2016年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线

2016年高考数学理试题分类汇编

圆锥曲线

一、选择题

1、（2016年四川高考）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2

2(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为

（A ）

33 （B ）2

3 （C ）22

（D ）1

【答案】C

2、（2016年天津高考）已知双曲线

2

2

24=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）

（A ）22443=1y x -（B ）223

44=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2

224=11x y - 【答案】D

3、（2016年全国I 高考）已知方程x 2m 2+n –y 2

3m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值

范围是

（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)

【答案】A

4、（2016年全国I 高考）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，

|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B

5、（2016年全国II 高考）圆2

2

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）

（A ）43- （B ）3

4

- （C ）3 （D ）2 【答案】A

6、（2016年全国II 高考）圆已知12,F F 是双曲线22

22:1x y E a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂

直，211

sin 3

MF F ∠=

,则E 的离心率为（ ） （A ）2 （B ）3

2

（C ）3 （D ）2

【答案】A

7、（2016年全国III 高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点，A ，B 分别为C

的左，右顶点.P

为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中 点，则C 的离心率为

（A ）

1

3

（B ）12

（C ）

23

（D ）

34

【答案】A

8、（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n

–y 2

=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为

C 1，C 2的离心率，则

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m 1

D ．m

二、填空题

1、（2016年北京高考）双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的

直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2

2、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22

221x y a b

-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，

CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2

【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，

于是点

),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得14922

22=b

c －a c ， 在由2

c b a =+2

2

得E 的离心率为2==a

c

e ，应填2.

3、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________

【答案】

25

5

4、（2016年浙江高考）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9

三、解答题

1、（2016年北京高考） 已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为3

2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，

OAB ?的面积为1.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ?为定值. 【解析】⑴由已知，

31

,122

c ab a ==，又222a b c =+， 解得2,1, 3.a b c ===

∴椭圆的方程为2

214

x y +=. ⑵方法一：

设椭圆上一点()00,P x y ，则22

0014

x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0

022

M y y x -=

-. ∴0

0212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得0

01

N x x y -=

-. ∴0

021

x AN y =+

-

00

0000000022000000000022112

2222

21

4448422

x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ?=+

?+--+-+-=

?

--++--+=

--+

将220014

x y +=代入上式得=4AN BM ?

故AN BM ?为定值.

方法二：

设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，

直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=

--,令0x =，得sin 1cos M y θ

θ=

-. ∴sin cos 1

1cos BM θθθ+-=-

直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θ

θ=

-. ∴2sin 2cos 2

1sin AN θθθ

+-=-

2sin 2cos 2sin cos 1

1sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4

AN BM θθθθθθ

θθθθθθθθ

+-+-?=?

----+=--+=

故AN BM ?为定值.

2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞ 的离心率是3

2

，抛物线

E ：22x y =的焦点

F 是C 的一个顶点.

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;

（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求

1

2S S

的最大值及取得最大值

时点P 的坐标.

【解析】(Ⅰ) 由离心率是

2

3，有2

24=b a ， 又抛物线y x 2=2

的焦点坐标为)2

1,0(F ，所以2

1

=

b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+2

2y x ．

(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2

m m,P 2

m （， 由y x 2=2

得x y =′

，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2

=2

m m x －y ，

设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，

将2

=2m m x －y 代入1=4+2

2y x ，得

0=1+4)4+12322－m x m －x m （．

于是23214+14=+m m x x ，2

3

2104+12=2+=m m x x x ， 又)

4+1(2=2=22

200m －m m －mx y ，

于是 直线OD 的方程为x m

－

y 41

=．

联立方程x m －

y 41

=与m x =，得M 的坐标为)4

1M(m,－． 所以点M 在定直线4

1

=y －上．

（ii ）在切线l 的方程为2=2

m m x －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，

即点G 的坐标为)2m G(0,－

2，又)2m P(m,2，)21F(0,， 所以4

)

1+(=×21=S 21m m GF m ；

再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(

22

23，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 22

22322m m m m m m m

于是有 2

22221)1+2()1+)(1+4(2=

S S m m m ． 令1+2=2

m t ，得22

2111+2=)1+)(21

(2=S S t －t t t t － 当21=

1

t

时，即2=t 时，2

1S S 取得最大值49

． 此时21=

2

m ，22=m ，所以P 点的坐标为)4

1

,22P(． 所以2

1S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．

3、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图

（1）求菜地内的分界线C 的方程

（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为

3

8

。设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值 【解析】

（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以

EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）．

（2）依题意，点M 的坐标为1,14??

???

