河南理工大往年概率论试题

河南理工大学

概率论往年试题 及详细答案

河南理工大学 2010-2011 学年第 一 学期

《概率论与数理统计》试卷（A 卷）

1、对于任意两个事件A 和B ,则有（ ）．

A. 若AB ≠?,则,A B 一定独立；

B. 若AB ≠?,则,A B 有可能独立；

C. 若AB =?,则,A B 一定独立； D ．若AB =?,则,A B 一定不独立．

2、设12(),()F x F x 都是随机变量的分布函数，12(),()f x f x 是相应的概率密度，则（ ）． A. 12()()F x F x 是分布函数； B. 12()()f x f x +是概率密度； C. 12()()f x f x 是概率密度； D. 12()()F x F x +是分布函数．

一、选择题（本题20分，每题4分）

3、设随机变量X 和Y 相互独立且~(32)~(4,8)X N Y N ，，,则（ ）

． A. 1(5)2P X Y +≤=

； B. 1

(3)2P X Y +≤=； C. 1(1)2P X Y -≤-=； D. 1

(1)2

P X Y -≤=．

4、设1,,n X X 是总体X 的一个样本，

且()E X μ=已知，()D X 未知，则（ ）是()D X 的无偏估计量.

A ． 22

1211()()22X X μμ---； B ．121

1()1-=--∑n i i X X n ； C ．2

11()n i i X X n =-∑ ； D ．21

1()1n i i X X n =--∑． 5、设随机变量X ,Y 都服从标准正态分布，则（ ）. A ． X Y +服从正态分布； B ．22X Y +服从2χ分布； C ．22X Y 和都服从2χ分布； D ．22X Y 服从F 分布．

1、设()0.5P A =，()0.6P B =，()0.8P B A =，则()P A B =________．

2、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

6,01,

(,)0,

x x y f x y ≤≤≤?=?

?其他.，则(1)P X Y +≤=________．

3、设X 是随机变量，

2)(,)(σμ==X D X E ，有切比雪夫不等式{4}P X μσ-<≥_______. 4、设22~(10)χχ，则有2()E χ＝________．

5、若0，2，2，3，2，3是均匀分布总体Ｕ(0,θ)的观测值,则θ的矩估计值是________．

二、填空题（本题20分，每题4分）

,,n X 是取自总体,n x 为一相应的样本值的概率密度为

河南理工大学 2010-2011 学年第 一 学期

《概率论与数理统计试卷》（A 卷）答案及评分标准

一、 选择题（共20分 每题4分）（1）B, (2) A,（3）C, (4) D （5） C 二、填空题（共20分 每题4分）（1）0.3,（2）14, （3）1516

, （4）10，（5）4. 三、（10分）

解： 以H 表示事件“从第一箱取出一个白球”，以B 表示事件“从第二箱中取出一个白球”，

由已知条件可得

32

(),(),()59,()49,55

====P H P H P B H P B H 由全概率公式可得

()()()()()=+P B P B H P H P B H P H 35245959=?+?23

45

=

需要求的是().P H B 由贝叶斯公式可得

()()

()()()()()

=

+P B H P H P H B P B H P H P B H P H 3559

3592549?=

?+?1523

=

四、（10分）

解：因为,X Y 相互独立，且Z X Y =+，所以

()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞

-∞

=-?

，欲使()()0X Y f x f z x ->，当且仅当 01,0x z x ≤≤->，

既 01,x z x ≤≤>.

(1) 当0z <时，由于()()0X Y f x f z x -=，故()0Z f z =，

(2) 当01z ≤<时，()0

()1z

z x z Z f z e dx e ---==-?

，

． (3) 当1z ≥时，1

()

()(1)z x z Z f z e

dx e e ---==-?

综上所述得

0,

0,()1,

01,(1), 1.

z Z z z f z e z e e z --

=-≤

五、（10分）

解： 各数学期望均可以按照[(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞

-∞-∞

=

??

