探索多边形的内角和与外角和(一) - 教学设计

《北师大版实验教科书八年级上册》

4.6探索多边形的内角和与外角和(1)

教学目标

(一)教学知识点：

1.理解多边形及正多边形的定义.

2.掌握多边形的内角和公式.

(二)能力训练要求

1.经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

2.探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.

(三)情感与价值观要求

经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系

教学重点：多边形的内角和.

教学难点：探索多边形的内角和公式过程.

教具准备：多媒体课件、三角尺、剪刀、正方形只纸片。

教学过程：

一．.巧设情景问题，引入课题：

引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？

提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导。（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）

二.讲授新课

1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.

把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形.

多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.

如图

多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。

好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题(出示投影片§4.7.1A)(课本P108的图)

(1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流.

(2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？

(3)还有其他的方法吗？

(学生讨论、画图、归纳自己的方法)

在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.

请同学们完成课本的“想一想”。（学生画图，归纳，猜想）

（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n －3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°）

大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？

（必须是大于3的自然数.）

同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°）

请同学们“想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？

1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形.

2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形.

下面大家想一想，议一议：

1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？

2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？

3.正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？

1．.如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.

2．一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等.

3．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为(n －2)·180°,所以，正n 边形的每个内角为：n

n )2(-·180°. 因此，正三角形的内角是：?=??-603

180)23(；正方形的内角是：4

)24(-·180°=90° 正五边形的内角是：

正六边形的内角是：；正八边形的内角是：

三．知识运用：

例1：一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为

例2：一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？

四.课堂练习

(一)课本“随堂练习”

1.如下图.

(1)作多边形所有过顶点A 的对角线，并分别用字母表示出来.

(2)求这个多边形的内角和.

解：(1)如下图：过顶点A 的对角线是AC 、AD 、AE

(2)从(1)图中可知：这个六边形被过顶点A 的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为180°×4=720°.

也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：(6－2)×180°=720°

五.课时小结

本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式. 即：n 边形的内角和等于(n －2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.

六．.课后作业：课本习题4.11 1、2、3

板书设计：

《北师大版实验教科书八年级上册》

4.6 探索多边形的内角和（1）

一、教学目标

1、知识与技能

（1）经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主

探索多边形内角和

多边形的定义及相

关概念：探索多边形内角和的方法及过程：

（n-2）×180° 正多边形的定义及性质：正多边形的每一个内角

的度数：n n )2( ·180°.

例题讲解：

动探究的习惯；

（2）探索并了解多边形的内角和公式及正多边形的特点，进一步发展学生的说理和简单推理意识及能力；

2、过程与方法

通过探索多边形内角和公式的过程，让学生了解化归，从特殊到一般的基本数学思想方法；

3、情感与态度

体会数学与现实生活的紧密联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心，从探究活动中，体验合作学习的快乐。

二、教材分析

新教材从呈现顺序来看是在学生全面学习了平行四边形、梯形之后才来研究多边形内角和公式，这实际上是对前面所学几何图形进行归纳、总结、实践应用，提高了学生的认识，起到升华的作用；同时这样的教学顺序使学生在知识方面准备比较充分，在推理能力与作图能力方面有了较好的训练。

新教材是把“让学生经历探索多边形内角和公式这一过程”作为本节课的主要内容，这样不单单是为了获得“多边形内角和公式”，更主要是想通过这一过程提供给学生从事观察、猜测、推理、探究和归纳等活动的机会，让学生感受数学的研究过程，获得数学活动的经验，而相应地淡化了对公式的应用。另外，新教材还增加了正多边形的有关概念，把正多边形作为多边形的一个补充，这使多边形的知识模型更趋于完整，同时也使学生的认识得到深化。这样看来，新教材更注重通过数学思维活动过程，使学生在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

三、学校与学生情况分析

我校是一所普通的初级中学，学校位于城乡交界处，部分学生来自农村，因此学生的家庭经济状况、学习环境、学习习惯、学习基础、学习兴趣等差别较大。考虑到这些，我在设计这节课时，尽量从学生实际生活中的问题入手，以引起学生的兴趣，并为不同

多边形的内角和与外角和

6．4多边形的内角和与外角和 1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点) 一、情境导入多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步．提出问题： (1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？ (3)你会求这个多边形的内角和吗？导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂．二、合作探究探究点一：多边形的内角和定理【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是() A．四边形B．五边形 C．六边形D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B. 方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为() A．1620°B．1800° C．1980°D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D. 方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多

