高一升高二复习讲义：第2讲 一元二次不等式及其解法
【亲爱的同学们：山高人为峰！相信自己！我是最棒的！】
一、复习旧知
1、知识点
解不等式的有关理论
一元二次不等式的解集
解一元二次不等式的基本步骤
高次不等式解法
分式不等式的解法
2、作业评讲
二、新课讲解
重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式
考点：一元二次不等式的解法
含参数不等式的解法
分式不等式及高次不等式的解法
简单的恒成立问题
易混点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.
【分类教学】
★知识梳理★
一.解不等式的有关理论
（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；
（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；
（3）解不等式时应进行同解变形；
（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。
二.一元二次不等式的解集
c
三.解一元二次不等式的基本步骤：
（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数； （2） 尝试用“十字相乘法”分解因式； （3） 计算ac b 42-=?
（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。
四.高次不等式解法：
尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解 （注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）
五.分式不等式的解法：
分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。
2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式
3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.
(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解
问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11log 2
<-x ax
点拨:11
log 2
<-x ax
∴<-<012ax x 由ax x ->10得：x <0或x >1 ()[]()ax x x a x x -+-<-+-<22
1
02210，
讨论：（1）当a
=2时，得x <0
（2）当a >2时，--<<2
2
0a x /
（3）当02< x ->22或x <0 综上所述，所求的解为:当a =2时，解集为{}x x |<0 当a >2时,解集为? ?????<<-- 022|x a x . 当02< ??? ?? <-> 022|x a x x 或12/ (2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++= 当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 当，求)(x f 的解析式； 点拨:据题意：6,221=-=x x 是方程02322=-++a b x a ax 的两根 由韦达定理知：???-=-=?? ?? ???-=-+-=-846)1(26 23b a a a b a 故 2()41680f x x x =-+- 三、【典型例题】 考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式 不等式2 x x >的解集是( ) A ． (),0-∞ B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞+∞ 【解题思路】严格按解题步骤进行 由2 x x >得(1)0x x ->,所以解集为 ()(),01,-∞+∞,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当 2x =±时满足不等式,故选D. 【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数. 已知关于x 的不等式2 20ax x c ++>的解集为11(,)32 -,求2 20cx x a -+->的解集. 【解题思路】由韦达定理求系数 由2 20ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11 ,32 - 为方程220ax x c ++=的两个根,由韦 达定理得11211,3232c a a -+=--?=,解得12,2a c =-=,∴2 20cx x a -+->即 222120x x --<,其解集为(2,3)-. 【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由 韦达定理求系数 【新题导练】 1.不等式（a －2）x 2+2(a －2) -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2) 解析：∵可推知-2＜a ＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2. 选B 2. 关于x 的不等式(m x -1)( x -2)＞0，若此不等式的解集为{x | ＜x ＜2}，则m 的取值范 围是 A. m ＞0 B.0＜m ＜2 C. m ＞ D. m ＜0 解析：由不等式的解集形式知m ＜0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式 例1：解关于x 的一元二次不等式2 (3)30x a x a -++> 【解题思路】比较根的大小确定解集 解析：∵2 (3)30x a x a -++>，∴()()30x x a --> ⑴当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{} 3x x a x <>或； ⑵当3a =时，不等式为()2 30x ->，解集为{} 3x x R x ∈≠且； ⑶当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{} 3x x x a <>或 【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论(0,0,0?>?=?<).③根据根的大小讨论(121212,,x x x x x x >=<). 题型2：解简单的指数不等式和对数不等式 例2. 解不等式log a (1－ x 1 )＞1 (0,1)a a >≠ 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论 解析(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组???????>->-a x x 11011 由此得1－a ＞ x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a -11 ＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：???????<->-a x x 11011 由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜ a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a -11 ＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜ x ＜a -11}. 【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论. 【新题导练】 3.关于x 的不等式2 2 6320x mx m --<的解集为( ) A.(,)97m m - B.(,)79m m - C.(,)(,)97 m m -∞-+∞ D.以上答案都不对 解析:原不等式可化为()()097 m m x x +-<,需对m 分三种情况讨论,即不等式的解集与m 有关. 4.解关于x 的不等式：04)1(22<++-x a ax 解析：0)2)(2(<--x ax a a a ) 1(222-= - 当?> ?>a a 221? ?? ???<<22|x a x ； ① ② 当a a 2210< ?<<∴???? ?? < 当0-+-?0)2)(2(x ax 2|2x x x a ??< >???? 或 Φ∈?=>?=x a x a 1;20 5. 考点3 分式不等式及高次不等式的解法 解不等式:2 2(1)(68)0x x x --+≥ 【解题思路】先分解因式,再标根求解 原不等式(1)(1)(2)(4)0x x x x ?-+--≥,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下: 所以不等式的解集为(,1] [1,2][4,)-∞-+∞. 【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系. 【新题导练】 5.若关于x 的不等式 0(3)(1) x a x x +>++的解集是(3,1)(2,)--+∞,则a 的值为_______ 解析:原不等式()(3)(1)0x a x x ?+++>,结合题意画出图可知2a =-. 6. 解关于)0(1 1 )1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式 解：①若)25 1()2511(2150∞++--+< <，，，则原不等式的解集为 a a ； ②若)2 5 1(215∞+++=，，则原不等式的解集为a ； ③若)2 51()1251(215∞++--+> ，，，则原不等式的解集为 a a 7.（ 广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试）解不等式.2)2 1 (242 >?-+x x x ．解析：2)2 1 (2 242 >?-+x x 2 1422222>?∴-+x x 即2 12 322 >-x 得65> x 所以原不等式的解集为}6 5|{>x x 考点4 简单的恒成立问题 题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围 例1.若关于x 的不等式2 220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解 当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意; 当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需2 2420 a a >??-? a > 综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2 +∞ 【名师指引】不等式2 0ax bx c ++>对一切x R ∈恒成立0 00a b c =???=??>? 或2 040a b ac >???=- 0ax bx c ++<对任意x R ∈恒成立0 00a b c =???=?? 或2 040a b ac 【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. (1)设 2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴22 (1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++= 即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2 ()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即2 31m x x <-+在[1,1]-恒成立. 令2 235()31()24 g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的 最大值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-. 【名师指引】()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立, 则max [()]m f x ≥; 【新题导练】 8.不等式2 2214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______． ：不等式2 2 214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立, 即 014)2(2>-+++a x x a 对一切∈x R 恒成立 若2+a =0,显然不成立 若2+a ≠0，则???+00 2a ∴2>a 9.若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x （0，1 2 ）成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．0 B ． –2 C ．-5 2 D ．-3 解析：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－,若a 2－≥1 2 ，即a －1时，则f （x ）在〔0， 12〕上是减函数，应有f （12 ）0－5 2≤x －1 若a 2－≤0，即a 0时，则f （x ）在〔0，1 2 〕上是增函数，应有f （0）＝10恒成立，故 a 0 若0 a 2－≤1 2 ，即－1a 0，则应有f （a 2－）＝222a a a 110424≥－＋ ＝－恒成立，故－1 a 0． 综上，有－ 5 2 ≤a,故选C ． 四、【巩固练习】 1. 不等式2 560x x -++>的解集是__________ 解析:将不等式转化成2 560x x --<，即 ()()160x x +-<.] 2. 若不等式2 0x ax b --<的解集为{|23}x x <<,则不等式2 10bx ax -->的解集为 __________. .解析:先由方程2 0x ax b --=的两根为2和3求得,a b 后再解不等式2 10bx ax -->.得 11,23??-- ??? 3. (广东省五校2008年高三上期末联考) 若关于x 的不等式2 ()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空 集，则实数a 的取值范围是 ． 解析： 2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，就是1= [()g x ]max ＜21a a ++ 所以 (,1)(0,)a ∈-∞-?+∞ 4(08梅州)设命题P ：函数)16 1 lg()(2 a x ax x f + -=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+121对一切正实数均成立。如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数 a 的取值范围。 解：命题P 为真命题?函数)lg()(a x ax x f 16 1 2 + -=定义域为R ? 