计算。因为(,)f x y 仅在有限区

域:,01G y x x <<<内不为0，故各数学期望均化为G 上相应的积分

10

2

()(,)3

x

x G

E X xf x y dxdy xdx dy -===

????10

()(,)x

x

G

E Y yf x y dxdy dx ydy -==????=

1

00

=?dx 1

1

()(,)00

-===?=?????x

x

G

E XY xyf x y dxdy xdx ydy x dx

(,)()()()000Cov X Y E XY E X E Y =-=-=12220

1()(,)2

x

x

G

E X x f x y dxdy x dx dy -===

???? 1

2

2

2

01

()(,)6x

x G

E Y y f x y dxdy dx y dy -===

????()

2

2

2

121

()()()2318

D X

E X E X ??=-=-= ???()2

211()()()066

D Y

E Y E Y =-=

-= ()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++112

1869

=+=

六、（10分）

解：设箱中第i 袋味精的净重为i X 克.,1,2,

200i X i =是相互独立同分布的随机变量序列，且

()100,()100,1,2,

200.

i i E X D X i ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 由中心极限定理可知 200

1

i

i X

=∑近似服从(200100,200100)N ?? 即

200

1

i

i X

=∑近似服从(20000,20000)N

所以

2002001120400120400i i i i P X P X ==????

>=-≤????????

∑∑

200200001i X P ??

-??=-≤????

∑ 1(2.83)≈-Φ10.99770.0023.=-=

七、（10分）

解：因为????

??∈=-)

1,0(,0)1,0(,),(1

x x x x f θθθ似然函数 1

()(,)θθ==∏n

i i L f x ，

1

12()

,

(0,1)1,2,

0,θ-?∈=?

=?

??

n n

i x x x x i n

其他

仅考虑()0θ>L 的情况

对数似然函数1

ln ()ln 1)ln 2θθ==+∑n

i

i n

L x

0)(ln =θθL d d ，即ln 02θ+=∑n

i x n 解得 221ln θ-=??

???∑n i i n x 又因为 22ln ()0θθ

21ln θ-=??

???

∑n i i n X 于是求得最大似然估计量 2

12

ln ??

?

??=

∑

-n

i i L X n θ

八、（10分）

(1)t n -所以 有22(1)(1)1P t n t n αα

α??--<

<-=- ???

即有(

)

22(1)(1)1P X n X n ααμ

α--<<+-=

-

即得μ的一个置信水平为1α-的置信区间为

()

22(1),(1)X n X n αα--+-

今0.0259,10.95,20.025,(8) 2.306,6,0.574n t x s αα=-=====且

即得μ的一个置信水平为0.95的置信区间为0.0250.574

(6(8))(5.558,6.442)3

t ±

=

河南理工大学 2010-2011 学年第 二 学期

《概率论与数理统计》试卷（A 卷）

1、设A 和B 为不相容事件,且()0,()0P A P B >>。则下列结论中正确的是（ ）． A.(|)0P B A > B. (|)()P A B P A = C ．(|)0P A B =； D ．()()()P AB P A P B =．

2、若X 服从[0,1]上的均匀分布，21Y X =+，则下列选项正确的是（ ）． A.Y 服从[0,1]上的均匀分布； B.{01}1P Y ≤≤=； C.Y 服从[1,3]上的均匀分布； D.{01}0.5P Y ≤≤=．

3、129,,

X X X 相互独立，()1i E X =，()1i D X =，则对任意给定的0ε>，有（ ）

． A.9

21{|1|}1i i P X εε-=-<≥-∑； B.92

1

1{|

1|}19i

i P X εε-=-<≥-∑； C. 9

21{|9|}1i i P X εε-=-<≥-∑； D. 9

21{|9|}19i i P X εε-=-<≥-∑．

4、设01~(,)X N ，11n i i X X n ==∑，2

21

1()1n i i S X X n ==--∑，则服从自由度为(1)n -的2χ分布的随机变量是（ ）．

A ，21n

i i X =∑； B ．2S ； C ．2

(1)n X -； D ．2(1)n S -．

5、设随机变量X 的概率密度()f x 是偶函数，()F x 是X 的分布函数，则对于任意实数a ，有（ ）.