边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝() A．450°B．540° C．630°D．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，故选B. 方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围．探究点二：多边形的外角和定理【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正() A．八边形B．九边形 C．十边形D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C. 方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是() A．五边形B．四边形 C．三角形D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C. 方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系

多边形的内角和与外角和知识点-例题-习题

第二十四讲多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n -； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n -g °；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n °； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形

探索多边形的内角和与外角和

探索多边形的内角和与外角和一、内容综述：多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 n边形的内角和=(n-2)·180°。任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关； (2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。二、例题分析：例1．(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？ (3)几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？ (4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数．分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。解：（1）（22-2）×180°=3600° 3600°÷22=（）° 180°-（）°=（）° （2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍则（n-2）×180°=2×（8-2）×180° n=14 （3）设n边形的内角和是2160° 则（n-2）×180°=2160°

n=14 设n边形内角和为1000°，则（n-2）×180°=1000° 因为n不是整数，不符合题意。所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000° (4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。根据题意得：（n-2）×180°=2×360°，n=6 例2．(1)已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数； (2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系解：（1）因为多边形的每个内角都是135°，所以它的每一个外角都是45°， 360°÷45°=8，这个多边形是8边形。（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角，所以：x+ 9x=180° x=18° 因为多边形的外角和为360°，所以360°÷18°=20，此多边形为20边形。例3．(1)某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数． (2)已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？解：（1）因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°，所以设这个多边形的边数为n， 2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180° 因为n为整数，所以n=18。（2）解：因为n边形恰有四个内角是钝角，所以n边形恰有四个外角是锐角，由于n边形个外角和是360°，所以外角中最多有3个钝角， ①若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；

多边形的面积复习课教学设计

《多边形的面积》复习课教学设计宝坻区刘辛庄小学李明媚教学目标： 1、进一步理解并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，能应用公式计算这些图形的面积，并解决一些简单的实际问题。 2、通过回忆、交流，将“多边形的面积”这个单元所学知识进行系统复习，形成完整的知识体系；结合练习，加深对所学知识的理解，提高应用所学知识解决实际问题的能力。 3、感受复习的必要性与重要性，逐步形成自己整理所学知识的意识和良好的学习习惯。教学重点：归纳整理本单元所学的面积计算公式。教学难点：能正确应用这些面积公式解决实际问题。教具、学具：平行四边形、梯形、三角形、长方形图片；长方形框架一个，三角板；多媒体课件；作业纸等。设计思路：本课采用先整理后练习的教学模式，指导思想是发挥学生的主体作用，引导学生自主学习。《数学课程标准》指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式；学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。本课在回忆——整理——应用的教学环节中，

通过教师引导和点拨，调动学生参与复习的积极性，发挥学生的主动性，从而达到运用所学知识正确、熟练解决实际问题的能力。教学流程：一、回忆旧知，导入新课 1、学生说出本单元学过的图形。 2、回忆平行四边形、三角形、梯形的面积公式，以及推导过程。 [设计意图：启发学生回忆学过的知识，使头脑重现表象，建立空间观念，为整理和复习做好准备，使教学活动建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础之上。] 二、梳理知识，形成体系（一）小组合作，梳理知识 1、教师提出合作要求：把同学们想到的本单元知识互相交流，组长负责有条理地记录。学生合作交流。思路提示：（1）本单元学过哪些图形？（2）这些面积公式是什么？它们是怎样推导出来的？ 2、学生汇报交流，及时评价（二）师生共同完善知识结构 1、（出示平行四边形），把平行四边形转化成长方形，由长方形的面积S=ab推导出S=ah。 2、（出示三角形），把三角形转化成平行四边形（或长方形），由平行四边形面积S=ah（或长方形面积S=ab）推导出S= ah÷2。

多边形内角和与外角和(提高)知识讲解

多边形内角和与外角和（提高）知识讲解【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形凹多边形

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n g° ；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念 1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。【答案】220° 【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C.

