福建省福州市2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷及答案

福州市2018届高三上学期期末考试

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合()(){}610A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ?=（ ） A ．()1,6- B ．()1,1- C ．()1,6 D ．?

2.若复数11a

z i

=

++为纯虚数，则实数（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

3.已知()()1,2,1,1a b ==-r r ，2c a b =-r r r

，则c =r （ ）

A ．

24sin 15cos15?-??= （ ）

A ．

1

2

B C ．1 D

5.已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 若点M 在C 上，且

12MF MF ⊥，M C 的方程为（ ）

A ．22148x y -

= B ．22148y x -= C ．2212y x -= D ．22

12

x y -=

6.已知圆柱的高为2表面积等于（ ） A ．4π B ．

163π C ．32

3

π D ．16π 7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）

A ．23

B ．38

C ．44

D ．58 8. 将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移

1

2

个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．sin 2cos y x x =- B ．2sin cos y x x =- C ．sin 2cos y x x =-+ D ．2sin cos y x x =--

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

A ．24223+

B ．22243+

C ．263+．842+10.已知函数()22log ,0,

41,0.x x a x f x x -+>??=?-≤??

若()3f a =，则()2f a -=（ ）

A ．1516-

B ．3

C ． 6364-或3

D ．15

16

-或3

11.过椭圆()22

22:10x y C a b

a b =>>+的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和

上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．? ??

B ．?????

C ．? ??

D ．?????

12.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()2

0f x af x -≤????恰有3个整数解，则实数a 的最小值为（ ）

A ．1

B ．2e

C ．21e +

D ．331

e e

+

第Ⅱ卷（共90分）

13、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是 ．

14.曲线3222y x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．

15.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c )cos cos ,60a C c A b B -==?，则A 的大小为 ．

16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且21n n S a =-. （1）证明数列{}n a 是等比数列；

（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92. （1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；

（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在()

,x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%) 参考数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92≈≈≈.

19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90AB CD ABC ∠=?,224CD AB CE ===，点F 为棱DE 的中点.

（1）证明：//AF 平面BCE ；

（2）若4,120,25BC BCE DE =∠=?=，求三棱锥B CEF -的体积.

20.抛物线2:24C y x x a =-+与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P . （1）若点() 14,()Q x y x <<在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围； （2）证明：经过这三个交点的圆E 过定点.

21.已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）当a e =时，证明：()20x xf x e ex -+≤.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,

:sin x t C y αα=??=?

（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴

的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ?

?- ??

?.

（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；

（2）若曲线C 上存在点到l t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.

（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；

（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ??

? ???

，求 实数a 的取值范围.

参考答案

一、选择题

1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC

二、填空题

13.

2

3

14. y x = 15. 75? 16. 2100000 三、解答题

17. 解：（1）当1n =时，11121a S a ==-，所以11a =， 当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---， 所以12n n a a -=，

所以数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知，12n n a -=， 所以()1212n n b n -=-，

所以()()22113252232212n n n T n n --=+?+?++-?+-?L （1） ()()2121232232212n n n T n n -=?+?++-?+-?L （2）

（1）-（2）得：

()()12112222212n n n T n --=++++--?L

()1222

1221212

n n n --?=+?---

()3223n n =--，

所以()2323n n T n =-+.

18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）由（1）中的样本评分数据可得()1

928486788974837877898310

x =+++++++++=， 则有 ()()()()()()()2222222

21[928384838683788389837483838310

s =

-+-+-+-+-+-+-+ ()()()2

22

788377838983]33-+-+-=

（3）由题意知评分在(83之间，即()77.26,88.74之间，

由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为

5

100%50.0%10

?=.

另解：由题意知评分在(83，即()77.26,88.74之间，，从调查的40名用户评分数据中在()77.26,88.74共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为21

100%52.5%40

?=. 19.解法一：（1）证明：取CE 的中点M ，连接,FM BM . 因为点F 为棱DE 的中点， 所以//FM CD 且1

22

FM CD ==，

因为//AB CD 且 2AB =， 所以//FM AB 且FM AB =， 所以四边形ABMF 为平行四边形， 所以//AF BM ，

因为AF ?平面BCE ，BM ?平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .

（2）因为

//90AB CD ABC ∠=?,， 所以CD BC ⊥.

因为,254,2CD CE DE ===，所以222 C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥，

因为BC CE C ?=,BC ?平面BCE ，CE ?平面BCE , 所以CD ⊥平面BCE .

因为点F 为棱DE 的中点，且4CD =， 所以点F 到平面BCE 的距离为2. 11

sin 42sin1202322

BCE S BC CE BCE ?=

?∠=???=三棱锥B CEF -的体积1

23

B CEF F BCE BCE V V S --?==?1432323=?=.

解法二：（1）证明：在平面ABCD 内，分别延长,CB DA ，交于点N . 因为//,2AB CD CD AB =， 所以A 为DN 中点.