A ．()2()1F a F a -=-；

B ．0()0.5()a

F a f x dx -=-?；

()F a ； D ．0

()1()a

F a f x dx -=-?． 一、选择题（每题只有一个正确答案）（本题20分，每题4分）

二、填空题（本题20分，每题4分）

1、设随机变量X 和Y 相互独立且都服从01-分布，2{0}{0}3

P X P Y ====

， 1

{1}{1}3

P X P Y ====

，则()P X Y ==________． 2、设随机变量Y 是随机变量X 的线性函数，56Y X =+，()3D X =，则XY ρ=________． 3、若()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===。则()P A B =_________． 4、设1234,,,X X X X 是取自正态总体2~(0,2)X N 的简单随机样本，要使

22

21234(2)(34)(2)a X X b X X χ-++，则a =__________b =__________．

5、若0，2，2，3，2，3是均匀分布总体(0,)U θ的观测值, 则θ的矩估计值是________．

五、 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

()0,0.

(,)0x y e x y f x y -+?>>=?

?，，

其他 求随机变量Z Y X =-的分布函数和概率密度．

,,n X 是取自总体,n x 为一相应的样本值的概率密度为

河南理工大学 2010-2011 学年第 二 学期

《概率论与数理统计试卷》（A 卷）答案及评分标准

二、 选择题（共20分 每题4分）（1）C, (2) C, （3）D, (4) D, （5） B 二、填空题（共20分 每题4分）（1）59,（2）1, （3）0.3, （4）11

,20100

，（5）4.

三、（10分）

解： 设A ={先抽到的一份为女生表}，i B ={报名表是第i 区考生的}，1,2,3i =。 则i B 为一完备事件组，且123()()()13P B P B P B ===

又 123(|)

310,(|)715,(|)34

P A B P A B P A B ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 由全概率公式可得3

1

()()(|)i i

i P A P B P A B ==

∑ 137391

()310154180=++= 四、（10分）

解：（1）由于

22

1

1(,)

421x y f x y dxdy C cx ydxdy +∞+∞

-∞

-∞≤≤===

?

?

??，

从而 21

4

C =

， (2) ()(,)X f x f x y dy +∞-∞=?，

212

24

21,11,

40,

21(1),11,80,x x ydy x x x x ?-≤≤?=????--≤≤?=????其他.其他. (3) ()(,)Y f y f x y dx +∞-∞

=

?25221,01,40,7,01,20,x ydx y y y ?≤≤?=????≤≤?=???

其他.其他.

解： (){}{}(,)Z y x z

F z P Z z P Y X z f x y dxdy -≤=≤=-≤=??

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

当且仅当0,0x y >>时，(,)f x y 非零。 （1） 当0z <时， ()0

1

()(,)2x z

x y z Z z y x z

F z f x y dxdy dx e dy e +∞+-+--≤=

==????

．．．．．．．．． （2） 当0z ≥时， ()0

1

()(,)12

x z

x y z Z y x z

F z f x y dxdy dx e dy e +∞

+-+--≤=

==-????

．．．．．． （3） 综上有1,0,

2

()11,0.

2

z

Z z e z F z e z -?

?-≥??，从而有1,0,

2

()[()]1,0.

2

z

Z Z z e z f z F z e z -?

?≥??．．．．．．

（4）

（5） 六、（10分）

解：(,)f x y 的非零区域为{(,)|0201}D x y x y =≤≤≤≤，，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

21

11

()(,)39

D

x y E X xf x y dxdy xdx dy +===????

．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

1

2

2

2

16

()(,)39

D

x y E X x f x y dxdy x dx dy +===????

．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2

1

5

()(,)39

D x y

E Y yf x y dxdy y

dydx +===???

?

．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 21

2

2

2

7

()(,)318

D

x y E Y y f x y dxdy y dydx +===

???

?