多边形教学设计(1)

16.1多边形一、教材分析本节内容是在第一学期学完三角形基础上进一步学习的，是三角形内角和公式的延伸与拓展。内容分三部分：（1）多边形的有关概念（2）多边形内角和公式的探索（3）多边形内角和公式的简单运用，其中多边形内角和公式的推导既是重点又是难点。教学时应注意引导学生合理分割多边形，将它转化为若干个三角形或三角形和四边形的组合，用这些熟悉图形的知识和性质来解决多边形的问题。二、学情分析因为有三角形的知识作基础，所以学生通过教师的引导和自己的努力可以探究出多边形的内角和；但对于“转化思想”，学生缺少这种思想，学生基础也不够好，对学生个体而言，思维的广阔性和发散性也肯定不够。三、设计理念创设问题情境，感受生活中的数学；设计开放性的问题及问题串，培养学生的问题意识，激起学生的主动探索；组织探究，让学生体会转化思想的魅力；同时加强师生、生生间的合作交流，培养学生积极思考的精神，让不同的学生在数学上得到不同的发展。四、教具：尺子、自制四边形教具五、设计说明 1．本节分成三课时分别介绍教学目标、教学过程。本课设计时我努力要求自己真正成为教学的组织者、引导者，努力为学生营造良好的学习氛围，让学生在一个充满问题的氛围中探索求知，设计一系列的问题串，以激活学生的思维，变“要我学”为“我要学”，让学生带着问题进课堂，最后带着新问题走出课堂，更有利于发挥学生的学习积极性、主动性与创造性。 2．探究时要努力调动起学生探究的意识，并给予学生时间和空间，通过自主和合作让思维碰撞，从而产生出各种思维，进行充满激情的学习活动。同时适时运用鼓励、表扬与引导，让学生的探究与研究得到升华。通过数学课，也想让学生明白：数学的奥秘很深，你若不研究它，会感到无比枯燥：你若研究它，则会觉得趣味无穷，这样才能真正体验学习数学的快乐。 16.1.1多边形一、教学目标： 1．了解多边形、正多边形、多边形的对角线、内角和、外角和等概念；初步掌握多边形内角和公式，会运用多边形内角和进行相关计算。 2．经历把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题的过程，体会转化思想在几何中的应用，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法； 3、通过猜想探究等数学活动培养学生学习数学的方法，感受数学充满着探索，提高学生学习数学的热情；通过师生合作，生生合作体验合作的快乐和学习数学的快乐。

《多边形的内角和与外角和》教案

《多边形的内角和与外角和》教案第1课时教学目标 (一)教学知识点： 1．理解多边形的定义． 2．掌握多边形的内角和公式． (二)能力训练要求 1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力． (三)情感与价值观要求经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系．教学重难点教学重点：多边形的内角和．教学难点：探索多边形的内角和公式过程．教学过程：一．巧设情景问题，引入课题：引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导．(学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形) 二．讲授新课 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))，图(1)的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形．

多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．如图(3) 多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似．可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA．好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题． (1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流． (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和．你知道他们是怎么做的吗？ (3)还有其他的方法吗？ (学生讨论、画图、归纳自己的方法) 在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形．进而求出内角和，这种由未知转化为已知的思想在数学中经常用到． (从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n －3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°)

《多边形工具》教学设计

第一单元第六课《多边形工具》平岗小学陈凡有【教学目标】： 1、知识与技能：认识了解各种样式的多边形；掌握多边形工具的使用方法，能用多边形工具画出多边形图案。 2、过程与方法：让学生通过阅读理解，自主探究，合作交流，动手实践等过程方法，获取新知，掌握技能。 3、情感态度与价值观：在学习的过程中，让学生感受自主探究的乐趣，合作学习的快乐，善于发现生活中的美，创造生活中的美，培养学生的审美情趣与能力。【教学重点】：掌握多边形工具的使用方法【教学难点】：用多边形工具画出美丽的多边形图案【课时】：1课时【教学过程】：一、激情导入师：同学们，上课之前老师想考考你们，谁知道我们国家叫什么名字？（生争先恐后地回答：中华人民共和国！）师：真棒！那么我们国家的国旗是什么？（五星红旗！）师：很好！课件出示五星红旗：

看着这面鲜艳的五星红旗，同学们有没有把她画下来的想法和冲动？生：有！（异口同声）老师也有和你们一样的想法，但是老师只会画那个长方形，五角星不会画怎么办呢？谁能教教老师？（学生沉默）好！这节课我们就来学习第一单元第六课师板书课题《多边形工具》看了课题，你有什么疑问，想知道哪些知识？（生提出问题）（预设：1、什么是多边形工具？ 2、多边形工具怎样使用？……）二、积极探索同学们提的问题很有价值，也很有深度。老师对它们进行了梳理和归纳，整理成了探究提示（课件出示）：

