高一数学竞赛班选拔考试初稿
10年高一数学竞赛班选拔考试
考试时间： 试卷总分：120
班级： 姓名： 学号：
一．填空题（每小题8分，共80分）
1. 的结果是 .
2. 在凸n(n 3)≥边形的所有内角中，锐角的个数最多是 个.
3. 设0a 1,0b 1<<<<，则
（填“≥” ，“≤” ，“＞” ，“＜” ，“=” ）.
5. 已知：11
1
(20102010)2
n n x -=-（n 是自然数），那么n x x )1(2+-= .
6. 已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O 为坐标原点，0
120QPO ∠=，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 . 7. 一个一次函数图象与直线5
4
y x =
平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，并且过点(7,25)--，则在线段AB 上（包括端点A B 、），横、纵坐标都是整数的点有 个.
8. 如图，在平行四边形ABCD 中，过A B C 、、三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若
4,5AB BE ==，则ED 的长为 .
9. 已知锐角ABC ?的顶点A 到垂心H 的距离等于其外接圆半径，则A ∠的度数是 .
二．解答题（第11题15分，第12题25分，共40分） 11. 求证方程 3
3
11x y += 没有正整数解.
12.已知a b c 、、都是正整数，抛物线2
y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A B 、, 若A B 、到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值．
10年高一数学竞赛班选拔考试参考答案
解： ===
2. 3
360，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中解：由于任何凸多边形的外角之和都是0
锐角最多不超过3个.
22222
+-+-++-
a b a b a
(1)(1)(1)
++
|||||
CD AD BD
∴ 1111
111
([(20102010)(20102010)](1)201022
n
n n n n n n x ---=--+=-?
7. 4
解：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是74,255x N y N =-+=-+，（N 是
整数）,在线段AB 上这样的点应满足7402550N N -+≥-+≤且 ∴
7
54
N ≤≤ 即 2345N =，
，，
8.
165
解： 如图连结AC 、CE
由AE ∥BC ，知四边形ABCE 是等腰梯形。故AC ＝BE ＝5
又因为DC ∥AB ，DC 与圆相切，所以，∠BAC ＝∠ACD ＝∠ABC 则AC ＝BC ＝AD ＝5，DC ＝AB ＝4
因为2
DC AD DE =?，故216
5
DC DE AD ==
9. 0
60
解: 锐角ABC ?的垂心在三角形内部
如图，设ABC ?的外心为O ，D 为BC 的中点,BO 的延长线交⊙O 于点E
连CE 、AE
则CE //AH ，AE //CH
则OD CE AH OB 2===
∴ 0030,60OBD BOD ∠=∠=
所以0
60A BEC ∠=∠=
从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). （2）再求b c 、的值
因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P 的直径，则C D 、关于点O 对称， 所以点C 的坐标为(0,1)-， 即1c =-.
二．解答题
11. 证： 由原方程得 22()()11y x y xy x -++= 11是质数
又因为要验证方程是否有正整数解，故只需考察x,y ∈Z +
的情况
故应有 22
11
1y x y xy x -=??++=?
① 或 2
2
111
y x y xy x -=??
++=? ②
考察第①式： ,x y Z +∈ ∴11y >
∴2211y xy x ++> 故①式没解 对于第②式：把1y x =+代入 22311y xy x ++=
得到2
331330x x +=，但3不整除1330 所以也没有正整数解
命题最后得证。 12. 解: 据题意，方程2
0ax bx c ++=有两个相异根，都在(1,0)-中
故 (1)0f a b c -=-+> , 1c
a
< 且 240b ac ?=-> ① 可见 1a b c -+≥ ② 且 a c > ③
∴ 11
a c
b
c +≥++ 即得 21>
由③知
1>
∴ 4a >
又4b >>
现分别取a b c 、、的最小整数5、5、1 经检验，符合题意 ∴ 11a b c ++=最小
2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1
2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中 统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了 （）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽 种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数 的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必 胜的策略 A．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分）
1．当整数m ＝_________时，代数式 13m 6 -的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且| abc |abc |c |c |b |b |a |a + ++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004 ＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2 +2=0｝的子集的个数 是 三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 日照实验高级中学高一数学竞赛辅导班选拔考试
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案 时间： 2016/3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟. 1.（本小题满分15分） 设集合{} ()() { } 2 2 2 320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈， （1）若{}2A B =求a 的值； （2）若A B A =,求a 的取值范围； （3）若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围. 2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ==== （1）求证：;N M ? （2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =？请说明理由.