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ()

2

2

2

161123

()()()9981

D X

E X E X ??=-=-=

???．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ()

2

2

27513

()()()189162

D Y

E Y E Y ??=-=-=

???．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、（10分）

解：设第i 次称量的结果为,1,2,,i X i n =.则(,0.04)i X N ω.1

1n

i i X X n ==∑.

从而 0.04

(),(E X D X ω== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

从而

{||0.1}}

.04P X ω

ω-<=．．．．．．．．．．．．．．．．．

(210.95=Φ-Φ=Φ->．

．．．．．．．．．．．．．．．． 即

)0.975Φ>，又 (1.96

)0.97Φ=，从而

1.96

>，即 15.36n >， 从而n 至少为16 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

八、（10分）

解：由题易得似然函数为 11,(,)0,

n

i

i x i n e x L μθμθμθ=--?∑?≥=???其他

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 仅考虑i x μ≥的情况

对数似然函数 1

ln (,)ln n

i i x L n μ

θμθθ

=-=--

∑

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

上式两端分别对θ和μ求偏导并令其等于0

21ln (,)

0(1)ln (,)0(2)n i i x L n L n μθμθθθθμμθ=-??=-+=???

?

??==???

∑．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 由（1）得 22

0n nx n θμ

θθ--

+=，从而 x θμ+=

当θ固定时，要使(,)L θμ最大，只需μ最大，但,1,2,.i x i n μ≤=??? 故 1min i i n

u X ≤≤=，若按从小到大重排1,2,.i X i n =???，得(1)(2)()n X X X ≤≤???≤

从而 (1)u X = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 进而有 (1)X u X X θ=-=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

姓名： 学号： ………封………………………………线…………………………

A.n p -1；

B.n p ；

C.n p )1(1--；

D.1)1()1(--+-n n p p n p ． 3、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，λλ-=

=e m m X P m

!

}{， ，，，

210=m ，且3=DX ，则=λ （ ）．

A.3；

B.31；

C.9；

D.9

1

．

4、设),(~2σμξN ，其中μ已知，2σ未知，321,,X X X 为其样本,下列各项不是统计量的是（ ）． A ．

()

23222

12

1

X X X

++σ

； B ．μ+1X ； C ．),,max(321X X X ； D ．321X X X ++．

5、设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X 的分布函数，则

=>)2004(X P （ ）.

)(A )2004(2F -； )(B 1)2004(2-F ； )(C )2004(21F -； )(D )]2004(1[2F -.

1、若X 为连续型随机变量，a 为任给定的一个实数，则()P X a ==________．

2、设随机变量)45.0(~，

N X ，且}{}{a X P a X P >=≤，则常数=a ________． 3、已知随机变量)31(~，

-N

X ，)12(~，N Y ，且X ，Y 相互独立，设随机变量92+-=Y X Z ，则=DZ _____________．

4、设X 是随机变量，2)(,)(σμ==X D X E ，有切比雪夫不等式≥<-}3{σμX P _______．

5、设()3D X =，31Y X =+，则XY ρ=________．

二、填空题（本题20分，每题4分）

五、 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

01,0 1.

(,)0Cx y x y f x y +<<<

?，，其他

（1）试确定常数C ；（2）Z X Y =+的概率密度．

河南理工大学 2009-2010 学年第 一 学期 《概率论与数理统计答案》试卷（A 卷）答案和评分标准

一、 选择题（共20分 每题4分）

（1）A, (2) D, （3）A, (4) A, （5） D

二、填空题（共20分 每题4分）

（1） 0 ,（2） 0.5 , （3） 13 , （4）

8

9

, （5） 1 三、（10分）

解： 以H 表示事件“从第一箱取零件”，则H 表示事件“从第二箱中取零件”由已知条件()()12P H P H ==.又以i A 表示事件“第i 次从箱中（不放回抽样）取得的是一等品”

， 1,2i =由条件11()15,()35,P A H P A H ==故

111()()()()()11031025P A P A H P H P A H P H =+=+= 需要求的是21().P A A

因12211()

()()

P A A P A A P A =

,而121212()()()()()P A A P A A H P H P A A H P H =+．．．．

又因为12121091817

(),()50493029

P A A H P A A H =

?=?，故有．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12211()()()P A A P A A P A =

=121211()()()()()

P A A H P H P A A H P H P A ??+??