找学生读题，明确问题要求。（寻找一些平时不善于动脑，不愿意回答问题的学生读题。通过读题让这些学生也积极参与到课堂学习中来，让他们觉得自己也是课堂的小主人，自己也回答上问题。）师：问题我们清楚了，接下来让我们带着问题，一起探究教材13页——15页的内容吧。（学生自主探究：边看书学习，边在电脑上动手操作。培养学生的自主学习能力）自主学习10分钟后师：现在小组合作交流学习。要求：学习好的同学帮助学习差的同学；学习差的同学要主动向好同学虚心请教。发扬同学间团结友爱互助的精神。教师组间巡视，适时点拨指导。三、展示风采师：刚才同学们自主探究地非常认真，合作交流地十分愉快，每个同学脸上都洋溢着收获的笑容，接下来让我们把探究的成果展现出来吧！（学生听老师表扬他们，个个心里美滋滋的）师：第1题哪个小组来回报？生1：我们来！生2：我们来！声我们来回报！（因为题简单，所以每个小组竞相举手汇报）师：说得真好！师：第2题谁来说？（生1：我来答！生2：我来答！生3：我来答！）点名急得满脸通红的孩子回答问题。（如果咱不让他回答问题，那个孩子就得急哭）师：他说得对吗？好！给他掌声鼓励。（课件出示答案）

9.2多边形的内角和与外角和(1)

9.2多边形的内角和与外角和(1)(学案) 学习目标: 1.理解多边形及正多边形的定义. 2.掌握多边形的内角和公式. 课堂研讨：（一）认识多边形 1、多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①不在同一条直线上；②首尾顺次相连，二者缺一不可. 多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图. 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形. 2、认识多边形的边、内角、顶点、对角；如线图（3）。 3、五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？n 边形呢？（二）探索多边形的内角和活动1：从多边形的一个顶点引对角线来探索多边形的内角和边数图形从某顶点出发的对角线条数划分成的三角形个数多边形的内角和 3 0 1 1×180° 4 1 2 2×180° 5 6 … … … … … n

总结：多边形的内角和公式（n≥3）巩固练习 1、求一个八边形的内角和？ 2、已知一个多边形的内角和为1800°，那么这是个几边形？（三）正多边形定义：在平面内，各内角都、各边也都的多边形叫做正多边形。议一议：（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？结论：、两者缺一不可。（四）随堂练习 1、n边形的内角和等于__________，九边形的内角和等于___________。 2、如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是边形。 3、已知多边形的每个内角都等于150°，求这个多边形的边数？ 4、一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A:360° B:540° C:720° D:900° 5.一个正多边形其周长为96，且内角和为1800°则这个多边形的边长为。（五）小结：本节课你有哪些收获？你能确定多边形的对角线的条数吗？教学反思：

多边形的性质教学设计

基本信息课题八年级数学下第四章第八节：相似多边形的性质（1）作者及工作单位郭少媛西安市第十九中学教材分析本节课是北师大版八年级数学下册第四章第八节第一课时的内容，此部分是初中数学的重要内容之一，是在学习了相似三角形、相似多边形的基础上，对相似三角形性质的进一步深入与拓展。相似多边形可看作是相似三角形的拓广，相似多边形的性质研究也可看成是对相似三角形性质的进一步拓展研究。另外此节又为下节学习相似多边形的性质等知识奠定了基础，还是今后研究圆中线段关系的有效工具。从新课程对几何部分的编写来看，几何知识的结论较之老教材已经大为减少，教材首要关注的不是掌握多少几何知识的结论，相对更重视的是对学生合情推理能力的训练与培养。从这个角度上说，教材只是将相似多边形的性质作为训练学生合情推理的一个有效素材而已，正因为此，本节课应重视学生有条理的思考及有条理的表达。

学情分析从认知状况来说：从七年级到现在，全等三角形，相似三角形等知识板块的探究等活动学生已经经历了一些平面图的认识与探究活动，让学生初步积累了一定的合情推理的经验与能力，感受到了数学的实际价值，同时在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。对相似多边形的性质的结论，在本内容前面的几小节中又学习了线段的比、相似三角形的性质等概念，具备了学习相似多边形性质的基础技能，对相似三角形性质已有初步的认识和了解，学生是有生活经验与直观感受的，所以本节课要充分尊重学生已有的生活经验的基础上展开富有成效的设计。从心理特征来说，初中八年级的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬。所以我认真创设教学情境，实施分组教学，让学生以小组为单位，让学生来主动探究，从而激发学生的的学习兴趣，培养学生的逻辑分析能力，让学生感受到数学的美。

(完整版)多边形的内角和与外角和练习题及其答案

多边形的内角和与外角和 ?基础巩固题一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.

