广东省2016年中考数学试题(含解答)

2016年广东省初中毕业生学业考试

数 学

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1、-2的绝对值是（ ）

A 、2

B 、-2

C 、12

D 、1-2

答案：A

考点：绝对值的概念，简单题。 解析：－2的绝对值是2，故选A 。

2、如图1所示，a 和b 的大小关系是（ ） 图1 A 、a ＜b B 、a ＞b C 、a=b D 、b =2a 答案：A

考点：数轴，会由数轴上点的位置判断相应数的大小。

解析：数轴上从左往右的点表示的数是从小往大的顺序，由图可知b ＞a ，选A 。 3、下列所述图形中，是中心对称图形的是（ ）

A 、直角三角形

B 、平行四边形

C 、正五边形

D 、正三角形 答案：B

考点：中心对称图形与轴对称图形。

解析：直角三角形既不是中心对称图形也不轴对称图形，正五边形和正三角形是轴对称图形，只有平行四边是中心对称图形。

4、据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜旅客约27700000人，将27700000用科学计数法表示为（ ）

A 、7

0.27710? B 、8

0.27710? C 、7

2.7710? D 、8

2.7710? 答案：C

考点：本题考查科学记数法。

解析：科学记数的表示形式为10n

a ?形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，27700000＝7

2.7710?。故选C 。

b

a

5、如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连接EF 为边的正方形EFGH 的周长为（ ）

A 、2

B 、22

C 、21+

D 、221+ 答案：B

考点：三角形的中位线，勾股定理。

解析：连结BD ，由勾股定理，得BD ＝2，因为E 、F 为中点，所以，EF ＝

2

2

，所以，正方形EFGH 的周长为22。

6、某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数为（ ）

A 、4000元

B 、5000元

C 、7000元

D 、10000元 答案：B

考点：考查中位数的概念。

解析：数据由小到大排列，最中间或最中间的两个数的平均数为中位数，所以，中位数为5000元。 7、在平面直角坐标系中，点P （－2，－3）所在的象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 答案：C

考点：平面直角坐标。

解析：因为点P 的横坐标与纵坐标都是负数，所以，点P 在第三象限。 8、如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（4,3），那么cos α的值是（ ） A 、

34 B 、43 C 、35 D 、4

5

答案：D

考点：三角函数，勾股定理。

解析：过点A 作AB 垂直x 轴与B ，则AB ＝3，OB ＝4，

由勾股定理，得OA ＝5，所以，4

cos 5

OB OA α=

=，选D 。

A

B

D C G

H

F

E

α

o

x

y

A

9、已知方程238x y -+=，则整式2x y -的值为（ ）

A 、5

B 、10

C 、12

D 、15 答案：A

考点：考查整体思想。

解析：把x －2y 看成一个整体，移项，得x －2y ＝8－3＝5。

10、如图4，在正方形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积y 与点P 运动的路程x 之间形成的函数关系的图象大致是（ ）

答案：C

考点：三角形的面积，函数图象。 解析：设正方形的边长为a ， 当点P 在AB 上时，y ＝

211()22

a a a x -??-＝1

2ax ，是一次函数，且a ＞0，所以，排除A 、B 、D ，

选C 。当点P 在B C 、C D 、AD 上时，同理可求得是一次函数。 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11、9的算术平方根为 ； 答案：3

考点：算术平方根的概念。

解析：9的算术平方根为3，注意与平方根概念的区别。 12、分解因式：2

4m -= ； 答案：()()22m m +-

考点：因式分解，平方差公式。

解析：由平方差公，得：2

2

2

42m m -=-=()()22m m +-

13、不等式组1222132x x x x --??

-???

≤＞的解集为 ；

答案：31x -＜≤

考点：不等式的解法，不等式组的解法。 解析：由122x x -≤-，得：1x ≤，由21

32

x x ->，得：3x >-， 所以，原不等式组的解集为31x -＜≤

14、如图5，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12cm ，OA =13cm ，则扇形AOC 中AC ?