016 1 2>+ -a x ax 对任意实数x 均成立?00>-=x a 时解集为R ，或204 1102>??????<->a a a ∴ 命题P 为真命题?2>a 5.解关于x 的不等式 012 ) 1(<+--x x k (k ≥0，k ≠1). 原不等式即 02 2 )1(<--+-x k x k ， 1°若k=0，原不等式的解集为空集； 2°若1－k>0，即0 x k k x 此时 k k --12－2=k k --12>0， ∴若0 k --12}； 3°若1－k<0，即k>1时，原不等式等价于,0)2)(12(>---- x k k x 此时恒有2>k k --12，所以原不等式的解集为{x|x k --12，或x>2}. 五、【课后练习】 6.. 已知ａ＞０，且ａ≠１，解关于 x ).4(log )1(log 2 1 42x x a a -≤-+ 解：原不等式等价于 )4(log )1(log 21),4(log 2 1 )1(log 212222x x x x a a a a -≤-+-≤-+ )4(log ]2)1[(log 222x x a a -≤?- 原不等式同解于?? ???-≤---)3(4)1(2(2) 04(1) 012x x x x a a a a 7 由①②得１＜ａ ｘ 由③得22 1 ,023)(22 ≤≤- ≤--x x x a a a 从而1＜ａｘ ≤２ ①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２ } ②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０ } 6.(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元（a ＞0）。 （I ）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的 年总收入，试求x 的取值范围； （II ）在（I ）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人 均年收入达到最大。 解：（I ）由题意得（100-x ）·3000·（1+2x%）≥100×3000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x≤50， 又∵x ＞0 ∴0＜x≤50； （II ）设这100万农民的人均年收入为y 元， 则y= (100－x )×3000×(1+2x %)+3000ax 100 = －60x 2+3000(a +1)x +300000 100 =－3 5 2+3000+475(a +1)2 (0 （i ）当0<25(a +1)≤50，即0＜a ≤1，当x=25(a +1)时，y 最大； （ii ）当25(a +1)＞50，即a ＞1，函数y 在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y 取最大值 答：在0＜a ≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 7.已知二次函数 ),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足： 对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当∈x （1，3）时，有2)2(8 1 )(+≤ x x f 成立。 （1）证明：2)2(=f ; （2）若)(,0)2(x f f =-的表达式; （3）设x m x f x g 2)()(-= ,),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直线4 1 =y 的上方，求 实数m 的取值范围。 解析：（1）由条件知 224)2(≥++=c b a f 恒成立 又∵取x=2时，2)22(8 1 24)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立, ∴2)2(=f . （2）∵?? ?=+-=++0 24224c b a c b a ∴,124==+b c a ∴a c b 41, 21 -==. 又 x x f ≥)(恒成立，即0)1(2 ≥+-+c x b ax 恒成立. ∴0)41(4)121 ( ,02≤---=?>a a a ， 解出：21 ,21,81===c b a , ∴2 1 2181)(2++=x x x f . （3）由分析条件知道，只要)(x f 图象（在y 轴右侧）总在直线 4 1 2+=x m y 上方即可，也就是直线的斜率 2 m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是： ???????+=++=4 122 1 21812x m y x x y ∴)2 2 1,(+-∞∈m . 解法2：),0[4 1 21)221(81)(2+∞∈>+-+=x x m x x g 在必须恒成立, 即 ),0[02)1(42 +∞∈>+-+x x m x 在恒成立. ①△<0，即 2 －8<0，解得：2 2 1221+ <<- m ; ②?? ? ??>=≤--≥?0 2)0(0)1(20 f m 解出：221-≤m . 总之，)2 21,(+ -∞∈m . 二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。 一元二次方程专题复习 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个 数为（） Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图 象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与 x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不 等式ax2＋bx＋c＜0的解集 是 . 例5. 已知P（3,m -)和Q（1，m）是抛物线2 21 y x bx =++上的两点． （1）求b的值； 22 y mx x m =+-m x （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有 一个交点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=Ｏ 第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的 横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表： 【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高； 逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学 生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）课前准备】教具：“几何画板”及PPT 课件. 粉笔：用于板书示范. 第1 页共4 页 一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人． 一元二次不等式的解法（一） 学习目标： 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。 3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： . 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 （ （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ，计算判别式?; ①0>?