15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数. ? 强化提高题 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的 23 , 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. E F D B C A

多边形的内角和教学设计

7．3．2 多边形的内角和【课题】：多边形的内角和【学情分析】：特色班学生通过前面几节课对三角形相关知识的学习，已经对几何图形的识别、几何符号语言的使用及几何推理方法有一定的认识。特色班的学生有较高的学习水平与较好的思维能力，学习数学兴趣浓厚，喜欢有挑战性的任务，喜欢钻研一题多解。对于特色班的学生来讲，放手让他们自己来探究多边形的内角和、外角和，更富有挑战性、趣味性，也更能培养学生思维的灵活性。【教学目标】：（1）探究多边形的内角和的规律，引导学生感悟形与数之间的转化；（2）掌握多边形内角和公式并学会基本的运用；（3）探究多边形的外角和公式，并利用此公式解决一些简单的计算；（3）感受化归的数学方法。【教学重点】：探究多边形内角和公式、外角和公式，运用这两个公式进行计算。【教学难点】：多边形内角和公式、外角和公式的探究与归纳。【教学突破点】：1、通过将多边形划分三角形并填表记录相关数据，以数形结合的方法导出多边形的内角和；2、用小汽车转圈的动画引出多边形外角和激发学生的学习兴趣，再引导学生从特殊到一般，从具体到抽象地利用列举法及几何推理方法探索多边形的外角和规律，体会化未知为已知的转化思想。【教法、学法设计】：教法：讲授法，举例法；学法：观察、讨论、推理、探索【课前准备】：有关课件，学生准备计算器。【教学过程设计】：

四、探究新知2、探究多边形的外角和：其它多边形的外角和又是多少度呢？（1）课件动画演示：汽车转圈——多边形外角和实例演示（2）n边形的有个内角，个外角，因此，n边形的所有内角与外角的和等于多少度？根据所提供的例子填表，并观察表中数据的规律：多边形的边数 3 4 5 6 7 …n 多边形的内角与外角的总和 3×180°=540°… 多边形的内角和 180°… 多边形的外角和 540°-180° =360° … ①组织学生分组完成填表、讨论、交流，教师巡回指导； ②请学生板演完成推理过程，教师点评，验证n边形的外角和为: n·180°-(n-2)·180° = n·180°-n·180°+360° = 360°； ③归纳：多边形外角和=360°。 ④思考：多边形的外角和与多边形的边数有关吗？内角和呢？改变多边形的形状，它的外角和会改变吗？内角和呢？ 1、通过动画课件，激疑引趣，导出本课课题，激发学生的求知欲。 2、结合图形，引导学生学会抓住图形的特征来思考问题，将未知转化为已知，加强学生的知识迁移能力和探索能力。 3、引导学生从特殊到一般，从具体到抽象地利用列举法及几何推理方法探索多边形的外角和规律，体会化未知为已知的转化思想。 4、引导学生归纳：多边形的内角和是一个变量，与多边形的边数有关，但与多边形的具体形状无关；而多边形的外角和是一个常量，与多边形的边数及形状都无关。五、巩固新知【小比赛：看谁算得快！】若一个多边形的每个内角都是108°，则这个多边形的边数是。解法1：设它是n边形，则有：n×180°=（n-2）×180°，解得n=5 解法2：360°÷（180°-108°）=5 【基础练习】 1、如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是。 2、正八边形的内角和为，外角和为，每个内角度数为，每个外角度数为。 3、已知多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为。【尝试练习】课本P85、P86#“练习”1、2、3 基础题型训练，巩固学生对基础知识的掌握。

