小波变换理论及应用

2011-2012 学年第一学期

2011级硕士研究生考试试卷

课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟

考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）；

B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）；

C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。

一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分）

二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分）

三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分）

四、平时成绩。（30分）

（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵

将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为

t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(?

∞+∞--=ψψ （ 1.1）

其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸

缩，b 为时间平移因子。其中)(|

|1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。

① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。

② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。

图1.5 计算小波变换系数示意图

③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。

④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。

⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。

图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247

小波变换的实质是用小波（微小的特定波形）与待分析信号波形分段求内积，所得的系数反映了小波与待分析信号的相似度，相似度越高则系数越高。通过改变平移因子b 可以实现对信号时频域的分析。通过改变尺度因子可以改变小波与待分析信号的相似度。最后由得到的系数和所选小波的特性可以知道待分析信号的特性或是待分析信号某一时段或频段的特征。

（二）从多分辨率（MRA ）的角度构造正交小波基

从数值计算数据压缩等角度，我们仍希望减小它们的冗余度，提出了寻找正交基的要求。 多分辨率的理论是指将信号分解到不同的尺度空间，实现在各个尺度上可以有粗及精地观察。由多分辨率的思想我们可以将任意函数,,(),()j k j k d f t t ψ=<>0()f t V ∈分解为细节部分1W 和大尺度逼近部分1V ,然后将大尺度逼近部分1V 进一步分解。如此重复就可以得到任意分辨率上的逼近部分和细节部分。在MRA 理论中同一尺度下小波函数和尺度函数分别满足。 1212()()()R

f t k f t k dt k k δ--=-? 同一尺度下小波函数,j k ψ同尺度函数,j k φ正交 ,,()()0j k j k t t dt ψφ=?

小波函数()t ψ和尺度函数()t φ在多分辨率分析中满足方程

01,0()()()()(2)n n n t h n t h n t n φφφ-==-∑

11,1()()()()(2)n n n

t h n t h n t n ψφφ-==-∑

这两个方程就是二尺度方程。利用二尺度方程可以构造出小波母函数，通过伸缩平移就得到整个平方可积空间的基。正交尺度函数{()}k z t k φ∈-构造正交小波基，还有当尺度函数为Riesz 基是构造的正交小波基函数。所以说MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。

（三）小波变换理论与工程应用方面的研究进展

摘要：小波变换作为一种数学理论和方法在科学技术界引起了越来越多的关注和重视。在数学家们看来，基于小波变换的小波分析技术是泛函分析、调和分析、数值分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁波、CT成像、机器视觉、机械故障诊断。

关键词; 小波变换工程应用

引言

小波分析(wavelet)是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展．作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域．从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看。小波分析又是计算机应用，信号处理，图形分析，非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破．由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学。应用科学，尤其是信息科学，信号分析的方方面面.本文将介绍小波分析的基本理论，产生背景及其在一些工程方面的应用。最后展望了小波分析应用研究的发展趋势。

1小波理论所涉及的基础数学知识:

小波理论所涉及的基础数学知识包括泛函分析、傅里叶分析、信号与系统、数字信号处理等方面的内容。在这里主要介绍泛函分析的基础知识：

泛函分析是上世纪初开始发展起来的一个重要数学分支，它是以集合论为基础的现在分析的一个基本组成部分。在泛函研究中，一个重要的基本概念是函数空间。所谓函数空间，即由函数构成的集合。下面列出几个简单的函数空间的定义。

1.1距离空间

设X是一个非空集合，如果X中任意两个元素x与y，都对应一个实数p(x,y)而且满足:

(1)非负性:p(x,y)>=0,当且仅当x=y时，p(x,y)=0。

(2)对称性：p(x,y)= p(y,x)。

(3)三角不等式: 对于任意的X中的x,y,z ，p(x,z)<=p(x,y)+p(y,z)都成立

1.2线性空间

设X为一非空集合，若在X中规定了线性运算——元素的加法和元素的数乘运算，并满足相应的加法或数乘的结合律及分配律，则称X为一线性空间或向量空间。对于线性空间的任一向量我们用范数来定义其长度。

1.3平方可积空间

L2(μ(X))表示X 上所有在几乎处处（almost everywhere）意义下平方可积（square-integrable）的复值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。

1.4巴拿赫空间Banach Space

巴拿赫空间是一个完备的赋范矢量空间Normed Vector Space，它是希尔伯特空间的推广。巴拿赫空间定义为完备的线性赋范矢量空间。即是说，它是一个实数或复数的矢量空间并且有一个完备的范数||·|| ，即其每个柯西Cauchy序列都是收敛列。

2重要的小波理论;

2.1小波变换的提出

傅里叶变换在平稳信号分析中可以知道信号所含有的频率信息，但是不能知道这些频率信息究竟出现在那些时间段上，可见若要提取局部时间段（或瞬间）的频域特征信息，傅里叶变换已经不再适用了。

