中点坐标公式在直线方程中的应用
中点坐标公式在直线方程中的应用
陕西汉中市405学校 侯有岐 723312
直线方程问题是学习解析几何的基础,涉及到的知识比较多,若能灵活应用,
将收到事半功倍的效果.本文例谈中点坐标公式在直线方程中的应用,仅供参考.
一、 过一点直线夹在两条已知直线间的线段中点问题
例1：直线 l 被两条直线 034 :1=++y x l 和 0553 :2=--y x l 截得的线
段中点为P )2,1(-，求直线 l 的方程.
分析: 本题同学们很可能设出 l 的斜截式,由方程组解得 21 l l l 、与的交点
），（、k
k k k B k k k k A 536853155 )48,45(
-+-++++--, 再由中点公式解得 3-=k ,代入斜截式即可,但计算过于繁琐.我们可利用中点坐标,设出A 、B 两点坐标来求. 解: 设 B l l b a l l 交于与），，（交于与 A 21,
因为P 是 AB 中点,所以B 点为 )4,2(b a ---,
于是），（即解得2 4A 5
2 05)4(5)2(3034-???=-=???=-----=++b a b a b a , 由两点式知所求直线 l 的方程为 013=++y x .
点评: 由本例可知,求出21 l l l 、与的交点,虽然思路简单,但计算过于繁琐.面
对此类问题,先设出），，（交于与b a l l A 1再利用中点坐标公式表示出B l l 交于与 2）），（设中点n m P b n a m )(2,2(--,由 A 、B 两点分别在21l l 、上，
通过解方程组求出点A ）
，（b a ，后由直线的两点式或点斜式即可求得所求直线方程.
二、 利用中点坐标公式求解决有关对称问题
例2：(1)已知点A （5，8）,)1,4(B ,求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.
(2) 已知点A()4,4-,直线l 方程为 023=-+y x , 求点A 关于l 的对
称点A '的坐标.
(3) 求 043=--y x 关于点P (2,1-)对称的直线 l 的方程.
分析: (1)可直接应用中点坐标公式解决;
(2)可根据点关于线对称的特点,利用垂直平分解方程组解决;
(3)可利用中点坐标公式,由中心对称的定义解决.
解: (1) 设C(),y x , 由中点坐标公式有???
????+=+=281254y
x 得???-==63y x 所以点C )6,3(-为所求.
(2) 设点),(y x A ''',因为点A 与A '关于l 对称,所以 l A A ⊥', 且A A '中点
在l 上,所以 ???
????=-+'+-'?-=-?+'-'02242431)3(44y x x y 解得 ???='='62y x 所以点)6,2(A '为所求.
(3) 设 l 上任意一点为),(y x ,关于P(2,1) 对称点(y x ---2,4)在直线
043=--y x 上, 所以 04)2()4(3=-----y x ,
所以 0103=--y x , 则所求直线l 为 0103=--y x .
点评: 涉及“点关于点对称”，“点关于线对称”，“线关于点对称”，“线关于
线对称”等问题时，若能恰当应用中点坐标公式，就能使问题的解决更加简洁和
富有创新。
一般情况下，点E ),(b a 关于直线l ：0=++C By Ax 的对称点),(00y x E '，
可通过垂直平分的特点，利用中点坐标公式，解方程组
???????=++?++?-=-?--0221)(0000C b y B a x A B A a x b y 解决.
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7
(推荐)高中数学直线与方程知识点总结
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)．
学生可能寻求到下面三种解法： 方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，
新高中数学直线方程公式
欢迎阅读 直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠ ) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ? =≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
空间点到直线的距离公式
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
高中数学直线方程公式电子教案
高中数学直线方程公 式
直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠ ) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ? =≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。
点到直线的距离公式应用
点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程
高中数学直线方程公式21447
1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α, 则k=tan α (α2π ≠) ②若直线过点111(,)P x y 和222 (,)P x y 两点. 则21 21 y y k x x -=- 2.方向向量坐标 ： ( )()k y y x x x x p p x x ,1,1 11 2 121 22112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111 12222 ||A B C l l A B C ? =≠ ； ②1212120l l A A B B ⊥?+= 4..直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 5.“到角”及“夹角”公式 ： 设 l 1 ：b k x y 11+= ； l 2 ：b k x y 22 += （） （1）当121-≠k k 时 ??? ? ???+ -=+-=k k k k l l k k k k l l 212 1212 11 2 2 11tan 1tan θθθθ，则的角为与，则的角为到 （2）当121-=k k 时，两直线的夹角为 2 π 6.两点间的距离公式 若点()y x A 21, ， ()y x B 2 2 , 则 ()y y x x AB 1 2 1 2 ,--= 即 终点坐标-始点坐标 ()()y y x x 1 2122 2--+=
高中数学直线方程公式
直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠ ) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ?=≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x
点到直线的距离公式