的长是 cm ；（结果保留π）

答案：10π

考点：勾股定理，圆锥的侧面展开图，弧长公式。

解析：由勾股定理，得圆锥的底面半径为：221312-＝5， 扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2510ππ?=

15、如图6，矩形ABCD 中，对角线AC =23，E 为BC 边上一点，BC =3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线AC 上的B ’处，则AB = ；

答案：3

考点：三角形的全等的性质，等腰三角形的判定与性质。

解析：由折叠知，三角形ABE 与三角形A 'B E 全等，所以，AB ＝A 'B ，BE ＝'B E ， ∠A 'B E ＝∠ABE ＝90°

又BC ＝3BE ，有EC ＝2BE ，所以，EC ＝2'B E ，所以，∠ACE ＝30°，∠BAC ＝60°， 又由折叠知：∠'B AE ＝∠BAE ＝30°，所以，∠EAC ＝∠ECA ＝30°， 所以，EA ＝EC ，又∠A 'B E ＝90°，由等腰三角形性质，知'B 为AC 中点， 所以，AB ＝A 'B ＝

1

32

AC = 16、如图7，点P 是四边形ABCD 外接圆⊙O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD 是⊙O 的直径，AB =BC =CD ，连接PA ，PA ，PC ，若PA =a ，则点A 到PB 和PC 的距离之和AE +AF =

.

答案：

31

2

a + 考点：三角函数，圆的性质定理。

解析：连结O B 、OC ，因为AB ＝BC ＝CD ，所以，弧A B 、弧B C 、弧CD 相等， 所以，∠AOC ＝∠BOC ＝∠COD ＝60°，所以，∠CPB =∠APB =30°，所以，AE ＝11

22

PA a =， ∠APC =60°，在直角三角形APF 中，可求得：AF =3

2

a . 所以，AE ＋AF ＝

31

2

a + 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17、计算：(

)

1

0132016sin302-??--+-- ???

考点：实数运算。 解析：原式=3－1+2=4 18、先化简，再求值：

223626

699

a a a a a a +-?+++-，其中31a =-. 考点：分式的化简与求值。

解析：原式=

()()()()

22336

333a a a a a a -+?+

+-+ =

()()

6233a

a a a a +++

=

()

()

233a a a ++=

2a

， 当31a =-时， 原式=

23131

=+-.

19、如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点.

（1）请用尺规作图法作边AC 的中点E ，并连接DE （保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，若DE =4，求BC 的长.

考点：尺规作图，三角形的中位线定理。

解析：（1）作AC 的垂直平分线MN ，交AC 于点E 。 （2）由三角形中位线定理，知： BC =2DE =8

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20、某工程队修建一条长1200m 的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务.

（1）求这个工程队原计划每天修道路多少米？

（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

考点：列方程解应用题，分式方程。

解析：解：设（1）这个工程队原计划每天修建道路x 米，得：

12001200

4(150%)x x

=++ 解得：100x =

经检验，100x =是原方程的解

答：这个工程队原计划每天修建100米.

D A B

C

21、如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，

∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HCI，∠HCI=90°，若AC=a，求CI的长.

考点：三角形的内角和，三角函数的应用。

解析：由题意，知：∠A＝∠EDC＝∠GFC＝∠IHC＝60°，

因为AC＝a，故DC＝ACsin60°＝

3

2

a，

同理：CF＝DCsin60°＝3

4

a，CH＝CFsin60°＝

33

8

a，

CI＝CHsin60°＝9

8 a。

22、某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：

（1）这次活动一共调查了名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于度；

（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是人

.

