、商业、军事等方面处处都有计算问题，也处处都离不开估算。具体而言，估算的功效在以下几个方面表现尤为明显：1、有助于培养学生认识事物的整体感；2、有助于增强学生行为的计划性；3、有助于强化学生的数感；4、有助于锻炼学生的观察力；5、有助于提高学生数学

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1．在五个数字12345，，，，中，。例2．若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

概率统计系的发展与未来(精)

概率统计系的发展与未来何书元(编写) 2005年概率统计系的前身是概率统计教研室。1956年初，我国第一个科学发展规划将概率统计列为数学研究中的重点发展方向之一。为落实这一规划，同时在苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）建议的基础上, 北京大学数学系成立了全国第一个概率统计教研室, 由许宝騄(1910-1970)教授任教研室主任。同年，根据教育部的安排，一些综合大学选派了进修教师和学生共50多人到北京大学，在许先生的主持下从事概率统计的学习和研究。同年秋，中国科学院的王寿仁、张里千先生、中山大学的郑曾同先生被邀请到北京大学讲授概率统计方面的课程。许先生亲自主持讨论班。这批学员是我国培养的第一批为数可观的概率统计人才，许多人日后成为我国概率统计界的学术骨干。到“文化革命”前，概率统计专业共培养了七届学生，约200人。这时的教学和科研同时在统计推断、试验设计、概率极限定理、马氏过程、多元分析等多方面开展，受到国际同行的好评。这时的毕业生也以基础深厚，学风严谨著称。当时的概率统计在北京大学是一派兴旺，集中了大批优秀老师和学生，得到数学系领导的关心和大力支持。许先生更是带有一些神秘的英雄色彩(参考“道德文章垂范人间”的前言)。他像磁石一样把莘莘学子吸引到北京大学。大家都十分羡慕那些能得到许先生指导的同学。许先生亲自主持制定概率统计专门化学生的培养计划和教学大纲，指导了五届毕业论文。一些专门化课程的教材也是根据许先生的讲稿整理而成。他领导的讨论班不仅有北大的教师学生参加，还有中科院数学研究所的同志参加，内容涉及到概率论和数理统计的多个方面。在这段时间中，先后有波兰的菲茨(Fisz)教授来北大讲授统计分析，乌尔巴尼克（Urbanike）教授讲授广义随机过程，邓肯(E. Dynkin)教授讲授马氏过程。许先生与这些专家共同制定讲学计划，帮助年轻人消化整理专家们的讲学内容，使北大成为大规模培养概率统计人才的第一基地。许先生有很高的学术成就，在国际上享有盛誉。他对待教学工作极为认真，讲课条理清晰，作风严谨，十分注意鼓励和培养年轻人。他早年的学生就曾经写到：“许先生坚持简洁，对事物深刻的了解，不畏避困难，凡事追求高标准，这些优秀的品质深深地吸引着我们，使我们成为他的学生。”许先生身体一直不好，加上“文革”期间受到不公正的待遇，终于1970年冬去世。当时由于信息不畅，加上概率统计教研室和数学系的许多老师还在江西鲤鱼洲劳动，使得许先生的过早

小学数学估算教学教学总结

小学数学估算教学

小学数学估算教学数学来源于生活，服务于生活。估算，是一种重要的数学思想方法和数学能力。《小学数学新课程标准》指出："数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具"，因此，《标准》对数学课程的内容也做了较大的调整，其中就增加了"能选择合适的估算方法"这一部分的内容。这样就要求我们广大的教育工作者，在教学中要重视对学生估算意识的培养，同时亦要求我们在授课过程中注意对学生渗透估算的方法所以说，估算能力的强弱直接影响到了人们生活节奏的快慢和学习、工作效率的高低。因此大数目计算的内容和要求在调整降低，但估算的要求反而提高了。一、小学数学估算教学的意义和作用。 1、估算，是人们在日常生活、工作和实际生产中，对一些无法或没有必要进行精确计算的数量，进行近似或粗略的估计的一种方法。估算是计算能力的重要组成部分。在日常生活中，处处有计算，也处处离不开估算。当前，重视估算能力的培养，加强估算已成为课程改革的潮流。估算教学应该走进小学数学课堂，服务生活。重视估算教学已经迫在眉睫，那么如何在课程实施过程中落实估算教学，让学生从意识上重视起来，从方法上运用起来，从习惯上培养起来呢？（1）、利用估算提高精算质量，形成自我监控的学习品质在平时精算时，估算也能起到重要作用，在精算前进行估算，可使学生自由而灵活地用多种方法去思考问题，在精算后进行估算，可利用估算方法来判断计算结果的合理性。如计算的结果是否符合实际等，以检验笔算或计算器

