卫星的轨道与运行
母题5、卫星的轨道与运行
【方法归纳】卫星绕天体做圆周运动，万有引力提供向心力，卫星圆周运动轨道的圆心一定为天体中心，卫星的轨道一定处在通过天体中心的平面内。处在同一轨道平面内的卫星，轨道半径越小，线速度越大，周期越小，角速度越大。同步卫星运行周期等于地球自转周期，相对地面静止。
例48（2010四川理综卷第17题）.a 是地球赤道上一栋建筑，b 是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方（如图甲所示），经48h ，a 、b 、c 的大致位置是图乙中的（取
地球半径R=6.4×106m ，地球表面重力加速度g=10m/s 2，π=
【解析】b 、c 都是地球卫星，共同遵循地球对它们的万有引力提供向心力，c 是地球同步卫星，c 在a 的正上方，对b 有G
()
2
M m
R h +=m (R+h)2
2T π??
?
??
，G
2
M m R
=mg ，
联立可得：T=2π×104
s ，经48h ，b 转过的圈数4
4836008.64210
n ?=
=?，
所以选项B 正确。
【答案】B
【点评】处在同一轨道平面内的卫星，轨道半径越小，线速度越大，周期越小，角速度越大。
衍生题1、（2009年海南物理第6题）．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则
A ．
4/3
1
122g T g T ??= ???
B ．
4/3
1
221g T g T ??= ???
D ．
2
1122g T g T ??= ???
D ． 2
1221g T g T ??= ???
【解析】卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有2
G M m R
＝m 2
2(
)
T
πR,
可得
23
T R
＝K 为常数，由重力等于万有引力
2
G M m R
＝mg ，联立解得g
＝则g
与4
3T 成反比。 【答案】：B
【点评】卫星所在高度上的重力加速度等于所在处万有引力与质量的比值。
衍生题2. 如图所示，a 是地球赤道上一点，某时刻在a 的正上方有三颗轨道位于赤道平面的卫星b 、c 、d ，各卫星的运行方向均与地球自转方向（图中已标出）相同，其中d 是地球同步卫星。
从该时刻起，经过一段时间t （已知三颗卫星的周期都大于t ），各卫星相对a 的位置最接近实际的是
【解析】：根据图中卫星b 、c 、d 轨道半径的关系可知，r d > r c > r b 。由轨道半径与周期关系可知T d > T c > T b 。由于d 是地球同步卫星，与地球赤道上一点a 相对静止，角速度关系为ωa =ωd ，ωb >ωc >ωa =ωd 。卫星b 相对地面速度最大，所以各卫星相对a 的位置最接近实际的是D 。 【答案】D
【点评】此题考查利用卫星的运动等知识定性分析能力。
衍生题3．（2010上海物理）如图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M >> m 1，M >> m 2）.在C 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比r a :r b =1:4,则它们的周期之比T a :T b =______;从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了____次。 【解析】根据r T
m
r
2
2
2
4Mm G
π=，得GM
r T 3
24π=
,所以T a :T b
=1:8。在b
运动一周的过程中，a 运动8周，所以a 、b 、c 共线了8次。 【答案】1:8 8
【点评】此题考查万有引力定律、匀速圆周运动和圆周运动中的追击相遇问题。 衍生题4. （2006江苏物理）如图所示，A 是地球的同步卫星。另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面 内，离地面高度为 h 。已知地球半径为 R ，地球自转角速度为ω，地球表面的重力加速度为 g ，O 为地球中心。 （1）求卫星 B 的运行周期。
（2）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【解析】：（1）由万有引力定律和向心力公式得，
()
()2
2
2B M m
G
m R h T R h π??
=+ ?
+??
…①
2
M m G m g
R
=…………………②
联立①②得：
2B T π
=…………………③
（2）由题意得 (ωB -ω0)
t =2π………………………④
由③得ωB =2B
T π=
代入④得
2t π
=
。
【点评】此题以卫星切入，意在考查万有引力定律、卫星的运动、圆周运动的追击和相遇问题。
衍生题5.可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 A ．与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆 B ．与地球表面上某一经度线所决定的园是共面同心圆
C ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是静止的
D ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是运动的
【解析】若人造地球卫星的圆轨道与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆，则向心加速度的方向指向地轴，而所受万有引力指向地心，违背牛顿第二定律，显然这是不可能的，选项A 错误；若地球不自转，则人造地球卫星的圆轨道可以与地球表面上某一经度线所决定的园是共面同心圆。由于地球自转，某一经度线所决定的园面在随地球一起自转，而人造地球卫星的圆轨道不能随地球自转一起转动，选项B 错误。 【答案】CD
【点评】判断地球的可能轨道，只要看该轨道所在平面是否过地球球心。若轨道所在平面过球心，则该轨道是可能的；否则，就是不可能的。
衍生题6（2012内蒙古包头期中）图中的圆a 、b 、c ，其圆
心均在地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言（ ）
A.卫星的轨道可能为a
B.
卫星的轨道可能为b C.卫星的轨道可能为c D.同步卫星的轨道一定为b
【解析】：卫星在万有引力作用下绕地球运动，卫星的轨道必须在经过地心的平面内，所以卫星的轨道能为b 、c ；同步卫星的轨道一定在赤道上空且距地面大约36000km ，但不一定为b ，选项BC 正确。 【答案】BC
【点评】卫星圆周运动轨道的圆心一定为天体中心，卫星的轨道一定处在通过天体中心的平面内。
衍生题7(2012河南信阳调研考试)图示为宇宙中一恒星系的示意图,A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O 的运行轨道近似为圆。已知引力常量为G ,天文学家观测得到A 行星的运行轨道半径为R 0，周期为T 0。 (1)中央恒星O 的质量是多大？
(2) 长期观测发现A 行星每隔t 0时间其运行轨道便会偏离理论轨道少许，天文学家认为出现这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行的圆轨道与A 在同一平面内，且与A 的绕行方向相同)。根据上述现象和假设，试估箅未知行星B 的运动周期和轨道半径。
【解析】：（1）设中央恒星O 的质量为M ，A 行星的质量为m ， 则由万有引力定律和牛顿第二定律得G
2
M m R =mR 02
2T π??
?
??
解得：M=2
2
020
4R G T π.
（2）由题意可知，B 相距最近时，B 对A 影响最大，且每隔t 0时间相距最近，设B 行星的周期为TB ，则有ω0 t 0-ωB t 0=2π，ω0=2π/T 0，ωB =2π/T B ， 联立解得： T B =
0000
t T t T -。
设B 行星的运动轨道半径为R B ，根据开普勒第三定律有 33
B R R =
22
B T T
解得：R B=R0
【点评】此题实际上是根据太阳系中未知行星的发现为素材命制的，意在考查中央天体质量的计算、行星的最近计算