1946年Carbor 提出了加窗的Fourier 变换。其基本思想是取时间函21/4/2g()t t e π--= 作为窗口函数，用g()t τ-同待分析函数()f t 相乘，然后在傅里叶变换：

',(,)()()()()j t f R

G f t g t e dt f t g t ωωτωττ--=? （2．1） ',()()()jwt jwt g t g t e

g t e ωτττ--=-=- （2．2） 这一加窗变换使得我们可以分析出一个信号在任意局部范围的频率特征，这是比傅里叶变换优越之处。这一类加窗变换Fourier 变换统称为短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform ，简称为STFT ）。但是其时频窗口不随频率和时间的变化而变化，使它的灵活性与普遍性运用受到限制。

2.2小波变换基本理论

为了使得短时傅里叶变换的时，频窗口均随频率的变化而变化，以实现对低频分量采用大时窗，对高频分量采用小时窗的符合自然规律的分析方法。我们设计一组连续变化的伸缩平移基,()a t τψ，()t ψ称为连续小波基函数，来代替STFT 中的',()()jwt g t g t e ωττ-=-。

小波函数的确切定义为：设()t ψ为一平方可积函数，也即2()L R ψ∈，若傅里叶变换()ωψ满足条件：2()r d ωωωψ<∞? （2．3）

则()t ψ称为一个基本小波或小波母函数，并称式（2.3）为小波函数的可容许性条件。 连续小波变换：将任意平方可积空间中的f （t ）在小波基下进行展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记为CWT ）其表达式为

,()(,)(),()()()f a R

t WT a f t t f t dt a τττψψ-=<>=（2．4） 由表达式可知小波变换也是类似于傅里叶变换，但小波变换与STFT 本质不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而当分析高频信号时，其时间窗很小。这与实际问题中的高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的自然规律相符合，这种对信号有“自适应”使得小波变换广泛的应用于时频联合分析及目标识别领域。因为CWT 得冗余性较大计数值实现的需要,我们常采用离散型式。对某一

确定的尺度因子001,0a b >>,我们选择:相000,,,m m a a b nb a m n Z ==∈应的离散小波为

/2m,n 000()m m a a x nb ψψ-=-。

对ψ和0a ,0b 做某些特殊的选择,则m,n ψ可以构成2()L R 的标准正交基。

所谓小波就是小的波形,”小”即在时频域都具有紧支集。通常选取紧支集或近似紧支集的具有正则性的实数或复数函数作为小波母函数，以使小波母函数在时频域有较好的局部性。“波”是指具有波动性。小波分析优于傅里叶变换分析在于：

（ａ）在时频域同时具有良好的局部性：

小波的“自适应”能力正好符合低频信号变化缓慢而高频变化快的特点，特别适合处理瞬变信号。小波能对高频采用逐渐精细的时域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，被誉为“数学显微镜”

（ｂ）基的多样性：

小波分析与Fourier 分析的实质都是将信号f （t ）投影在一组正交基上，所不同的是Fourier 分析对f （t ）只用唯一的基{exp （iwx ）}：而小波基的家族是庞大的，同一f （t ）可投影在不同的小波基上。

小波分析将非平稳信号分解为各种小波的组合， 而所有的小波函数形式不是确定的, 即小波函数具有多样性。在实际应用中，一个重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前主要通过小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定下小波基。我们实际使用一个“巨大的库”来描述信号, 这个库是按照某种组织原理进行管理的秩序井然的库，内容极其丰富，以适用于所有瞬时信号。这样, 便于找到适合已知信号的某种算法。

小波变换的实质是将信号向一系列小波基上进行投影，小波变换分为连续型和离散型。正交小波和双正交小波是离散小波变换的两种特殊情况。离散小波变换理论主要建立在多尺度分析或滤波器的基础上，关键是如何构造正交小波基，它的应用相当广泛。连续小波变换理论建立在群论的基础上，对信号细致变化的探测时更灵敏。

连续小波变换在方向的选择上有其自由度和优越性，而离散小波变换只能沿x 、y 轴方向搜索。离散小波变换小波基的选择一般均由多尺度分析方法构造；而连续小波变换小波基的构造具有更大的灵活性，可视具体情况而定。不同的连续小波变换小波基函数由不同的特点， 一些基函数对空间变量的变化敏感；一些对方向变量反映灵敏。

多分辨分析是小波分析的核心内容之一，其系统和过程符合人类视觉和思维方式。最常见的多分辨分析有两大类： 一类是时间有限多分辨分析，另一类是样条多分辨分析。如果说小波分析是描述信号的一种语言，则多分辨分析和Mallat 算法就是这种语言的语法规则. Mallat 算法通过调节尺度因子实施对信号由细至粗的分解和有粗至细的重构。