计算结果的正确性。养成习惯，将有助于增强学生对计算结果的检验意识，找出问题所在，减少不必要的失误。（2）、有助于强化学生的数感《数学课程标准》指出，数感主要包括：能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释等。而学生形成良好的估算习惯，有助于他们形成对数、问题及结果的直觉的思维品质，让他们学着用定量的方法来帮助解决问题，从而使事物的样态更加明晰、准确及严密，进而增进他们的数感。（3）、有助于培养学生认识事物的整体感估算教学强化学生的估算能力，有助于提高他们对运算和测量结果的概括性的认识，如估计物体的大小（如树的高度、树干粗细等）、事物的属性（如洗澡水的温度）、事物的变化(如学生不断变化的身高)等等。只有这样，学生在直面纷繁复杂的社会现象时，能有所取舍，做到“心中有数”，从而增强他们认识事物的整体感。（4）、有助于锻炼学生的观察力估算习惯的养成是一个长期积累的过程，需要学生时时处处注意观察生活中的许多常量（如一桶水的体积），并积淀成生活的常识。从而有利于增强学生对周围事物的敏感性和主动捕捉信息的能力，从而促进他们的观察力。 2、估算在教学中的作用（1）、用于检验；（2）、用于一般的计算；（3）、用于数或算式的大小比较；（4）、用于解决一些生活中的实际问题等。二、小学数学估算的方法

高中数学统计与概率知识点(原稿)

高中数学统计与概率知识点（文）第一部分:统计一、什么是众数。一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。二、.中位数的概念。一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

高考数学复习专题：统计与概率(经典)

11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，．二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1，这12位同学购书的平均费用是（） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率组距时速8070605040开始 10n S ==， S p

对概率论与数理统计的认识

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对概率论与数理统计的认识院系数学与信息工程系专业数学与应用数学姓名刘建丽

对概率论与数理统计的认识摘要概率作为数学的一个重要部分,在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待，分析,解决实际生活问题,在数学活动中获得生活经验。这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识,不仅仅是学习的需要,更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的,但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。关键字:概率论实践解决问题一,学科历史三四百年前在欧洲许多国家,贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体,当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的,即出现1点至６点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想:如果同时掷两颗骰子,则点数之和为９与点数之和为１0，哪种情况出现的可能性较大。 17世纪中叶,法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳,发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷２4次,至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢?后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局,事先约定谁先赢得６局便算赢家。如果在一个人赢3局,另一人赢4局时因故终止赌博,应如何分赌本?诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少,但他们自己无法给出答案。数学家们“参与”赌博。参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡,帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信,互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉,回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验,一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广,从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究,解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年,他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期,计算各种古典概率。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上,继续分析赌博中的其他问题,给出了“赌徒输光问题”的详尽解法,并证明了被称为“大数定律”的一个定理,这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算,首先猜想到这一事实,然后为了完善这一猜想的证明,雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法,取得了许多新成果，终于将此定理证实。１７１３年,雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世

人教版小学三年级数学《乘法的估算》教学案例

人教版小学三年级数学《乘法的估算》教学案例教学内容：课本第70页例2，练习十五第4――6题。教学目标 1、引导学生经历估算，初步了解多位数乘一位数的估算方法。 2、加强变式与比较，鼓励学生解释估算的理由和思路。 3、感受乘法估算在生活中的实际应用，体验估算的价值，初步培养学生的估算意识。教学重点、难点教学重点：结合具体情境学习多位数乘一位数的估算方法。教学难点：结合具体情境，让学生解释估算的理由和思路。教学流程一、创设情境、感受估算。 1、引课：老师知道同学们在十一长假中安排了许多丰富多采的活动。小明一家非常喜欢旅游，他们来到了首都北京的一座公园。在公园售票处，小明遇到了一群也想去公园参观的孩子，共29人，每张门票8元，他们带了250元钱，够吗？你们愿意帮助他们解决这个问题吗？出示例2：每张门票8元，29个同学参观，带250元钱够吗？ 2、分析问题。（1）认真读题，独立思考。说一说：从题中你获得了哪些数学信息？要解决的问题是什么？（指名说）（2）分析问题，建立联系。“带2５0元钱够吗？”指的是够干什么？引导学生说出指的是250元钱够不够买门票。

