正多边形和圆、弧长公式及有关计算

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

正多边形和圆、弧长公式及有关计算

［学习目标］

1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

2. 正多边形和圆的关系定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：

（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：

将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆

先用量角器画一个等于360?

n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的

1

n，然后在圆上依次

截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 圆周长公式：C R

=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。

7. n°的圆心角所对的弧的弧长：l

n R =

π

180

n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于()

n

n

-?

2180

，每个外角为

360?

n，等于中心角。

二. 重点、难点：

1. 学习重点：

正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

只有正五边形、正四边形对角线相等。

2. 学习难点：

解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

【典型例题】

例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）

A.

3

3 B.

23

3 C.

2

3 D.

22

3

解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1

F E

A G D

B C

又∵∠FAG ＝60°

∴=

∠==

AF FG FAG sin 13

223

3

故选B

点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ） A. 1∶2∶3

B. 123∶∶

C. 123∶∶

D. 123∶∶

解：如图所示，OD 是正三角形的边心距，OA 是半径，AD 是高

A

O

B D C

设OD r =，则AO ＝2r ，AD ＝3r

∴OD ∶AO ∶AD ＝r ∶2r ∶3r ＝1∶2∶3 故选A

点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的1

2。通过

这个定理可以使问题得到解决。

例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S S S 346、、之间的大小关系是（ ）

A. S S S 346>>

B. S S S 643>>

C. S S S 634>>

D. S S S 463>>

解析：设它们的周长为l ，则正三角形的边长是a l 313=

，正四边形的边长为

a l 41

4=，正六边形的边长为

a l 61

6=

∴=

?=??=S a l l 332221260121932336sin S a l S a l l

442

2

66222

11661260612136323372===??=???=sin

∴>>S S S 643

故选B

点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。

例4. 如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ，求证： （1）ME AB =； （2）ME BE BM 2

=·

点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。 证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则

AB ?=??=?

1

536072

∴∠BEA ＝36°

EC ?=??=?

2

5360144

∴∠=??=?

∴∠=?-?-?=?=∠∴==EAC EMA EAM

ME AE AB

1

2

14472180367272

（2） BC AB CAB BEA ?=?

∴∠=∠，

又∵公共角∠ABM ＝∠EBA ∴△ABM ∽△EBA

∴

=∴=AB BE BM

AB AB BE BM 2

·

例5. 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm ，求这个正六边形的边长、周长和面积。 解：∵正六边形的半径等于边长 ∴正六边形的边长a cm =2 正六边形的周长l a cm ==612

正六边形的面积

S cm =?

???=6122232632

点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

例6. 已知正方形的边长为2cm ，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。 解：∵正方形的边长为2cm ∴正方形的外接圆半径为2cm

∴外接圆的外切正三角形一边上的高为32cm

∴正三角形的边长为326032

3

226sin ?==cm

∴正三角形的面积为1226263

2632

???=cm

点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。

例7. 如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，⊙O 1和⊙O 2的半径分别为r 和3r ，AB

为两圆的外公切线，A 、B 为切点，求AB 与两弧PA PB ??

、所围的阴影部分的面积。

解：连结O A O B 12、，过点O 1作O C O B 12⊥

在Rt O O C ?12中，O O r r r O C r r r 1223432=+==-=， ∴=-=O C r r r 12

2

16423 ∴梯形O ABO 12的面积为：

()1

2323432

r r r r +=·

又∵

sin ∠===

O O C O C O O r r 21212241

2 ∴∠=?

∴∠=?∠=?O O C O PO A 21213060120，

∴扇形O PA 1的面积为：1203601322

ππr r

= 扇形O PB 2的面积为：6033603222

ππ·()r r

=

∴阴影部分的面积为：

431332431162222

r r r r --=-?

? ???πππ 点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，

最后通过面积的加减得出结论。

例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加

___________。 解：由弧长公式

l n R

=

π180，得：

当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为

()n R

+1180

π

()

n R

n R +-

=?=

11801801180180ππππ

∴弧长增加π180，故填π

180

点拨：本题主要考查弧长公式

l n R =

π180。

例9. 如图，大的半圆的弧长为a ，n 个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n 个小半圆的总弧长为b ，则a 与b 之间的关系是（ ）

A. a b =

B. a nb =

C.

a b n =

D. a b =π

解：设大半圆的半径为R ，小半圆的半径为r 由题意，得：a R =π

∴=

R a

π

∴小圆的半径

r a n =

π

∴每个小半圆的弧长为

ππ·

a n a n = ∴n 个小半圆的总弧长

b n a

n a

==·

即b a =，故选A 。

点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。

例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的AC ?的长为6πcm ，BD ?