课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A
两点间的距离与线段的中点坐标教案
张掖市职业学校文化课优质课教案 |P 1P 2 |=2 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( | |y y x x P P- + - = → 单位：民乐县职教中心学科：数学 教者：张成仁 时间：2013.4.26 图8－2
文化课优质课教案
图8－2
教学设计说明： 一、教学内容的分析 1、教材的地位和作用： 直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.直线的方程是解析几何的基础知识，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的线性规划、圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用.本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.从本节来看，两点间的距离与线段中点的坐标公式，在直线方程中占有重要位置.同时，同学们将迈出探究几何学知识的第一步，在“数”和“形”之间建立联系. 2、教学目标的确定：根据教学内容的特点，依据中职教材课程标准的具体要求，结合学生的认知规律与已有的认知水平，本节课通过设置轻松的师生互动、生生互动的探究问题让学生在民主、和谐的课堂氛围中，自主探究两点间的距离和线段中点的坐标公式；通过自主合作的互动探究及解决问题的过程，激发学生的参与意识与强烈的求知欲望，培养学生的问题意识与创新思维；同时，在探索解决一系列问题的过程中，培养学生的抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，磨练学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.由此我确定了本节课的知识能力目标、过程与方法目标和情感态度价值观目标. 3、教学重难点的确定：两点间的距离与线段中点的坐标公式是直线方程的基础，直线的方程是解析几何的基础，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的内容有着很重要的作用，将数与形紧密地结合起来，这样许多代数问题就转化为学生熟知的几何问题，这也是中学数学课中学习解析几何的目的之一，所以两点间的距离与线段中点的坐标公式是本节课的重点. 教学难点：两点间的距离与线段中点的坐标公式的应用.本节课是通过与刚刚学习的向量的有关知识进行联系，引出两点间的距离公式，进一步由特殊到一般，得出线段中点的坐标公式，对公式的深刻理解和灵活应用，熟练解决相关问题是本节课的学习目标之一，所以是本节课的一个教学难点，这一点对中职生来说有一定难度，因此确定为本节课的难点. 二、学情分析 1、学生已经掌握了向量的基本知识，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础； 2、中一的学生已经具备了学习数学的基本能力，同时也已经掌握了一些如：观察、猜想、
高中数学直线方程公式
1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α, 则k=tan α (α2 π ≠) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则21 21 y y k x x -= - 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,111 2 1 2 1 22 1 1 2=---= - 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111 12222 ||A B C l l A B C ? =≠ ； ? ②1212120l l A A B B ⊥?+= 4..直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 5.“到角”及“夹角”公式 ： 设 l 1 ：b k x y 11+= ； l 2 ：b k x y 22 += （） （1）当121-≠k k 时 ??? ? ???+ -=+-=k k k k l l k k k k l l 212 1212 11 2 2 11tan 1tan θθθθ，则的角为与，则的角为到 / （2）当 121-=k k 时，两直线的夹角为 2 π 6.两点间的距离公式 若点()y x A 21, ， ()y x B 2 2 , 则 ()y y x x AB 1 2 1 2 ,--= 即 终点坐标-始点坐标 ()()y y x x 1 2122 2--+=
《点到直线的距离公式》教案(公开课)
《点到直线的距离公式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：
方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|， 比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？ 思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)． 思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．
点到直线地距离公式
§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式 7．2 向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .
高中数学知识点总结-第七章直线和圆的方程
高中数学-直线和圆的方程 考试内容： 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程． 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是： 1=+b y a x . 注：若232-- =x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(23 2≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定值，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
(完整版)两点间的距离与线段的中点坐标教案
张掖市职业学校文化课优质课教案 |P 1P 2|=2 1 221221)()(||y y x x P P -+-=→ 1212 00,.22 x x y y x y ++= = 单位：民乐县职教中心 学科：数学 教者：张成仁 时间：2013.4.26 图8－2
文化课优质课教案
