2017年温州市重点中学自主招生模拟考试数学试卷

（考试时间120分钟，满分150分）

一.选择题（每小题5分，一共10题，满分50分，每小题只有一个选项符合题意） 1.如果a ，b ， c ， d 是非零实数，且满足a 2+b 2=1，c 2+d 2=1，ac +bd =0，下列结论中，（1）a 2+c 2=1（2）ab +cd =0（3）ad +bc =0，有几个命题成立（）

A.1

B.2

C.3

D.0

2.一个三角形三边长为连续整数，且1个内角等于另一个内角的2倍，那他的三边长为a ，b ， c 试求abc 的值( )

A.120

B.130

C.60

D.140 3.已知x +1y =3，y +1z =1，z +1

=3，那么xyz =（）

A.1

B.2

C.3

D.4 4.已知m =5+1，那么m +

的整数部分是（） A.1 B.2 C.3 D.4

5.如果m ，n 是正实数，方程x 2+m x +2n =0和方程x 2+2n x +m =0都有实数解，那么m +n 的最小值是（）2·1·c ·n ·j ·y

A.2

B.4

C.5

D.6 6.

1114

x y z ++=的正整数解有（）组 A.0 B.8 C.12 D.16 7. 如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ，与直角 AC 相交于点E ，且DE ∥B C ．已知AE =22，AC =23 BC =6，则⊙O 的半径是（）

A .32

B. 4

C. 34

D.3

8.整数x 0，x 1，x 2，x 3..... x 10满足x 0=0，1=x0+1x ，

2=x1+1x ….. 10=x9+1x 那么x1+x2+x3+.....+x10 的最小值是（）

A.1

B.0

C.7

D.4

9.已知实数p 是一个三位数，也是一个质数，p 的百位数为a ，十位数为b ，个位数为c ，

D E

第7题

那么一元二次方程2

0ax bx c ++=的根的关系为（）

A. 有1个整数根

B.有2个整数根

C.无整数根

D.无法确定 10.△ABC 中，∠A 和∠B 均为锐角，AC ＝6，BC ＝33，且sinA ＝

，则cosB 的值为（） A.

53 B. 33 C.1 D. 32

二. 填空题（一共6小题，每小题5分，满分30分）

11.已知,p q 为实数，且满足p 3+q 3=2，那么p q +的最大值为___________.

12.已知1, 2.....,7x x x 为自然数，且123.....7x x x x ????，有123...7x x x x ++++=159，那么123x x x ++的最大值是__________.

13.在等腰三角形ABC 中，D 为腰AC 的中点，D ,E 平分∠ADB 交AD 于E ，圆ADE 交BD 于N ，BN =43，那么AE =__________. 14.如图，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，

DA 上，点P 在矩形ABCD

内．若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AE ＝CG ＝3cm ，BF ＝DH ＝4cm ，四边形AEPH 的面积5cm 2，则四边形PFCG 的面积为_________cm 2．

15. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续

偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是 . 16.将1，2，3，4，5这5个数排成一排，最后一个是奇数，且使得其中任意连续三个数之

和都能被这三个数中的第一个整除，那么满足要求的排法有__________种.

三.解答题（一共5小题，满分70分，每小题都要写出相应的解题过程，证明过程及演算步骤）

17.（本题10分）解方程：x 3+3x 2+3x －7=0

18.（本题14分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为线段AB 上的点，且满足AE ＝AD ，BE =BC ，过E 作EF ∥BC 交CD 于F ，设P 为线段CD 上任意一点，试说明

2PD PC PF

AD BC EF

的理由．

19.（本题14分）已知正三角形ABC ，AB = a ，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，以相同速度作直线运动，且点P 沿射线AB 方向运动，点Q 沿射线BC 方向运动. 设AP 的长为x ，△PCQ 的面积为S ，

（1）求S 关于x 的函数关系式；

（2）当AP 的长为多少时？△PCQ 的面积和△ABC 的面积相等.

A C

20.（本题16分）在1，2，3，….n 中，任取10个数，使得其中任意2数的比值大于23

，小于3

，求n 的最大值.

21.（本题16分）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE·AC=CE·K B ．

第21题

P E

M N P F A D

B C

参考答案

一.选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B

二.填空题

11.___2____ 12.____61_____ 13.____23______ 14.____8___ 15.___3593____ 16.______5_______ 三.解答题

17.观察得x =1是原方程的根

所以必有x －1这一因式移项可得（x －1）（x 2+5x +6）=（x －1）2 1.x －1=0，所以x =1 2.x －1≠0，所以x 2+4x +7=0 Δ=16－4×7<0

所以无根，综合得，原方程的根为x =1.

18. 解：如图，过E 作MN //CD ，交直线DA ，BC 于点M ，N ，过点P 作PQ //BC ，

交AB 于点Q ，则MD =EF =NC 。

由//AM AE EF AD AD AD BC AEM BEN BN BE BC EF BC

-????=?=

- 2AD BC

EF AD BC

+ 由////PD AQ

AD PQ EF PF QE ?=

////PC QB

PQ EF BC PF QE

因为 21

22AD BC

PD PC EF PD BC PC AD PD BC PC AD AD BC AD BC PF AD BC PF PF AD BC

--+-?=?=?+

而

C A

P Q

B P

PD BC PC AD AQ QB AE QE BE QE

BC AD BC AD PF QE QE QE QE

-±=?-?=?-?

AD QE BC QE

BC AD AD BC QE QE

±=

?-?=+

所以

12PD PC EF AD BC PF -?=，即 2PD PC PF

AD BC EF

19. 解：(1) 如图，PCQ PBQ PBC S

S S S ???==-

21133

()()sin 60()sin 60 (0)2

2441133

()()sin120()sin120 ()22

a x a x a a x x ax x a a x x a a x a x ax x a ?+-?--?=-+<≤??=??+-?--?=->??

(2)因为2213sin6024

ABC S a a ?=

?= 根据题意，若ABC PCQ S S ??=，则

当0x a <≤时，有22

333444

x ax a -+= 即2

20x

ax a -+=，解得，此方程无实根；

当x a >时，有22333444

x ax a -= 即2

20x ax a --=

解

得

，

121515

x a a x a a +-=>=<，(舍去)

所以，当152

AP a +=时，△PCQ

的面积和

△ABC 的面积相等。

20.

我们可以这样构造抽屉每个抽屉里有一些1，2，3……，n 的数且这个抽屉里每两个数的比值在大于

23，小于3

之间，由于要求任取10个数有2个数在同一抽屉，显然，最多需构造9个抽屉是（1）（2，3）（4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，13，14，15，16）（17，18，19，….，24，25）(26,27,28,….,38,39)(40,41,….,59,60)(61,62,….90,91)从这9组数中任取10个数，必定两个数的比值在大于23，小于3

之间，所以n 的最大值为91

21. 证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又PA 是⊙O 的切线，所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是

△KPE ∽△KAP ，所以

KE KA KP =，即 KA KE KP ?=2

．由切割线定理得 KA KE KB ?=2

所以 KB KP =． …………………………10分

因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是

AC KP CE PE = 故 AC

CE PE =，即 PE·AC=CE·K B ． ………………………………15分

（第21题）