小波包的分析函数是在多分辨率的基础上对每层的高频细节进行再次分解。小波包能改善小波对时频局部化的性能，使得时频窗大小、频率和空间位置能各自独立地变化，为小波的选择提供了一个新自由度。小波包形成一个冗余系统，它有无穷多个正交小波基。 它比小波具有更大柔软性和对信号的灵活适应性，适合由非平稳信号和稳定信号合成的信号，如指纹等，可用于压缩算法和最佳小波基的选择。

小波基的构造与选择是小波分析的主要内容. 在使用基本小波, 如二进小波、二进对偶小波、框架及小波时, 对于时间- 频率分析和其它的应用, 有许多重点必须考虑. 它们是: 时间- 频率窗的大小, 计算的复杂性和有效性, 实现的简单型, 基小波的的光滑与对称性以及逼近阶。

3.小波工程应用

小波分析在工程实际中比较成功的应用主要体现在如下几个方面:

( 1) 小波分析在故障诊断中的应用

小波分析在故障诊断中的应用已取得了极大的成功。小波分析不仅可以在低信噪比的信号中检测到故障信号，而且可以滤去噪声恢复原信号，具有很高的应用价值。梯形小波变换适用于电力系统故障分析，尤其适用于电动机转子鼠笼断条以及发电机转子故障分析。用二进小波Mallat 算法对往复压缩机阀盖振动信号进行分解和重构, 可诊断出进、排气阀泄漏故障。利用小波包对变速箱故障声压信号进行分解，诊断出了变速箱齿根裂纹故障等。

( 2) 小波分析在图像处理中的应用

在图像处理中,小波分析的应用是很成功的，二进小波变换用于图像拼接和镶嵌中，可以消除拼接缝。利用正交变换和小波包进行图像数据压缩，可望克服由于数据压缩而产生的方块效应，获得较好的压缩效果。利用小波变换方法可进行边缘检测、图像匹配、图像目标识别及图像细化等。

( 3) 小波分析在ICT 中的应用

ICT 即工业计算机断层摄影，主要用于机械构件的无损探伤。但是ICT 图像的投影数据存在一定的噪声，这给图像处理带来困难。利用小波变换先对投影数据进行滤波，重建后取模极大值，所得图像边缘噪声较小。边缘清晰，并可滤去非白噪声。这种将小波分析用于卷积反投影的方法已成功地开辟了一条崭新的技术路线. 小波分析方法可用于焊缝位置识别、混凝土内部缺陷识别及管道检漏等方面。

( 4) 小波分析在语音信号处理中的应用

语音信号处理的目的是得到一些语音参数以便高效地传输或存储。利用小波分析可以提取语音信号的一些参数，并对语音信号进行处理。小波理论应用在语音处理方面的主要内容包括: 清/ 浊音分割；基音检测；去噪、重建与数据压缩等几个方面。小波应用于语音信号提取、语音合成、语音增加、波形编码已取得了很好的效果。

( 5) 小波分析在地球物理勘探中的应用

在地球物理勘探中，寻找地壳物质物性参数的奇异性时是非常有意义的。由于小波变换同时具有空间域和频率域的局部性，因此它是描述、检测函数奇异性的有效工具。我们利用小波变换和分形理论，对石油、天然气中的实际地震道数据进了奇异性检测和高分辨处理，并给出了地震道油气检测的重建相空间法，这对于油气勘探及地震资料的高分辨处理都具有重大的理论意义和应用价值。

( 6) 小波分析在医学中的应用

淋巴细胞微核的识别在医学中有重要的应用价值，可用于环境检测、药品及各种化合物的毒性检测。在微核的计算机自动识别中，用连续小波就可准确提取胞核的边缘。目前，人们正在研究利用小波变换进行脑信号的分析与处理，这样可有效地消除瞬态干扰，并检测出脑电信号中短时、低能量的瞬态脉冲。.

( 7) 小波分析在数学和物理中的应用

在数学领域，小波分析是数值分析强有力的工具，能简捷、有效地求解偏微分方程和积分方程，亦能很好地求解线性问题和非线性问题。而由此产生的小波有限元方法和小波边界元方法，极大的丰富了数值分析方法的内容。在物理领域中，小波表示了量子力学中一种新的凝聚态。在自适应光学中，目前有人研究了可利用小波变换进行波前重构。另外，小波变换适宜于刻画不规则性，为湍流研究提供了新的工具。

( 8) 小波分析在神经网络中的应用

小波理论提供了一个对前传网分析和理论框架，小波形式在网络构造中被用来使包含在训练数据中的频谱信息具体化。使用小波变换设计处理网络，可使训练问题大大简化。不像传统的前神经网络构造的情况，这里函数是凸的，因此全局极小解是唯一的。把小波分析与神经网络结合起来, 可对设备进行智能化诊断。利用小波分析可给出惯性导航系统初始对准的线性和非线性模型。