已知函数4 4 4 )cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2 ,0[π ∈x 有最大值5， 求实数m 的值．
已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．
已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x . （1）如果4221<< 商洛中学2021届高一数学竞赛试题 一、选择题（本大题共有6小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共30分） 1.设集合2 {|} M x x x ==，{|lg0} N x x =≤，则M N=（） A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(,1] -∞2.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积 不可能 ．．．等于（） A．1 B．2 C． 2-1 2 D． 2+1 2 2 3.()(1)()(0)()() 21 x F x f x x f x f x =+≠ - 是偶函数，且不恒等于零，则（） A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数 4.函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为（） 5.设 0.2 log0.3 a=， 2 log0.3 b=，则( ) A．0 a b ab +< 姜堰中学高一数学竞赛选拔赛试题 命题人：凌彬 审核人：高一数学备课组 （满分150分 时间1） 班级___________ 学号___________ 姓名______________ 得分___________ 一、填空题（每小题7分，共70分） 1．若抛物线2 112 y x mx m = -+-与x 轴交于整点，则抛物线的对称轴方程为__________ 答案：1x = 〖解〗：设抛物线与x 轴交于整点12(,0), (,0)x x 1212(, )x x Z x x ∈<、，则有下列恒等式成立： 21211 1()()22 x mx m x x x x -+-=--，取1x =代入消去m 得：12(1)(1)1x x --=-， 故由整数性质得12 1111x x -=??-=-?，解之得1202x x =??=?；代入得1m =，从而对称轴方程为1x =． 2．某老师让四名学生每人各写一个实系数的一元二次方程，则所得的四个方程恰有两个无实数根 的概率为__________ 答案： 38 〖解〗：列表可知，共有42即16种可能情况，其中有6种恰有两个无实数根，故概率为38 ． 3．π的前24位数字为3.141 592 653 589 793 238 462 64；记1224,, ,a a a 为该24个数字的任意一个排列，则 12342324()() ()a a a a a a +++一定是__________的倍数． 答案：2 〖解〗：因为这24个数字中有13个奇数和11个偶数，而括号有12个，所以至少有一个括号中 一定是两个奇数，因此和为偶数；这样12括号之积一定是偶数． 4．使424m m -+为完全平方数是自然数m 有__________个． 答案：3 〖解〗：当0,1,2m =时，424m m -+都是完全平方数； 当3m ≥时，224222(1)4()m m m m -<-+<，不可能是完全平方数；故只有3个． 5 ．代数式x 的最小值是__________ 〖解〗 ：设 (0)y x y => ，则y x +=，整理得：223240x yx y --+=（*）； 方程（*）看成关于x 的方程，由于x 为实数，所以方程（*）一定有实根， 从而22443(4)0y y ?=-?-+≥，解得23y ≥，而0y > ，所以y ≥． 6．在平面直角坐标系中，(0,3)(4,1)(,0)A B C m 、、，当ABC ?的周长最小时，m 的值是________ 答案：3 〖解〗：点B 关于x 轴的对称点是'(4,1)B -，直线'AB 与x 轴的交点即为所求的点C ， 而直线'AB 的解析式是3y x =-+，故C 为(3,0)即3m =． 2009年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．已知a 和b 都是单位向量，并且向量2c a b =+与54d a b =-互相垂直．则a 和b 的夹角,=<>a b ______． 2．1 cos 290+?______． 3．如图，过O 外一点M 引圆的切线切O 于点B ，联结MO 交O 于点A ，已知 4MA =，MB =N 为弧AB 的中点．则曲边三角形（阴影面积）的面积等于______． 4的值是______． 5．在平面直角坐标系中，不论m 取何值时，抛物线()()2 2132y mx m x m =++-+都不通过的直线1y x =-+上的点的坐标是______（写出全部符合条件点的坐标）． 二、解答题 6．Rt ABC ?内切圆的半径为r ，直角的角平分线的长为t ．求证：Rt ABC ?的两条直 角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程()222 20t x x tr -+-=的根． 7．求函数:N N f ++→，使得 （1）()11f =； （2）对于所有的N x y +∈、，()()()f x y f x f y xy +=++都成立． 8．如图，在ABCD 中，BAD ∠的平分线与BC 交于点M 、与DC 的延长线交于点N ，CMN ?