图像的盲复原

一、图像复原的变分方法

图像在形成传输和存储的过程中都会产生失真，造成图像质量的退化，图像复原就是解决这些问题。

（1）图像复原的变分方法

一般来讲，图像的退化过程一般可描述为：f=Ru+n 1-（1） 其中n 表示加性Gauss 白噪声，R 表示确定退化的线性算子，通常是卷积算子。

图像复原就是要尽可能的降低或消除观察图像f （x ）的失真，得到一个高质量图像，根据最大似然原理，通过求解如下变分问题可以得到真实图像u 的一个最小二乘逼近：

{}

2inf (x)(x)u f Ru dx Ω-? 1-（2） 但该问题是一个典型的病态问题，解决该问题的常用的方法是正则化方法，其中最典型的模型是全变差（TV ）模型，该模型在2001年被法国数学家完善，提出了卡通-纹理分解的变分模型。

TV 模型的正则化模型为：()

222()()inf L u H f Ru u dx λΩΩ∈Ω-+?? 1-（3） 第一项是残项，或称忠诚项，保证恢复图像u 保留观察图像f 的主要特征，第二项是正则项，保证恢复图像的光滑，以去除噪声，同时保证极小化问题是良态的，λ>0是尺度参数，平衡忠诚项和正则项的作用，该模型的唯一解满足以下方程:

*(f Ru)u 0R λ-+?= 1-（4） 该模型对均匀区域来讲，能很好的去除噪声，但同时磨光了边缘的重要特征，对1-（3）的方程加上适当的初、边值条件，可构成最速下

降法来求解。

该方法可以去除光滑部分的噪声，但同时边缘和纹理也被模糊了，此模型对图像的光滑性要求高，不允许图像中出现不连续或奇异特征，由此改进了有界变差函数或分布空间-BV 空间将图像的梯度看成一种测度而不是函数，允许图像存在边缘、纹理等重要的不连续特征 ，用BV 空间刻画全局正则性更合适。

在图像复原中，为了在去噪的同时能够有效的保留边缘，提出如下正则化模型：2

2()()1inf 2L TV u BV f Ru u λΩ∈Ω??-+ ??? 1-（5） 它利用了BV 空间的半范数—全变差来作为正则项，加上同样的初、值条件，用最速下降法求解，它是Sobolev 空间的一种改进。

（2）变换域变分模型

上述TV 模型只利用了图像的空域信息，没有利用图像的频域或其他变换域信息，另一方面需要大量的迭代，而且没有一个好的停止准则，而变换域变分模型，其求解简单，无需迭代。

DT 模型：

112()1,1()22,inf (v,u)(v u)2f L H B u v F f v u γα-ΩΩΩ=-+++ 1-（6）

利用该模型和Besov 半范数和小波系数的等价关系可以建立基于小波变换的快速算法，避免了求解非线性偏微分方程。

图像的复原也可在基于Besov 和负hilbert-sobolev 空间进行，以及在基于Besov 和齐次Besov 空间进行。

二、 基于Besov 空间的图像盲复原

依然采用退化模型g=h*f+n

由于图像随机噪声的存在，图像的盲复原一般是一个病态问题，通常是引入正则化项来克服病态，you 和kaveh 提出能量最小化模型：

222

212(f,h)1min (f,h)*2L J h f g f dx h dx ααΩΩΩ??=-+?+??????? 第一项是忠诚项，希望复原图像继承模糊图像的主要特征，后两项分别是对复原图像和点扩散函数的二次正则化，这种二次正则项过光滑，会导致图像模糊，因此chan 和wang 将二次正则项改为一次正则项，即TV 模型：

2212(f,h)1min (f,h)*2L J h f g f dx h dx ααΩΩΩ??=-+?+?????

?? 1α和2α分别是两个正则项的调节参数，该方程可以通过euler 方程来

求解，但这种基于全变差正则化的盲复原计算量大，并且会引起阶梯效应，产生虚假边缘，由此提出了改进的算法

（1） 基于besov 空间的图像盲复原模型和算法

定义(f)*H h f ?=，F(H)*h f ?

=是两个线性卷积算子，其共轭算子分别是

**(f)*H h f =，**F (H)*h f =。根据Daubechies 关于Besov 空间11,1B 和BV

空间的关系，用11,1B 正则化代替TV 正则化，则有如下模型： 2111,1()1,1()212(f,h)1min (f,h)*2L B B J h f g f h ααΩΩΩ??=-++????

采用交替最小化方法来求解恢复图像f 和系统模糊函数h 。首先固定h ，极小化来求解f ，然后对得到的f ，极小化求解h 。具体求解时，利用Besov 半范数的小波等价模和小波能量守恒性质将能量转化到小波域求解，就可以通过小波域阈值处理来实现，此算法有效的降低

了复杂度。

（2）同样，也可以采用基于曲线波的图像恢复和卡通纹理分解，具体模型为：

12()1,1()22,inf (v,u)(v u)2s f L H B u v F f v u γα-ΩΩΩ=-+++

γ和α是调整两个正则项的权参数，此式也可以利用小波等价模型转换到小波域来求解，但是利用小波对图像进行多分辨表示时，存在着两个问题：1，无法精确地表示边缘方向2，用二维小波逼近图像中的奇异曲线是通过电来逼近线，为满足一定的精度，必须采用较多的小波系数来表示奇异曲线，candes 提出的curvelet （第一代curvelt ）可以克服小波的不足，用这种各向异性的curvelet 变换能更稀疏的表示图像的边缘，用更少的系数就可以逼近奇异曲线，但第一代有些复杂，由此，又提出了第二代curvelet 变换，比第一代形式更简单更容易实现。