． 所求的矩形面积为

52，而所求的五边形面积为114

． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

581

236

-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为

1181

4312

-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 4、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。

（1）若l 的倾斜角为

2

π

，1F AB ?是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设3b =，若l 的斜率存在，且11()0

F A F B AB +?=

，求l 的斜率. 【答案】（1）2y x =±．（2）15

5

±

.

【解析】（1）设(),x y A A A ．

由题意，()2F ,0c ，21c b =+，()

2224

1y b c b A =-=，

因为1F ?AB 是等边三角形，所以23c y A =，

即()

24413b b +=，解得2

2b =．

故双曲线的渐近线方程为2y x =±． （2）由已知，()1F 2,0-，()2F 2,0．

设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．

由()2

213

2y x y k x ?-=???=-?

，得()2222

34430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以2

30k -≠，且()

23610k ?=+>．

设AB 的中点为(),x y M M M ．

由()

11F F 0A +B ?AB = 即1F 0M?AB = ，知1F M ⊥AB ，故1F 1k k M

?=-． 而2

122223

x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2

323k k k M =-， 所以23123k k k ?=--，得2

35k =，故l 的斜率为155

±

．

5、（2016年四川高考）已知椭圆E ：

的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的

3个顶点，直线l :y ＝－x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T .

（I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；

（II ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得∣PT ∣2=λ∣PA ∣· ∣PB ∣，并求λ的值

.

有方程组22

221,23,x y b b y x ?+=???=-+?

得22

312(182)0x x b -+-=.①

方程①的判别式为2=24(3)b ?-，由=0?，得2=3b ， 此方程①的解为=2x ，

所以椭圆E 的方程为22

163

x y +=. 点T 坐标为（2,1）.

由②得212124412=,33

m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)23323

m m m PA x y x =-

-++-=-- ， 同理252223

m PB x =

--， 所以12522(2)(2)433

m m

PB PB x x ?=

---- 21212522(2)(2)()433

m m

x x x x =

---++

225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+

2

109m =.

故存在常数45

λ=，使得2

PT PA PB λ=?.

6、（2016年天津高考）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知|

|3||1||1FA e

OA OF =

+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于

点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.

【解析】

（2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组

??

???-==+

)2(134

2

2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或3

46

82

2+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k k

k k BF .由HF BF ⊥，得0=?HF BF ，

所以03

4123449222=+++-k ky k k H

，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k k x k y 124912-+-=.

设),(M M y x M ，由方程组??

???-=-+

-=)

2(124912

x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202

2++=k k x M .在MAO ?中，

||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠，即2222

)2(M

M

M

M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)

1(129

202

2≥++k k ，解得46-

≤k 或4

6≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),4

6

[]46,(+∞--∞ .

7、（2016年全国I 高考）设圆22

2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆

A 于C ，D 两点，过

B 作A

C 的平行线交A

D 于点

E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；

（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.

又圆A 的标准方程为16)1(2

2=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .

由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13

42

2=+y x （0≠y ）.

8、（2016年全国II 高考）已知椭圆:E 22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ?的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．

【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22

143

x y +

=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．

联立()22

1432x y y k x ?+=???=+?

并整理得，()

2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或22

8634k x k -=-+，则222

2

286121213434k AM k k k k -=+-+=+?++

因为AM AN ⊥，所以2

22

1121211413341AN k k k k

k ??

=+-?

=+?

???

??

+

+?- ?

??

因为AM AN =，0k >，

所以

222

1212

114343k k k k k

+?

=+?++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =． 所以AMN △的面积为2

2

1

112144112

23449

AM

??=+?= ?+??． ⑵直线AM 的方程为()

y k x t =+，

联立()

22

13x y t y k x t ?+=???=+?

并整理得，()222223230tk x t tk x t k t +++-=

解得x t =-或22

33t tk t

x tk -=-+，

所以22

22

2

361133t tk t t

AM k t k tk tk -=+-+=+?++ 所以

2613t AN k t k k

=+?

+

因为2AM AN =

所以

22

26621133t t k k t tk k k

?+?

=+?++，整理得，23632

k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202

k k k +-<-

解得322k <<．

9、（2016年全国III 高考）已知抛物线C ：2

2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B

，两点，交C 的准线于P Q ，两点．

（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；

（II ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

10、（2016年浙江高考）如图，设椭圆

2

2

2

1

x

y

a

+=（a＞1）.

（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

【试题解析】（I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22

211y kx x y a

=+??

?+=??得 ()2

2

2

2

120a k x a kx ++=，故10x =，222221a k

x a k =-+．

因此22

21222

2111a k

k x x k a k

AP =+-=?++． （II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足

Q AP =A ．

记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．