的外接圆O 与CBD ?的外接圆的另一交点为K ．证明： （1）点O 在CBD ?的外接圆上； （2）90AKC ∠=?． 9．证明：任给7个实数，其中必存在两个实数x 、y 满足013 x y xy -≤ <+. 高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷 （第二轮 考试时间60分钟，满分100分） 班级 姓名 得分 一、选择题（每题６分，36分） 1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是 （ ） （A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910 - --- 等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)10 7 3 ．某公司从2001年起每人的年工资 主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是 （ ） （A ）2年（B ）3年（C ）4年（D ）5年 4.若F( 11x x -+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x +-（C ）F(x -1 )=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（ ） (A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件 6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形 D C B A ''''。四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ） A ．9 B ．26 C ．34 D ．6 二、填空题（每题5分，25分） 7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是 。 8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________. 9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E 被读了______次。 2019年全国高中数学联赛江苏赛区 市级选拔赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{ x |x －a ≥1}，且A ∩ B ＝{x |x ≥3}，则实数 a 的值是 ． 答案：2． 解：A ＝{x |x ≥2或x ≤1}，B ＝{ x | x ≥a ＋1}．又A ∩ B ＝{x |x ≥3}，故a ＋1＝3， 解得a ＝2． 2．已知与三条直线x ＋y ＝1，x ＋ay ＝2，x ＋2y ＝3都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数a 的值的和为 ． 答案：3． 解：由题意知，这三条直线中恰有两条平行时符合题意，故a ＝1或2， 从而实数a 的值的和为3． 3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一数列，此数列为等比数列的概率为 ． 答案：121 ． 解：满足条件的等比数列共有4个：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9． 故所求概率P ＝4C 39＝1 21 ． 4．设a ，b ∈[1，2]，则 a 2＋b 2 ab 的最大值是 ． 答案：52 ． 解：因为a ，b ∈[1，2]，所以(2a －b )( a －2b )≤0，展开得a 2 ＋b 2 ≤5 2ab ，即a 2＋b 2ab ≤52 ． 且当a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2ab ＝52，所以a 2＋b 2ab 的最大值为 5 2 ． 5．在矩形ABCD 中，AC ＝1，AE ⊥BD ，垂足为E ，则 (AD →·AE →)(CB →·CA → ) 的最大值 是 ． 答案：4 27 ． 解：如图，设∠CAB ＝θ，AC ＝1，AE ⊥BD ， 则AB ＝cos θ，AD ＝sin θ，AE ＝sin θcos θ， A B C D E 2006 年“ 元旦 ”高一数学竞赛试题（新课程） 班别 姓名 分数 （时间： 100 分钟 , 满分 150 分） 一、 选择题 (共 6 小题 ,每小题 6 分 ,共 48 分 ) 1、集合｛ 0,1 ， 2， 2006｝的非空真子集的个数是 （ ） （ A ） 16 （ B ） 15 （ C ） 14 （ D ） 13 2、设 U=Z ， M= { x x 2k, k z} ， N= { x x 2k 1, k z} ， P= { x x 4k 1,k z} ，则下列结论 不正确的是 （ ） (A) C U M N (B) C U P M (C) M I N (D) N U P N 3、根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)6 5 1 ? 