多边形教学设计

多边形【课时安排】 2课时【第一课时】【教学目标】（一）知识与技能：经历探索多边形的内角和公式的过程；会应用公式解决问题，培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力。（二）过程与方法：经历探索多边形的内角和公式的过程。进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系，探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。（三）情感态度与价值观： 1．经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯； 2．培养学生勇于实践、大胆创新的精神，使学生认识到数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点。【教学重难点】 1．重点：经历探索多边形的内角和公式的过程。 2．难点：推导多边形的内角和公式，灵活运用公式解决简单的实际问题。【教学过程】一、复习提问（一）什么叫三角形？（二）三角形的内角和是多少？（三）什么叫三角形的外角？什么叫外角和？三角形的外角和是多少？二、探究发现，认识新知（一）多边形的概念：三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但习惯称三角形）。我们

ABCDEF的对角线。 8.3.3 ）四边形有几条对角线？（两条AC、BD））五边形有几条对角线？

（2）12 三、巩固练习课本后面练习。四、课堂小结本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为（n-2）·180°，它揭示了多边形内角和与边数之间的关系。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。【第二课时】【教学目标】（一）知识与技能： 1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角； 2．掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题。（二）过程与方法： 1．经历探索多边形的外角和公式的过程。进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系； 2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。（三）情感态度与价值观：经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯，通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系。【教学重难点】多边形的外角和公式及其应用。【教学过程】（一）创设情景、导入新课： 1．小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步。（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们。（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）在下图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？ 2．下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1、∠β=∠2、∠γ=∠3、∠δ=∠4、∠θ=∠5。

多边形内角和与外角和知识总结及相应例题

多边形内角和与外角和知识总结及相应例题一、内容综述：多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 n边形的内角和=(n-2)·180°。任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关； (2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。二、例题分析：例1、(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？ (3)几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？ (4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数．分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。解：（1）（22-2）×180°=3600° 3600°÷22=（）° 180°-（）°=（）° （2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍则（n-2）×180°=2×（8-2）×180°

n=14 （3）设n边形的内角和是2160° 则（n-2）×180°=2160° n=14 设n边形内角和为1000°，则（n-2）×180°=1000° 因为n不是整数，不符合题意。所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000° (4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。根据题意得：（n-2）×180°=2×360°，n=6 例2、(1)已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数； (2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系解：（1）因为多边形的每个内角都是135°，所以它的每一个外角都是45°， 360°÷45°=8，这个多边形是8边形。（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角，所以：x+ 9x=180° x=18° 因为多边形的外角和为360°，所以360°÷18°=20，此多边形为20边形。例3、(1)某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数． (2)已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？解：（1）因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°，所以设这个多边形的边数为n，

多边形内角和与外角和的几个应用

多边形内角和与外角和的几个应用 1．已知边数求内角和与内角度数．例1．(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？分析： ①引导学生利用方程的思想，要根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解． ②灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算．解:⑴根据n边形的内角和度数(n-2)·180°，得 (22-2)·180°=3600° 由于多边形的外角和度数为360°，所以360180 2211 = o o ． ⑵设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，得 (n-2)·180°=2×(8-2)×180° ∴n=14 答: 14边形的内角和是八边形内角和的2倍． 2．已知内角和求边数．例2．⑴几边形的内角和是2160?？是否存在一个多边形的内角和为1000?？⑵已知一个多边形，它的内角等于外角的2倍，求边数．分析: ①对于利用多边形内角和公式反求边数的题目，需注意：只有求出的边数n是大于2的正整数时，问题才有解； ③灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算．解: 设该多边形为n边形，依题意得 (n-2)·180°=2160° ∴n=14 不存在这样的多边形，理由如下: 假设存在这样的n边形，依题意得 (n-2)·180°=1000°

∴ n =689 ∵ 多边形的边数为正整数 ∴不存在这样的多边形． 3．已知各相等内角与外角度数求多边形边数例3． ⑴ 已知多边形的每个内角都是135?，求这个多边形的边数； ⑵ 每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数．分析： ① 每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为(2)180n n -?o ，每个外角为360n o ，利用这两点就可以列出关于边数n 的方程，其中第二种方法较为简单． ② 对于第(1)题，可将“每个内角都135?”转化为“每个外角都是45?”，从而利用360n o =45?，得出n 的值为8． ③ 若设边数为n ，则方程为(2)180n n -?o =9?n ο 360，得出n =20．解: ⑴ ∵ 多边形的每个内角都是135?， ∴ 它的每个外角度数为45?．根据多边形外角度数为360? ∴ n =36045 o o =8 ∴ 这个多边形的边数为8． ⑵ 设该多边形的边树为n ，依题意得 (2)180n n -?o =9?n ο 360，∴ n =20．