考点：条形统计图，扇形统计图，统计知识。

解析：（1）由题意：

80

32%

＝250人，总共有250名学生。

P

H

A

C

B

E

G I

D

F

（2）篮球人数：250－80－40－55＝75人，作图如下：

（3）依题意得：

75

360250

??＝108° （4）依题意得：1500?0.32＝480（人）

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23、如图10，在直角坐标系中，直线()10y kx k =+≠与双曲线2

y x

=（x ＞0）相交于P （1，m ）. （1）求k 的值；

（2）若点Q 与点P 关于y=x 成轴对称，则点Q 的坐标为Q （ ）； （3）若过P 、Q 两点的抛物线与y 轴的交点为N （0，5

3

），求该抛物线的解析式，并求出抛物

线的对称轴方程.

考点：一次函数、反比例函数与二次函数。 解析：（1）把P （1，m ）代入2

y x

=

，得2m =， ∴P （1，2） 图10 把（1，2）代入1y kx =+，得1k =， （2）（2，1）

（3）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，得：

24215

3a b c a b c c ?

?++=?++=???=

?

，解得23a =-，1b =，53c =

∴225

33

y x x =-

++， ∴对称轴方程为13

223

x =-

=-. 24、如图11，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC =30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点F .

（1）求证：△ACF ∽△DAE ； （2）若3

=

4

AOC S △，求DE 的长； （3）连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线.

图11 考点：三角形的相似，三角形的全等，圆的切线的性质与判定定理，三角形的面积公式。 解析：（1）∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC =90°，

又∠ABC =30°， ∴∠ACB =60°， 又OA =OC ，

∴△OAC 为等边三角形，即∠OAC =∠AOC =60°， ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠OAF =90°， ∴∠CAF =∠AFC =30°， ∵DE 为⊙O 的切线，

C

O

F

D

E

B

A

∴∠DBC =∠OBE =90°， ∴∠D =∠DEA =30°，

∴∠D =∠CAF ，∠DEA =∠AFC ， ∴△ACF ∽△DAE ；

（2）∵△AOC 为等边三角形， ∴S △AOC =

234OA =

3

4

， ∴OA =1， ∴BC =2，OB =1， 又∠D =∠BEO =30°， ∴BD =23，BE =3， ∴DE =33；

（3）如图，过O 作OM ⊥EF 于M ，

∵OA =OB ，∠OAF =∠OBE =90°，∠BOE =∠AOF ， ∴△OAF ≌△OBE ， ∴OE =OF ， ∵∠EOF =120°， ∴∠OEM =∠OFM =30°，

∴∠OEB =∠OEM =30°，即OE 平分∠BEF ， 又∠OBE =∠OME =90°， ∴OM =OB ， ∴EF 为⊙O 的切线.

25、如图12，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC =2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连接P A 、QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接O A 、OP . （1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？ （2）请判断O A 、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y =OPB S ，BP =x （0≤x ≤2），求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值.

考点：特殊四边形的判定与性质，三角形的全等，二次函数。 解析：（1）四边形APQD 为平行四边形； （2）OA =OP ，OA ⊥OP ，理由如下：

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB =BC =PQ ，∠ABO =∠OBQ =45°， ∵OQ ⊥BD ， ∴∠PQO =45°，

∴∠ABO =∠OBQ =∠PQO =45°， ∴OB =OQ ， ∴△AOB ≌△OPQ ， ∴OA =OP ，∠AOB =∠POQ ， ∴∠AOP =∠BOQ =90°，

∴OA ⊥OP ；

（3）如图，过O 作OE ⊥BC 于E .

①如图1，当点P 在点B 右侧时， 则BQ =2x +，OE =

2

2

x +， ∴1222x y x +=??，即()2

11144y x =+-，

又∵02x ≤≤，

∴当2x =时，y 有最大值为2； ②如图2，当点P 在B 点左侧时， 则BQ =2x -，OE =

22

x -，

∴

12

22

x

y x

-

=??，即()2

11

1

44

y x

=--+，

又∵02

x

≤≤，

∴当1

x=时，y有最大值为1

4

；

综上所述，∴当2

x=时，y有最大值为2；