线性系统状态空间分析与运动解

【实验地点】课外(宿舍) 【实验目的】

1、学会利用MATLAB 实现离散系统传递函数模型的生成

2、学会利用MATLAB 将连续系统离散化 【实验设备与软件】

1、MATLAB/Simulink 数值分析软件

2、计算机一台 【实验原理】

1、求矩阵特征值和特征向量命令格式[V J]=eig （A ） Cv=eig(A)

说明：V 特征向量，J 是Jordan 型，cv 是特征值列向量 2、求运动的方法

（1）利用Laplace 逆变换----适合于连续/离散线性系统

采用ilaplace/iztrans 对传递函数求逆，这种方法一般是零输入情况下求响应。 （2）用连续（离散）状态转移矩阵表示系统解析解----适合于线性定常系统 对连续定常系统有：

假设初始时刻为零，LTI 系统的解析解为dt Bu e

e

x e t x t

At

At

At

??+=0

)()0()(τ。若u （t ）是单位

阶跃输入，则上述解可写成dtBu e

e x e t x t

At

At At ??+=0

)()0()(τ。进一步简化为：

Bu A Bu A x e t x At 11))0(()(---+=

对离散线性定常系统有：

∑---+

=1

1

)()0()(k i k

k

i Hu G x G k x

（3）状态方程的数值分析方法----适合于连续线性系统和非线性系统

采用直接数值积分很容易的处理各种定常/时变和线性/非线性系统。有很多数值积分方法，其中有一类预测-修正数值积分方法+自适应步长调整的算法比较有效。在MATLAB/Simulink 中包含的多种有效的、适用于不同类型的ODE 求解算法，典型的是Runge-Ktuta 算法，其通常使用如下的函数格式：

[t,x]=ode45(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用四阶、五阶Runge-Ktuta 算法 [t,x]=ode23(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用二阶、三阶Runge-Ktuta 算法 说明：a.这两个函数是求解非刚性常微分方程的函数。

b.参数options 为积分的误差设置，取值为相对误差‘reltol ’和绝对误差‘abstol ’;[ti,tf]求解的时间范围；x0是初值是初值向量；[t,x]是解。

（4）利用CotrolToolBox 的离散化求解函数----适合于TLI 系统 用step （）/impulse()函数求取阶跃输入/冲激输入时系统的状态响应： 当系统G 是连续的情况下：

调用[y,t,x]=step/impulse(G )会自动对连续系统G 选取采样时间范围和周期；

调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)由用户自己定义对连续系统G 的样时间范围和周期； 当系统G 是离散的情况下:

调用[y,t,x]=step/impulse(G )会按离散系统G 给出的采样周期计算；

调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)是Ts 必须与离散系统G 的采样时间范围和周期一致。 另外lsim()函数调用格式：[y,x,t]=lsim(G,u,ti,TS,tf,x0) 零输入响应调用函数initial （）,格式：[y,x,t]=(G,x0) (5)利用simulink 环境求取响应----适用于所有系统求取响应

使用simulink 求取线性或非线性系统的响应，调用格式如下：

[t,x,y]=sim(‘XX.mdl’,ti:Ts:tf,options,u)

【实验内容】

已知线性系统：])

(201)()

(2

10)(404040202119201921)(t x t y t u t x t x +-----?

已知线性系统

1、利用Matlab 求零状态下的阶跃响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。

状态响应曲线：

A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40]; B=[0;1;2]; C=[1 0 2];

D=[0]; %输入状态空间模型各矩阵,若没有相应值,可赋空矩阵 X0=[0;0;0]; % 输入初始状态 sys=ss(A,B,C,D); %构造传递函数

[y,x,t]=step(sys); % 绘以时间为横坐标的状态响应曲线图 plot(t,x); grid;

title('状态响应曲线') 输出响应程序：

A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40]; B=[0;1;2]; C=[1 0 2]; D=0; X0=[0;0;0]

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1); sys=tf(num,den); step(sys) grid

title('输出响应曲线')