时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0=?时，求根a b x x 221-==； ③0--x x ； （3）0652 >--x x （4）0442 >+-x x ； （5）0542 >-+-x x ； （6）23262x x x -++<- 举一反三： 【变式1】解下列不等式 （1）02322 >--x x ； （2）02232 >+--x x （3）01442 ≤+-x x ； （4）0322 >-+-x x . （5）()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342 <-≤x x 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三： 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ，则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集，求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数，求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集，求m 的取值范围. 第1节 不等式的性质与一元二次不等式 最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图 . 知 识 梳 理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法???a －b ＞0?a ＞b ，a －b ＝0?a ＝b ，a －b ＜0?a ＜b ； (2)作商法?????a b ＞1?a ＞b （a ∈R ，b ＞0），a b ＝1?a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1?a ＜b （a ∈R ，b ＞0）. 2.不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0 n ∈N ，n ≥2). 3.三个“二次”间的关系 [常用结论与微点提醒] 1.有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则b a< b＋m a＋m ； b a> b－m a－m (b－m>0). (2)若ab>0，且a>b?1 a< 1 b. 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形. 3.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b?ac2＞bc2.() (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.() (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.() (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.() 解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0时，a＞b?/ ac2＞bc2. (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为?. (4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立. 答案(1)×(2)√(3)×(4)× 2.(教材习题改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有() 一元二次不等式及其解法练习 班级： 姓名： 座号： 1 比较大小： （1）2 6+ （2）2 21)-； （3 ； （4）当0a b >>时，12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d >><>? （4）2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >> 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11 a b <，③33a b >，④lg lg a b >， 其中成立的是 . 5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化 8.（1）已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. （2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2 π - B ．[,0]2π - C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. （1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤. 一元二次不等式知识点归纳 解一元二次不等式的步骤： >0（或 <0）（ a>0） ①将二次项系数化为“ +”：A= ② 计算判别式，分析不等式的解的情况： ⅰ.>0 时，求根<， ⅱ.=0时，求根＝＝， ⅲ.<0 时，方程无解， ③ 写出解集。 【典型例题】 例 1.解不等式 （1）（2） （3） 解：（1）因为。所以，原不等式的解集是。 （2）因为。 所以，原不等式的解集是。 （3）整理，得。 因为无实数解， 所以不等式的解集是。 从而，原不等式的解集是。 例 2.解关于x的不等式 分析：此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。 解： （1）当有两个不相等的实根。 所以不等式的解集是： （2）当有两个相等的实根， 所以不等式（3）当，即； 无实根 所以不等式解集为。 例 3.若不等式对于x取任何实数均成立，求k 的取值范围。 解：∵ （∵4x 2 +6x+3 恒正）， ∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（ k－ 3）x+3－k>0 对 x取任何实数均成立。 22 ∴=[ －2（ k－ 3）] － 8（ 3－k）<0k －4k+3<01 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==； 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ① 解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ① 一元二次不等式解法一、知识梳理 1．“三个二次”的关系 2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 口诀：大于取两边，小于取中间． 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3 2 ， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)． 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1， ①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1二元二次方程组-解法-例题
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