高一数学《空间向量及其加减运算》学案

3.1.1空间向量及其加减运算

教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算

律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

教学重点：空间向量的加减运算及运算律．

教学难点：由平面向量类比学习空间向量．

教学过程：

一、复习引入

1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示；

用有向线段的起点与终点字母：A B ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

2. 向量的加减以及数乘向量运算：

向量的加法：

向量的减法：

二．新课讲授

1．空间向量定义：

空间向量的表示：

重要概念：（1）零向量

（2）单位向量

（3）平行向量

（4）相等向量

（5）相反向量：

思考：空间任意两个向量是否可能异面？

→ 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？

2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

O B O A A B

=+=a +b ， A B O B O A =-（指向被减向量）， O P =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）

3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．

⑴加法交换律：

a +

b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) +

c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．

4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；

⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则．

5. 例1：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''A B C D A B C D -（如图），化简下列向

量表达式，并标出化简结果的向量：

A B B C +⑴； 'A B A D A A ++⑵；

1

(3)'2A B A D C C ++； 1

(')3A B A D A A ++⑷．

变式1：如图所示，已知平行六面 ABCD —A1B1C1D1， M 为A1C1

与B1D 的交点，化简下列向量表达式．

（1）1AA +11B A ； （2）2111B A + 2111D A ；

（3）1AA +21

11B A +11D A ；

（4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1

变式2：已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式: (1)';A A C B - (2)'''''A B B C C D ++

三．课堂练习：

1.下列说法中正确的是( )

A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反

B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |

C ．空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC

2．判断下列说法是否正确：

（1）零向量没有方向 ( )

(2)零向量的方向不确定，所以任何两个零向量不相等 （ ）

（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量（ ）

（4）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同 （ ）

(5)对于空间任意两个向量，它们可能共面，也可能异面 （ ）

3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1D D A B B C -+化简后的结果是（ ） A. 1

B D B.1D B

C ．1B

D D.1D B 4. 如图所示 a ，b 是两个空间向量，则A C 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是

________向量．

5. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ C D + B C D A 的结果为________．

6．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请

化简 （1）AB →＋BC →＋CD →，（2）AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．

四．板书设计

五．课后反思