又因为F 为DE 的中点， 所以//AF EN .

因为EN ?平面BCE ，AF ?平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .

（2）同解法一.

解法三：（1）证明：取棱CD 的中点G ，连接,AG GF ， 因为点F 为棱DE 的中点， 所以//FG CE ，

因为FG ?平面BCE ，CE ?平面BCE ， 所以//FG 平面BCE ；

因为//,2AB CD AB CG ==， 所以四边形ABCG 是平行四边形， 所以//AG BC ，

因为AG ?平面BCE ，BC ?平面BCE ， 所以//AG 平面BCE ；

又因为FG AG G ?=,FG ?平面AFG ，AG ?平面AFG ， 所以平面//AFG 平面BCE ； 因为AF ?平面AFG ， 所以//AF 平面BCE .

（2）同解法一.

20.解法一：（1）由题意得()()()

()20,0,,2414P a a Q x x x a x ≠-+<<. 故224PQ

x x a

k x

-+=

24x =-

()2,4∈-

（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠. 令2240x x a -+=，解得421a

x -=±

， 故42421,1a a A B ????--- ? ? ? ?????

. 故可设圆E 的圆心为()1,M t ， 由2

2

MP MA =得，()

2

2

22

421a t a t -+-=+??

， 解得124a t =+，则圆E 的半径为2

1142a r MP ??

=+- ???

所以圆E 的方程为()22

2

11112442a a x y ????

-+--=+- ? ?????

，

所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ?

?+--++= ??

?，

即22112022x y x y a y ????

+--+-= ? ?????

.

由22

120,210,2

x y x y y ?+--=????-=?? 得012x y =???=??或212x y =???=??， 故E 都过定点110,,2,22???? ? ?????

.

解法二：（1）同解法一.

（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠，设抛物线C 与x 轴两交点分别为()()12,0,,0A x B x . 设圆E 的一般方程为：220x y Dx Fy G ++++=，则 2112

222

0,0,0.

x Dx G x Dx G a Fa G ?++=?++=??++=? 因为抛物线C 与x 轴交于()()12,0,,0A x B x ， 所以12,x x 是方程2240x x a -+=，即2202

a

x x -+=的两根， 所以2,2

a D G =-=

， 所以212G a F a a --?

?==-+ ??

?，

所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ?

?+--++= ??

?，

即22112022x y x y a y ????

+--+-= ? ?????.

由22

120,210,2

x y x y y ?+--=????-=?? 得012x y =???=??或212x y =???=??，

故E 都过定点110,,2,22???? ? ?????

.

21.解：（1）()()0e

f x a x x

'=

->， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数； ②若0a >，则当e x a <

时，()0f x '>；当e

x a

>时，()0f x '<.

故在0,e a ?? ???上，()f x 为増函数；在,e a ??

+∞ ???

上，()f x 为减函数.

（2）因为0x >，所以只需证()2x

e f x e x

≤-，

由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以()()max 1f x f e ==-.

记()()20x

e g x e x x

=->，则()()21x

x e g x x -'=

， 所以，当1x <<0时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以()()min 1g x g e ==-.

所以当 0x >时，()()f x g x ≤，即()2x e f x e x

≤-，即()20x

xf x e ex -+≤.

解法二：（1）同解法一.

（2）由题意知，即证2ln 20x ex x ex e ex --+≤，

从而等价于ln 2x

e x x ex

-+≤.

设函数()ln 2g x x x =-+，则()1

1g x x

'=

-. 所以当()0,1x ∈)时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<， 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. 从而()g x 在()0,+∞上的最大值为()11g =. 设函数()x

e h x ex

=，则()()21x e x h x ex -'=.

所以当()0,1x ∈)时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>. 故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递増. 从而()h x 在()0,+∞上的最小值为()11h =.

综上，当0x >时，()()g x h x <，即()20x xf x e ex -+≤.

22. 解：（1）因为直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ?

?-= ??

?cos sin 2ρθρθ+=，

所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=； 因为cos ,sin x t y αα=??=?

（α参数，0t >）

所以曲线C 的普通方程为2

221x y t

+=，

由22

22,1,x y x y t

+=???+=??消去x 得，()

2221440t y y t +-+-=， 所以()()

22016414t t ?-+-<=，

解得 0t <<，

故t

的取值范围为(.

（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l

的距离d =

，

故d

=

解得t =又因为0t >

，所以t =23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--，

123x x ?-+-≤，

1,323,x x ??-≤?

解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，

所以03x ≤≤，

故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.

（2）因为31,2M ??

? ???，

所以当31,2x ??

∈ ???

时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立，

而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ?--+-≤?-≤--， 因为31,2x ??

∈ ???

，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+，

由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ??

∈ ???

恒成立，

所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22??????

.