图一（状态响应曲线）图二（输出响应曲线）

2、利用Matlab求零状态下的冲激响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。

状态响应曲线程序:

A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];

B=[0;1;2];

C=[1 0 2];

D=[]; %输入状态空间模型各矩阵,若没有相应值,可赋空矩阵

x0=[0;0;0]; % 输入初始状态

sys=ss(A,B,C,D); %构造传递函数

[y,x,t]= impulse(sys);

plot(t,x);

grid;

title('状态响应曲线')

输出响应曲线程序:

A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];

B=[0;1;2];

C=[1 0 2];

D=0;

X0=[0;0;0]

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);

sys=tf(num,den);

impulse(sys);

grid;

title('')

图三（状态响应曲线'）

图四（输出响应曲线）

3、若控制输入为，且初始状态为，求系统的响应，要求

a.在simulink 只能够画出模型求响应，生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。

程序如下： t=[0:0.01:5];

u=(1+exp(-t).*cos(5*t)).*(t<3)+1*(t>=3); t=t'; u=u'; ut=[t,u];

[t1,x,y]=sim('shiyan5.mdl',t,[],ut); plot(t1,x) figure(2); plot(t1,y) 创建的模型图如下：

图五（模型图）

b.编写.m 文件求响应，生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。

状态响应曲线：

t=[0:0.02:5];

u=(1+exp(-t).*cos(5*t)).*(t<3)+1*(t>=3);

t=t';

u=u';

A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];

B=[0;1;2];

C=[1 0 2];

D=[0]; %输入状态空间模型各矩阵,若没有相应值,可赋空矩阵 X0=[0.2;0.2;0.2]; % 输入初始状态u=(t==0); %就是个条件判断，只有t=0的时候，u才为“1”

sys=ss(A,B,C,D); %构造传递函数

plot(t,x);

grid;

title('状态响应曲线')

输出响应曲线：

plot(t,y);

grid;

title('输出响应曲线')

图六（状态响应曲线）图七（输出响应曲线）

4、以阶跃输入情况下的，分析各模块对响应有什么影响。

图八（阶跃输入时）

阶跃输入的图像到答稳定时间快，曲线平滑

5、求系统的传递函数

在MATLAB软件Command Window窗口中输入以下程序

A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];

B=[0;1;2];

C=[1 0 2];

D=0;

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);

printsys(num,den)

程序运行结果为

图七

6、若采用K增益负反馈，绘制闭环根轨迹图，并对根轨迹加以描述说明。A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];

B=[0;1;2];

C=[1 0 2];

D=0;

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);

rlocus(num,den);

grid

title('K增益负反馈闭环根轨迹图')

图九（K增益负反馈闭环根轨迹图）

采用K增益负反馈，画出如图所示的根轨迹图。由图可知，共有3条根轨迹，第一条最终趋于原点；第二条收敛在20~60之间；第三条最终趋于无穷远处。

7、在Matlab中绘制Bode图和Nyquist图，并对图给予说明。

绘制Bode图：

A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];

B=[0;1;2];

C=[1 0 2];

D=0;

sys=tf(num,den)

bode(num,den)

grid

title('Bode图')

汇出的波特图如图所示，由图可知，对复制响应分析可得，交越频率在转折频率之后，故复制的变化主要发生在低频段。对相频特性进行分析，可知此系统的相频特性角度均为负值，并且最后的相角是趋于-90度的。

绘制Nyquist图：

nyquist(sys)

title('Nyquist图 ')

图十（波特图）

图十一（Nyquist 图）

画出的奈奎斯特图如上所示，根据此图可知，此系统是稳定的系统，由奈奎斯特曲线可以分析出此系统的稳定性。

【实验结论与总结】

经过本次试验我们了解了线性系统状态空间，知道如何在simulink 中用状态方程搭建系统仿真模型，以及调用模型。不同输入对对系统有着一定的影响。如何把方程转换成simulink 中的方块模型是非常重要的，在本次实验中，最困难的地方在于运用Simulink 生成图形，在这过程中由于要利用到sim 函数，不熟悉导致出错后来经过检查才改正错误。