4 1 2 3 4 5 4、函数 y 21 x 的图象是 （ ） 5、函数 f ( x) a x log a x 在[1,2] 上的最大值和最小值之差为 a 2 a 1, 则的 a 值为 ( ) (A )2 或 1 (B) 2 或 4 (C) 1 或 4 (D)2 2 2 6、有 A 、B 、C 、D 、E 共 5 位同学一起比赛象棋， 每两人之间只比赛 1 盘，比赛过程中统计比赛的盘数知： A 赛了 4 盘， B 赛了 3 盘， C 赛了 2 盘， D 赛了 1 盘，则同学 E 赛了（）盘 （ A ）1 （ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 4 7 若 ax 2 5x c 的解是 1 x 1 , 则 a 和 c 的值是（ ） 3 2 (A)a=6,c=1 (B)a=6,c=-1 (C)a=- － 6,c=1 (D)a= － 6,c=- － 1 8、若 x= 7lg 20 , y ( 1 )lg 0.7 则 xy 的值为（ ） (A) 12 2 (B)13 (C)14 (D)15 二、 填空题（共 6 小题 ,每小题 7 分 ,共 42 分） 1、已知函数 f (x) x(x 0) ，奇函数 g( x) 在 x 0 处有定义，且 x 0 时， x( x 0) g ( x) x(1 x) ，则方程 f ( x) g ( x) 1的解是 。 高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷 （第一轮考试时间100分钟，满分100分） 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽 种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必 胜的策略 A ．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分） 1．当整数m ＝_________时，代数式 1 3m 6-的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2+2=0｝的子集的个数 是 三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 2017高一数学竞赛试题 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大... 在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你! 一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D. 5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 2009年康杰中学高一数学竞赛选拔试题 2009.10 一、选择题（每小题5分） 1．f 是集合{}d c b a M ,,,=到{}2,1,0=N 的映射，且4)()()()(=+++d f c f b f a f 则不同的映射有（ ）个 A ．13 B ．19 C ．21 D ．23 2．已知函数）（x f 满足：对任意R y x ∈、都有,0)1()(2)()(22≠+=+f y f x f y x f 且 )2007(f 则的值为（ ） A ．1002.5 B ．1003 C ．1003.5 D ．1004 3．函数)1,(2)(2-∞+-=在区间a ax x x f 上有最小值，则函数在区x x f x g )()(=间 ），（∞+1上一定（ ） A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 4．满足方程11610145=+-++ +-+x x x x 的实数解x 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．无数多 5．将2008表示为)(+∈N k k 个互异的平方数之和，则K 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．给出函数?????<+≥=4) 1(4)21()(x x f x x f x 则)(log 32f 等于（ ） A ．823- B ．111 C ．191 D ．24 1 7．已知9 99999???+???++=n 则n 的十进位制表示中，数码1有（ ）个 99个 A ．50 B ．99 C ．90 D ．100 8．已知1009921)(,*-+-+???+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于（ ） A ．2500 B ．4950 C ．5050 D ．5150 9．如图：已知在ABC Rt ?中，35=AB ，一个边长为12的正方 形CDEF 内接于ABC ?，则ABC ?的周长为（ ） A ．35 B ．40 C ．81 D ．84 10．已知b a 、是方程34log log 32733- =+x x 的两个根，则b a +=（ ） A ．2710 B ．814 C ．8110 D ．81 28 高中数学竞赛初赛试题 一 选择题 1. 如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{} 1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对 (),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对， 那么“好集对”一共有（）个 64862A B C D ２.