三、通过查阅文献了解到的其他算法模型

由于盲复原问题中有用的信息太少，所以用迭代法求解，但会造成解不唯一的病态问题，其核心是建立准确的先验信息模型。目前，基于小波变换的图像复原方法主要有：

小波域 EM 算法，傅里叶小波规整化法，Crouse 等人提出了基于小波域隐Markov 树模型的图像复原算法，娄帅等人提出了一种结合平稳小波ForWaRD 反卷积与传统小波域隐Markov 树(HMT)的算法。2006 年Bioucas-Dias 将贝叶斯框架与小波变换相结合提出了一种广义期望最大化(Generalized ExpectationMaximization ，GEM)算法。

Contourlet 变换也是近年来一种研究很广泛的复原基。Contourlet 变换是由Do 和Vetterli 提出的一种将多尺度分析、多方向分析独立实现的金字塔型方向滤波器组，由拉普拉斯金字塔(Laplacian Pyramid，LP)和方向滤波器组(Directional Function Bank，DFB)实现，能满足多尺度各向异性特点，所以能更好的描述图像的边缘轮廓及纹理特

性。2007 年Z.-F. Zhou提出一种基于contourlet 变换的变向窗口去噪算法，取得了较好的效果。越来越多的学者也将智能优化中的遗传算法提出使用水下成像系统点扩散函数(PSF)结合维纳滤波对退化图像进行复原，也有利用Wells 小角近似模型得到水下成像系统的调制传递函数，并将其利用到水下退化图像的还原。大多复原及超分辨率重建算法均针对陆上成像，没有有效的针对水下复杂的图像退化；水下降质模型及水体PSF 模型虽然有很多经典理论，但大多基于小角近似假设，目前还没有建立一个完整的理论体系，且后向散射不可能完全消除，从而存在缺陷需要改进；算法实时性普遍较差

四、利用空域局部处理和小波处理的联合规整化复原方法

对图像采取一种新的空域局部阈值处理和小波域处理的联合规整化复原方法，只知道退化后的图像而原图像和模糊核是未知的，存在众多的匹配解，为了得到正确解就需要利用规整化约束项来保证解的合理性，从约束项的形式来说，利用图像在小波域具有很高的稀疏性，能够更好的去除噪声和去除伪迹，而其他方法则普遍考虑图像梯度域的稀疏性作为约束条件，利用图像的边缘特性来估计模糊核，存在不匹配问题，在空域约束上传统的算法是对整幅图像采用相同的阈值，

无法有效区别图像边缘和平坦区域。有文章提出新的空域局部阈值处理和小波域的联合规整化算法，在空域上阈值是根据图像局部特征来确定的，在边缘阈值小，平坦区域阈值大，在纹理区域介于两者之间，盲图像复原的核心是根据模糊图像和退化模型以及模糊核的先验知识，建立合理的带有规整化项的代价函数，进而寻求清晰图像和退化模型的最优估计。规整项表示求解的一种合理约束，能够保证解收敛的正确性，采用空域和小波域两个规整化项的联合约束，这样能够更好的保证解的约束性。在模糊核的估计中，模糊核的尺寸小，未知量的个数小于已知量的个数，只用一个约束条件即可。梯度图像与原图像相比突出了边缘特征，同时也能够进一步抑制和减少噪。确定了一种根据图像的梯度方向和平滑程度确定阈值，小波域滤波是特征提取和低通滤波的结合，冗余小波与正交小波相比有更好的冗余度，提供了更加丰富的特征信息和更加精确的频率局部化信息，，单独使用小波域约束时对噪声和伪迹有很好的抑制效果，但因为没有充分利用图像的边缘特征而使复原效果差；单独使用窄域约束可以有效利用

图像的边缘特征提高复原效果，可是对噪声影响敏感，图像产生了伪迹，图像质量受到影响；使用二者的联合规整化约束则结合了两种规整化约束的优点从而可以得到理想的复原效果。

五、激光水下成像的盲去卷积方法

激光水下图像复原的三种盲去卷积方法：

1，假设退化图像的噪声符合泊松分布时，可以采用最大期望（EM）算法的盲区卷积形式。

2，当退化图像的噪声分布符合高斯模型时可采用最小均方（LS）的盲去卷积方法（不管图像上的噪声更接近于泊松分布或高斯分布，最小均方盲去卷积算法对噪声模型不敏感。当图像上的噪声更接近于泊松分布时，使用两种算法得出的复原结果没有明显区别；而当图像上的噪声更接近于高斯分布时，使用最小均方盲去卷积算法得出的复原结果要明显好于使用最大期望盲去卷积算法得出的复原结果。）

3，多次乘法迭代盲去卷积法只需进行单程迭代运算,迭代次数的选择决定了图像质量，人为评价图像质量缺乏客观依据，在客观评价中，归一化均方误差是经常用到的衡量图像复原的指标之一，采用模糊度量方法。

这些方法均采用威尔斯的小角度近似(SAA)理论，通过获取相应的水体点扩展函数(PSF)与调制传递函数(MTF)来模拟水下图像的退化过程，并使用盲去卷积算法进行图像复原。