（３）理解了题意，我们来动脑筋想一想，用什么方法来解决这个问题呢？（学生独立思考） ①谁来说说你打算用什么方法来解决这个问题？指名说，学生可能说出用乘法，先算29×8。板书课题：乘法并板书29×8 师追问：你是怎么想的？要解决带2５0元钱够吗？为什么要先算29×8？ ②选择算法。根据我们的生活经验，要解决这个问题，我们是用笔算计算出精确的结果呢？还是运用估算，只要算出一个大约数就可以？请你选择。在生活中遇到这样的问题，一般不需要计算出精确的结果。通常采用估一估的方法，然后进行比较就可以了。引出课题。板书课题。 3、引出目标：这节课我们要学会多位数乘一位数的估算方法，并且知道在什么情况下需要进行估算。 4、解决问题。（1）独立思考：怎么知道29×8大约得多少？先静静地想一想。（2）同桌交流：把你的想法轻声告诉你的同桌，两人交流一下。（3）小组汇报：哪个小组的代表来说说你们的想法？小组的代表发言，完成板书： 29×8 ≈ 240（元） 30 ×8=240

概率论与数理统计概率问题

选修2-3 2.2.1 条件概率一、选择题 1．下列式子成立的是( ) A ．P (A | B )＝P (B |A ) B ．0

3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.215 D.115 [答案] C [解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故答案选C. 4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.35 [答案] B [解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．所以其概率为4361236 ＝13. 5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )

高中数学专题――概率统计专题.

专题二概率统计专题【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】题型1 抽样方法 -）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（） A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体．例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（） A．24B．18C．16D．12 Array 分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了． x=?=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380 +++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=．答案C． 2000 点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识．例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[) 出人．

高考数学概率与统计

高考数学概率与统计 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

第16讲概率与统计概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：类型一“非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为 P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36 ．类型二“互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对错解A 剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．

类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少? 错解设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223 30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．解：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球” 为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293 =. 剖析本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）= 46410915 ?=. 备用

高考数学文化题目的命制背景-概率统计中的数学文化

高考数学文化题目的命制背景-概率统计中的数学文化一.专题综述以小题或者解答题的形式，以现实生活中朴实的事例结合古典数学为背景考查数学文化相关知识，让学生体会数学来源于生活的本质，体会数学美预测：以挖掘古代数学和现实生活中鲜为人知的事例考查概率模型。二．回顾高考 1. 【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． π 8 C．1 2 D． π 4 【答案】B 2.(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到G处的老年公寓参加志愿者活者，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 【答案】B 【解析】分两步：小明从E处到F处有C24＝6种走法.两人一起到G处有C13＝3种走法.由分步乘法计数原理，共有6×3＝18种路径.

三．典例分析例1. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( ) A.2π B.1π C.12π D.14π 【答案】D 【解析】易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π . 例2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．【答案】22 【规律总结】 1.弘扬中华传统文化在数学中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数学知识的结合点；二是将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌. 2.试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例.

小学数学估算教学方法

小学数学估算教学方法摘要：在学生学习数学的过程中，估算是一种十分重要的能力，然而，在目前的教学中，估算教学的现状并不是很乐观。教师需要采取有效的教学方式来开展估算教学。本文首先分析了开展小学数学估算教学的意义，然后针对如何开展估算教学进行了简要的分析。关键词:小学数学；估算教学；方法前言:在小学阶段的教学中，数学学科是一门非常重要的科目。随着教学改革的开展，小学数学教学得到了越来越多的重视。估算教学是数学教学中非常重要的组成部分。针对目前估算教学的现状，教师应该对传统的教学方式进行更新，促进学生估算能力的提高，从而有效的提升小学生的数学综合素养。一、开展小学数学估算教学的意义（一）有利于帮助小学生体会教学的现实意义在现实生活中，精确计算是必不可少的。然而，在实际生活中，人们经常会遇到需要估算的问题[1]。比如，当在超市购买玩具的时候，一个玩具价值45元，另一个玩具价值75元，在付钱的时候给100元又不够，给300元又太多。这种情况就需要运用到估算，对小学生是非常有吸引力的，能够让学生对估算有更加深刻的认知。（二）有利于帮助小学生建立数的意识加强估算教学对于培养小学生数的意识有非常重要的意义。比如，到超市去买牛奶的时候，一共花费26.8元，购买9袋，每袋的价格是多少，这时就需要购买者进行估算。在估算的时候，可以将26.8接近成27，得出每袋的价格。在应用这种思想进行估算的时候，能够使学生对数的关系有更深的理解。（三）有利于促进小学生数学思维的发展估算的益处指的是在估算的过程中通过多种方法来将最终的结果估算出来。在此过程中，小学生会掌握更多的算法。在教学过程中，只是将最终的结果控制在估算范围之中，这会为学生提供更大的思考空间，通过多种方式得到最终结果。在学生思考的过程中，他们的思维能够得到有效发展，在学生今后的学习和工作中都是非常重要的。二、小学数学估算教学的策略（一）培养估算意识，重视估算教学在目前的小学数学教学中，估算教学之所以出现了滞后的情况，与估算教学并不是很受重视有非常密切的关系。现阶段，很多小学数学教师并没有认识到开展估算教学对于提高学生的数学能力会产生的价值，学生自身也没有很强的估算意识。所以，为了使估算教学的现状发生改变，学校应该对估算教学给予更多的重视，教师也要对估算教学在教学结构中的位置有清晰的认知。估算能力不但是学生在今后的生活中不可或缺的一种能力，同时也是一种非常重要的数学思维[2]。数学这门科目与现实生活之间的联系是非常密切的，对学生估算能力的培养能够使学生的估算意识得以提高，还能够让学生更好的运用所学的知识去解决生活中的实际问题。在开展估算教学时，教师应该将教学内容和学生的实际生活结合起来，用学生比较感兴趣的例子来作为数学教学素材，将学生的注意力有效的吸引到课堂上。比如，教师可以让学生根据自己家墙与墙的距离对自己家的面积进行估算。在这个过程中，学生可以感受到更多的学习乐趣，还能够让学生在学习过