设函数()()lg 10 1x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21 .log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100 到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126 的余数是( ) 4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为 ()1221,1,2,3,, k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质 的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个 新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么 2007____________a = 192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 783660A B C D 高二数学基础知识竞赛活动方案 一、活动目的： 为了夯实基础知识，促进学生对书上基础知识、定理、定义、概念的理解掌握；同时为了培养学生学习数学的兴趣，提高数学思维，本着“抓基础，练技能”的宗旨，考查学生对数学基础知识的掌握举办此次数学知识竞赛。 二、竞赛各项人员安排： 1、出卷人：项娇 2、监考人员： 初赛：各值班老师 复赛：张美玲 3、阅卷：全体高二数学老师 4、复习资料准备：刘江 5、海报宣传：何卫东、贠朝栋 三、竞赛时间及地点： 时间 初赛：2017年11月19日第七、八节课 复赛：2017年11月26日晚上6：10-8：10 活动地点：初赛各班教室 复赛五楼多媒体 四、活动形式及范围： （一）活动形式： 初赛：笔试，内容包含选择题、填空题、问答题、计算题四部分组成。为保证比赛公平性，试卷采用AB卷。初赛过后，在两天内公布初赛成绩的前98名光荣榜，进入复赛。 复赛：笔试，形式与初赛相同。复赛结束后，在两天内公布复赛成绩的前50名。前24名颁发奖品及证书。前24名展板公示。 （二）竞赛出题范围： 高中数学教材必修1-必修5，共5册。 五、活动宣传： （1）媒体宣传：邀请广播站进行媒体宣传。 （2）海报宣传：用文字插图形式把此次活动主题进行介绍，制作一定量的宣传 海报贴于宣传栏内和公示栏内。（制作海报需要专业技术，请广告公司做出海报，我们负责粘贴） （3）课堂宣传：每班教师利用上课的机会在课上进行介绍。 六、其他 1、阅卷形式为流水阅卷。初赛面向学考，注重学困生的排查；复赛面向高考， 注重学优生选拔，其中复赛试卷需文理分开制卷，请制卷老师加以注意。 2、初赛前由广播员宣读竞赛细则、复赛前由监考员宣读竞赛细则。 3、参赛人员一律按照比赛规则进行参赛。如不按照比赛规则进行当做弃权处理。 4、参赛者参赛过程中一律不得查阅相关资料和使用手机等作弊行为。若发现任何作弊行为，立即做弃权处理。 5、各参赛人员准时到达比赛地点，比赛时间不到者作弃权处理。 6、比赛开始后监考员必须将手机调为静音或振动状态，以免影响选手发挥。 七、经费预算： 物品数量金额（元）初赛试卷650份 复赛试卷110份 奖品30件10X30 荣誉证书30张5X30 展板1张 宣传海报2张 其他 总计 高一数学竞赛班选拔考试 班级 姓名 学号 一、填空题（每道10分，共60分） 1、 函数x x x f +-=22 1)(的定义域、值域分别是][n m ，和]22[n m ，. 则=m ， =n .（答案：-2， 0） 2、 △ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，P 是BC 上一点，且PE ⊥AB 于E ，且PF ⊥AC 于F. 则PE ＋PF ＝ .（答案：12013 ） 3、 定义n ！＝n n ?-??????????)1(321. 若12！＝k 12·p (k ,N p ∈) 则k 的最大值是 .（答案：5） 4、甲、乙、丙、丁四位同学参加市的数学比赛，已知乙的得分比甲、丁得分之和多，甲、乙得分之和等于丙、丁得分之和；如果将甲、丁的得分交换一下，则丙、丁的得分之和超过甲、乙的得分之和. 他们的得分都是非负数，那么这四人得分从高到低的排列是 .（答案：丙，乙，甲，丁） 5、等边三角形ABC 内有一点P ，已知PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5. 则∠APB ＝ . （答案：150°） 6、已知函数)(x f 满足： ① 定义域为),0[∞+； ② 对任意的∈x ),0[∞+，都有)3(x f ＝)(3x f ③ 当∈x )3,1[时，21)(--=x x f . 则=)2006 (f .（答案：181） 二，解答题（每道20分，共40分） 1、已知函数)(x f 是定义在R 上的函数，且满足x x x f x x x f f +-=+-22)(])([ ⑴ 若3)2(=f ，求)1(f ；又若a f =)0(，求)(a f ； ⑵ 设有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f =，求)(x f 的表达式. （2006年重庆高考题） 2012年天骄辅导学校 高一数学竞赛试题 一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案) 1.已知函数f (x )满足f (| |2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) A.2-x B.log 2x C. -log 2x D.x -2 2.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( ) A.x =2 B.x =1 C.x =2 1 D.x =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f ( 21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的 取值范围是( ) A.x ＞2或21＜x ＜1 B.x ＞2 C.21＜x ＜1 D.2 1＜x ＜2 4.