51091181711951690

0.485625049230292449291421

????=

??+??=+=

≈ ? ?????．．．．．．．．．．．．． 四、（10分）

解：（1） 因为,Y X =故Y 不取负值。从而，若0y ≤，则()0;0,Y f y y =>若注意到(0,1)X N ,

故Y 的分布函数为

()()(0)(0)()()()

Y F y P Y y P Y y P X y P y X y y y =≤=<≤=<≤=-<≤=Φ-Φ-

从而，0y > 时，[

]21

2

()()()()y Y Y d d f y F y y y dy dy -==Φ-Φ-=

于是，Y X =

的概率密度为21

20()0y Y y f y -?>=?

其他

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

（2）因为2

21,Y X =+故Y 在[1,)+∞取值，从而1y <时()0Y f y =；若1y ≥，注意到(0,1)X

N ,

故Y

的分布函数为

2()()(21)((21Y F y P Y y P X y P X =≤=+≤=≤=Φ-Φ=Φ-．

故1y >

时(1)4(1)1()2122y y Y d f y dy ----??=

Φ-=?=??????

于是2

21Y X =+

的概率密度为(1)4

1()0y Y y f y -->=?

其他

．．．．．．．．．．．．

五、（10分）

解：（1）由于

11

1

1(,)(1)2

f x y dxdy dx Cx ydy C ∞

∞

-∞-∞

===+=

+?

?

?? 得1C = （2）由于()(,)Z Z X Y f z f x z x dx ∞

-∞

=+=

-?

，所以，.．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 当01

01x z x <

<-

01

1

x x z x <

<<+?时．．()0Z f z ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 当 20

01()z

Z z f z zdx z ≤<=

=?

， 当 11

12()(2)Z z z f z zdx z z -≤<==-?，

当 02()0Z z z f z <>=或， 综上所述 2,01

()(2),100,Z z z f z z z z ?≤

=-≤

其他

六、（10分）

解： 各数学期望均可以按照[(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞

-∞-∞

=

??

计算。因为(,)f x y 仅在有限区

域:,01G y x x <<<内不为0，故各数学期望均化为G 上相应的积分。．．．．

10

2

()(,)3x

x G

E X xf x y dxdy xdx dy -===

???? 10

()(,)x

x

G

E Y y f x y d x d y d x y d y

-==????

1

()(,)0x

x

G

E XY xyf x y dxdy xdx ydy -===????(,)()()()000Cov X Y E XY E X E Y =-=-=

七、（10分）

解：将总体(20,3)N 的

容量分别为10，15的两独立样本的均值分别记作,X Y ,则(20,310),(20,315)X N Y N ．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 所以()20,()310,()20,()315E X D X E Y D Y ====．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 因为,X Y 相互独立，所以X Y -服从正态分布，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 且33()2020,()1015

E X Y D X Y -=--=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 从而(2020,310315)012X Y

N X Y

N --+-，即（，）

，故所求的概率为.．．．．

．

(0.3)1(0.3)

1(p P X Y P X Y P =-

>=--≤=-≤≤．222(10.6628)0.6744.=-Φ=-= 八、（10分）

解：(1) 1

)(1

1

1+=

=

=?

-θθθμθdx x

x X E ． 由1

,11+=

=θθμX A 可得

解得，矩估计量 2

1???

? ?

?-=X

X

θ

． 似然函数 ????

??∈=-)

1,0(,

0)1,0(,)

()()(1

21x x x x x L n n θθθ ，.

令

0)(ln =θθL d d ，即有 02)

ln(221=+θ

θn x x x n ． 于是求得最大似然估计量 2

12

ln ??

?

??=

∑-n

i i L X n θ