18题-高考数学概率与统计知识点

高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ k n k k n p p C --)1(. 其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结

的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++2 1 P P (1) ②常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布 n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ ，其中n 、p 为参数，并记：) ,;(p n k b q p C k n k k n =- . （2）几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机

浅谈小学数学估算教学

浅谈小学数学估算教学所谓估算，是指在计算、测量数（量）时无法也没有必要进行精确计算或测量，在精确计算或测量的前后所采取的计算方法，是对数量关系做合理的大概推断。估算不仅应用于某些数字的运算、长度的测量，还应用于几何形状，物品的重量、体积，冷热程度等方面。估算并不是近似计算，它是表示对人们所要得到的理想结果给出尽量接近的值或量。估算通常是要判断结果在哪个数或量的附近，或者确定一个范围。在小学阶段经常遇到的估算，大致可以分为三类：对大数目的粗略计算；对日常口算、笔算的验算；对现实生活中一些量的简单推算。《数学课程标准》指出：“估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。”因此，新课程特别强化了估算内容的教学，有关估算教学方法的探讨也一直没有停止。但是，在教学实践中，“估算教学难”的问題却一直在困扰着广大的一线教师。下面结合自己的教学实践，谈一些具体的想法。所谓估算，就是在一定的范围内对计算结果进行大致的估计。它的本质是在不要求准确值的情况下，在允许的范围内迅速地口算。《数学课程标准》对估算的教学在第一学段(1～3年级)和第二学段(4～6年级)都有具体的教学目标要求，即“能结合具体的情境进行估算，并解释估算的过程”；“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。可见，估算教学在新课程中的位置是重要的。二、估算的作用首先，估算可以培养学生的观察能力。估算习惯的养成是一个长期积累的过程，需要学生时时处处注意观察生活中的许多常量，如一间教室的面积、一枝铅笔的长度、一袋盐的重量等。这样长期下去就形成了生活的常识，有利于增强学生对周围事物的敏感性和主动捕捉信息的能力，从而促进他们观察力的提高。其次，估算有助于学生养成对计算结果的检验意识。学生在计算后，可以利用估算的方法判断计算结果的，减少不必要的失误。三、计算题的估算策略计算题的估算精确范围比较宽松。一般来讲，只要学生的估算方法合理，教师都应该给予肯定，也就是鼓励估算方法的多样化。但是笔者认为也有一个“优化”的问题，既然是估算，必然是采用口算的形式，越简单越好，越接近准确值越好。当然，学生在做题的过程中会遇到二者无法兼顾的情況，笔者更倾向于在口算的基础上越接近准确值越好。如78×89，把78看作80、89看作90来进行估算大约等于7200，这种方法最好；而把89看作100约等于7800的方法，则不提倡学生这样做。虽然都在允许的范围内，不存在错误与正确之分，但在这个时候教师应该优化估算的方法。四、解决问题的估算策略解决实际问题的估算要比计算题的估算复杂得多。如：“一个足球29元，一个篮球32元，李明带了280元，估计最多能买几个足球?如果都买篮球，估计最多能买几个篮球?”第一个问题，按照常规的估算方法可以解决，即把要买的商品的单价估大一些、也就是29看作30，280÷29≈9(个)，通过验证是正确的。而第二个问题，280÷32，学生就遇到麻烦了，把32看作40大约等于7个，把32看作30大约等于9个，而正确答案应该是最多能买8个。所以像这样的题目，答案是唯一的，不妨让学生笔算，商是几最多就能买几个。

概率与统计高考数学

辅导讲义：概率与统计一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量：总体：在统计中，所有考察对象的全体。个体：总体中的每一个考察对象。样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n

(3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点：它的总体个数有限的；它是逐个地进行抽取；它是一种不放回抽样；它是一种等概率抽样． 10、系统抽样：将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤：（1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。（2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；（4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，，的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法有限性