( 9) 小波分析在工程计算中的应用

矩阵运算是工程中经常遇到的问题，如稠密矩阵作用于向量( 离散情况) 或积分算子作用于函数( 连续情况) 的计算。有时运算量极大，利用快速小波变换，可使得运算量大大减少。另外，在CAD/ CAM、大型工程有限元分析、机械工程优化设计、自动测试系统设计等方面都有小波分析的应有实例。

( 10) 小波分析在流体力学中的应用

流体力学中有些问题难度较大，传统的方法难以解决。利用小波方法对平面叶栅叶型进行优化设计，效果很好。将小波分析应用于双重孔隙储集层系统数学模型的分析中，也取得了人们满意的效果。

( 11) 小波分析在股票价格行为分析方面的应用

小波分析具有良好的时频局部性，被认为是分析股市数据的有效工具。利用小波变换方法对股票价格信号进行奇异性分析，可提取奇异点并分析其分布规律，它为股市管理和投资提供了帮助。.

( 12) 小波分析提取文件特征

用二维多分辨分析方法提取文件参考线，从而达到能提取文件中任意兴趣信息的目的. 这在各种支票、票据的分析和识别中具有重大意义。小波分析也可以用于设备的保护和状态检测系统，如高压线路保护和发电机定子匝间短路保护等。另外，小波分析也应用于天体研究、气象分析识别和信号发送等领域。

4.小波应用发展趋势

目前，小波应用的深度和广度得到进一步拓展。在某些方面已取得了传统无法达到的效果，人们正在挖掘有前景的应用领域。

小波分析是一门新的交叉科学，对它进行理论研究、仿真计算、实验分析都是很重要的，目前在高校、研究所开展的比较好。现在正在逐渐走出仿真及实验室阶段，向人们提供具有实用价值的小波分析技术，以小波作为工具的分析软件也日益丰富。

小波分析与神经网络、模糊数学、分形分析、遗传优化相结合后，形成小波神经网络、小波模糊神经网络、小波分形等方法，是分析非平稳、非线性问题的理想手段。如高速压缩机的故障检测与诊断中，综合运用了二进小波分析和谐波分析、分形分析，得到了满意的效

果。总之，小波分析与其他理论的综合运用也日益增多。

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（四）语音信号除噪原理及示例

在实际工程巾，有用的信号常常表现为低频信号或一些较平稳的信号，而噪声信号则表现为高频信号。所以，去噪过程可按如下方法进行：首先对信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频部分。进而可以门限阈值对小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可达到去噪的目的。基于一维小波变换对语音信号降噪的MATLAB实现

一般而言，一维信号降噪的过程可分为以下3个步骤：(1)信号的小波分解。选择一个小波并确定分解层次，然后进行分解计算。(2)小波分解高频系数的阈值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行软阈值量化处理。(3)一维小波重构。根据小波分解的底层低频系数和各层高频系数进行一维小波重构。在MA TLAB中应用一维小波分析进行信号降噪处理，主要通过两个函数wden和wdencmp 来实现。用wden函数时，返回的是经过对原始信号进行降噪处理后的信号。wdencmp函数是一种使用更普遍的函数。它可以直接对一维或二维信号进行降噪或压缩，处理方法也是通过对小波分解系数进行闽值量化来实现I 。一维语音信号去噪示例:

去噪程序:

[y,fs,bits]=wavread('C:\Users\Administrator\Desktop\taobao_noise.wav');

% sound(y,fs) % 回放语音信号

n=9600 %选取变换的点数

y_p=fft(y,n); %对n点进行傅里叶变换到频域

f=fs*(0:n/2-1)/n; % 对应点的频率

subplot(3,1,1);

plot(y);

%语音信号的时域波形图

title('原始语音信号采样后时域波形');

xlabel('时间轴')

ylabel('幅值A')

subplot(3,1,2);

plot(f,abs(y_p(1:n/2)));

%语音信号的频谱图

title('原始语音信号采样后频谱图');

xlabel('频率Hz');

ylabel('频率幅值');

[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',y);

% 获取降噪的默认阈值

[c,l]=wavedec(y,5,'sym6');

%利用sym6小波进行5层分解

xd=wdencmp('gbl',c,l,'sym6',5,thr,sorh,keepapp);

%利用wdencmp函数和默认阈值进行降噪处理sdl=wnoisest(c,l,1:5);

%求出默认阈值

subplot(3,1,3);

plot(xd);

MATLAB程序的去噪效果图：

未加噪声的音频信号图：

利用小波工具箱进行软阈值的去噪结果图

选取不同分解小波的分析结果不同,选取不同的阈值其去噪效果也不同,如何选取最优分解小波和选取各分解层的阈值是信号去噪的核心问题也是难点问题.