及应用 合作探究引导应用 直线的斜截式方程及应用 设线段的两个端点分别为) , ( 1 1 y x A和 ) , ( 2 2 y x B，线段的中点为) , ( y x M，则这三个 点的坐标之间存在什么关系？ 结论2：一般地，设点) , ( 1 1 1 y x P、) , ( 2 2 2 y x P 为平面内任意两点，则线段 2 1 P P的中点 ) , ( y x P的坐标为1212 00 ,. 22 x x y y x y ++ == 说明：公式中涉及三个量，可“知二求一”体 显方程的数学思想与方法. 应用二: 例2. 已知点)1 6 ( )2,0(- -， 、T S，现将线段 ST四等分，试求出各分点的坐标． 分析：如图 8－2所示，首先求 出线段ST的中点Q 的坐标，然后再求 SQ的中点P及QT 的中点R的坐标． 例3. 已知 ABC ?的三个顶点 为)3 0( )1 2 ( )0,1(， 、 ， 、C B A-)5 ,2(- B)5 ,2(- B，试 求BC边上的中线AD的长度． 分析：先求出BC边的中点D的坐标，再代入 两点间的距离公式求解. 师引导，通过两 向量相等，得到 对应坐标相等， 从而让学生观 察、发现，列出 方程组，根据学 生对问题的认 识情况，教师做 补充，师生共同 总结出线段中 点的坐标公式. 教师引导 学生观察，发现 公式中存在三 个量，及时总结 出公式的使用 技巧. 师生共同 分析、探讨、明 确线段ST的四 等分点的求解 思路后，让学生 积极参与独立 完成运算结果， 教师根据学生 完成情况及时 鼓励并适时点 评. 教师引导 学生明确三角 形的中线是一 条线段，要求线 段的长度，需知 道线段端点的 坐标，从而启发 学生找到解题 途径. 学生分单、 双行进行竞赛 练习，教师进 给学生自由 空间，让学生主 动探讨，发挥学 生的主观能动 性，充分调动学 生的积极性，培 养学生锲而不舍 的求索精神和合 作交流的团队精 神，加深对平面 直角坐标系中线 段中点的坐标公 式的理解. 通过探讨总 结，深刻理解公 式的特点，总结 出可“知二求一” 体现方程的数学 思想与方法,为后 面公式的应用奠 定基础。 通过学生积 极参与，完成运 算结果，训练学 生的运算能力. 通过求三角 形的中线长，进 一步提升学生对 公式的理解、应 用能力和发现问 题解决问题的能 力. 采用竞赛的 方式练习，不仅 可以巩固所学， 而且可以活跃课y O x A(x1, y1) M(x0, y0) B(x2, y2) 图8－2 图8－1
点到直线的距离公式的推导过程及其应用
点到直线的距离公式的推导过程 一、公式的导出 设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？ 解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线l P y x D l l P 0/0),,( .0D P d d =，则距离为 2 02022000220002 200222002000000/)()() ()(;00, 0), (; ,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x A B y y A B k l l B A k C By Ax l l -+-= ∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=???=-+-=++=-+--=-=⊥- =?=++， ，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由
. )()()(22002 22 002 220022200B A C By Ax B A C By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++= ?? ? ???+++-+??????+++-= 即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为： .2 2 00B A C By Ax d +++= 二、公式的应用 （一）求点到直线的距离： 例1、）到下列直线的距离：，（求点21-P ⑴ 0543=+-y x ； ⑵ 53=x ； ⑶ .1-=y 分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式． 解 ⑴式，得根据点到直线的距离公 ： .5 6 )4(35 24)1(32 2=-++?--?= d ⑵，得：将直线方程化为一般式 .053=-x 式，得根据点到直线的距离公： .3 8 035 20)1(32 2=+-?+-?= d ⑶，得：将直线方程化为一般式 .01=+y 式，得根据点到直线的距离公： .31 01 21)1(02 2 =++?+-?= d 评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．
中点坐标公式及其应用
中点坐标公式 中点坐标公式 在平面直角坐标系中,如果线段AB 的端点A 、B 的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ,则其中点P ),(n m 的坐标为 图形说明如图（1）所示. 以上便是线段的中点坐标公式. 知道三个点中任意两个点的坐标,可以求出第三个点的坐标.如:抛物线 )0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点分别为)0,()0,(21x x 、,则由中点中点坐标公式可知 其对称轴为直线2 2 1x x x += .再比如,如图（2）所示,在平面直角坐标系中,□ABCD 的顶点A 为（1 , 2 ）,两条对角线交于点O,且点O （3 , 4）,则端点C 的坐标可由中点坐标公式求得为（5 , 6）. 图（2） 中点坐标公式的应用 例1.（河南中考）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点,若点A 的坐标为)0,2(-,抛物线的对称轴为直线,2=x 则线段AB 的长为________. 例2（北京月考试题）已知:如图,抛物线 c bx x y ++-=2经过直线3+-=x y 与坐 标轴的两个交点A,B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
（1）求该抛物线的解析式; （2）点M 为抛物线上的一个动点,求使△ABM 与△ABD 的面积相等的点M 的坐标. 解: （1）由题意知:A( 3 , 0 ),B( 0 , 3 ) ∵抛物线c bx x y ++-=2经过点A 、B ∴???==++-3039c c b 解之得:? ??==32c b ∴该抛物线为322++-=x x y ; （2）∵D 为抛物线322++-=x x y 的顶点 ∴D( 1 , 4 ) ①过点D 作DM∥AB,交抛物线于点M,此时△ABM 与△ABD 的面积相等.可设直线DM 为m x y +-= ∵D( 1 , 4 ) ∴41=+-m ∴5=m ∴直线DM 为5+-=x y 令5322+-=++-x x x 解之得:2,121==x x ∴3,421==y y ∴点M( 2 , 3 ) （其中,点M( 1 , 4 )与点D( 1 , 4 )重合） ②∵ A( 3 , 0 ),B( 0 , 3 ),D( 1 , 4 ) ∴233322=+=AB ∴20222==+AD BD AB ∴BD⊥A B 延长DB 至点D′,使DB=B D′,并过点D′作直线AB 的平行线l ,l 与抛物线 有两个交点,这两个交点即是符合题意的点M.