的长为10πcm ，

若AB cm =12，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 192π

B. 144π

C. 96π

D. 48π

解：设∠O ＝α，由弧长公式得：

618010180618010180παππαπαα

=

?=

?

∴=

??

=

??

·，·，OA

OB

OA OB

又 AB OB OA =-

∴=

??

-

??

∴=?

∴=

???==??

?=121018061806061806018101806030α

α

αOA OB ，

∴阴影部分的面积为：

()

603036060183603018

6962222

??-??=?-=ππππ

··

故选C

点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。

例11. 如图所示，⊙O 的半径OA 为R ，弦AB 将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB 的长，如果将3∶7改为m ∶n ，此时弦AB 的长度是多少？

点悟：欲求弦长AB ，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB 可通过两弧长之比3∶

7求得，再利用AD

R DOA =∠sin 求得AD ，AB 就可求。

解：作OD ⊥AB 于D ，连结OB

∵这两段弧之比为3∶7

∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7 设这两个圆心角的度数为3x ，7x ，则 37360x x +=?

即AB AmB AOB ?=?=?∠=?108252108，，⌒

∴∠DOA ＝54°，又AD

R =?

sin54

∴AD ＝Rsin54° ∵AB ＝2AD

∴=?AB R 254·sin

同理可得3∶7改为m ∶n 时，解得：

AB R m

m n n m =+>2·sin

()π

点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。

例12. 已知正六边形边长为a ，求它的内切圆的面积。

点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式S R =π2

，需求内切圆的半径OH ，可依据正六边形的性质及边长a 求得OH OA AH =

-22，代入面积公式，即可。

解：如图所示，设正六边形的边长AB a =，内切圆的圆心为O ，连结OA 、OB ，作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝30°

()∴===∴=-=-?? ?

??=∴==

OA AH AB a

OH OA AH a a a

S OH a O 2232

34

2222

2

2内切⊙ππ

例13. 已知正多边形的周长为12cm ，面积为122

cm ，则内切圆的半径为__________。 解：设正多边形是正n 边形，圆半径为r ∵正多边形的周长是12cm

∴正多边形的边长是12n cm

又∵正多边形的面积是122

cm

∴=∴=121212

2n n

r

r cm ···()

故应填2cm 。

点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 判断题。

1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。（ ）

2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。（ ）

3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。（ ）

4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。（ ）

5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。（ ）

6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。（ ）

7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。（ ）

8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。（ ）

二. 填空题。

9. 若正多边形内角和是540°，那么这个多边形是_________边形。

10. 两个圆的半径比为2∶1，大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为__________。

11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R 是36m ，圆弧所对的圆心角为60°，

则这段弯道长约________m （精确到0.1m ，π=314.）。

三. 解答题。

12. 已知半径为R 的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。

13. 如图，△AFG 中，AF ＝AG ，∠FAG ＝108°，点C 、D 在FG 上，且CF ＝CA ，DG ＝DA ，过点A 、C 、D 的⊙O 分别交AF 、AG 于点B 、F 。 求证：五边形ABCDE 是正五边形。

A

B E O

F C D G

14. 如图：三个半径313331--+，，的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。

D F

B C

E A

【试题答案】

一. 判断题。 1. × 2. × 3. √ 4. √ 5. √ 6. √

7. ×

8. √

二. 填空题。 9. 正五 10. 3∶1

11. 37.7

三. 解答题。

12. 边长比21∶，面积比2∶1 13. 易求∠F ＝∠G ＝36°

∴∠FAC ＝∠GAD ＝∠CAD ＝36°

从而，BC CD DE ?=?=?

由△AFC ≌△AGD 得：AC ＝AD

∴=∴====ABC AED

AB BC DE CD EA ⌒

⌒

⌒

⌒⌒⌒⌒

∴ABCDE 是正五边形

14. 利用弧长公式，关键是求出三段弧所对圆心角的度数。

()()()()()()AB BC AC =

++

-==-+-==++-=313123

3133231334

∴+=AB BC AC 2

2

2

且

BC AC =

12

∴∠B ＝90°，∠A ＝30°，∠C ＝60°

∴阴影部分周长(

)(

)()

=++-+-3031

180

9031

180

6033180

π

ππ

()=

+π

3

32