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则( ) A. f (5)＜f (2)＜f (7) B. f (2)＜f (5)＜f (7) C. f (7)＜f (2)＜f (5) D. f (7)＜f (5)＜f (2) 5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,2 1]成立, 则a 的最小值为( ) A.0 B. -4 C.-5 D. -6 6.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增. 如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 7.若函数f (x )=25-|x +5| -4×5-|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( ) A.m ＞0 B.m ≤4 C.0＜m ≤4 D.0＜m ≤3 8.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得 2 21)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么, 函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( ) A.101 B.10 C.43 D.2 3 二、填空题(每小题5分, 共30分) 9.已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k }, 若A ? ≠B, 则实数k 的取值范围是____________________ 10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________ 11.集合P ={x |x =2n -2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2006, 且x ∈N }, 那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________ 12.已知方程组???=-=+164log 81log 4log log 6481y x y x 的解为???==11y y x x 和???==22y y x x , 则log 18(x 1x 2y 1y 2)=________ 13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数m 的取值范围是_________________ 14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B), 且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2006, 2a +2b =2a +b -c +2c , 则max{a , b }的最小值是______ 三、解答题(每题10分, 共30分) 15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|. (1)当a =2时, 求f (x )的最小值; 小学数学竞赛选拔赛初赛试题 第 一 试(考试时间60分钟) 计算题(只需写出答案，每题5分，共100分) 1. 0.125?5.5?7?16?5= 2. 1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111+111111111+1111111111 = 3. (1+0.37+0.64)?(0.37+0.64+1.25) - (1+0.37+0.64+1.25)?(0.37+0.64) = 4. 3 5.7?7.3+13?7.25+482?0.27= 5. 37?1999?125?168= 6. 8 3191107375.19191884?+?= 7. 101100999897121110987654321++-+++-++-++-++-+ = 8. 56789+67895+78956+89567+95678= 9. 16)7225.0()127321(32?+-+＝ 10. 5 28]2531)5.1723(8.14[÷?-+＝ 11. 14.3615.102816.1900031.04477.1+?-÷＝ 12. 91.3+88.8+90.2+270.4+89.8+186.8+91.7＝ 13. 6.25?8.37?16+3.75?0.837?8＝ 14. 5 1321525.18225.1817542.0?-?÷++＝ 15. 002000200020199919992001012001200120200020001999??-?? ＝ 16. )100 11()411()311()211(2000-??-?-?-? ＝ 17. )10011()10011()9911()9911()311()311()211()211(-?+?-?+??-?+?-?+ = 18. 45 2793521710625312718921147642321??+??+??+????+??+??+??= 19. 5378 .0125.084.46875.084.465378.025.15378.084.4642.23???-??+??+= 20. )1592 191()392191()292191()92191(?+++?++?+++ = 10年高一数学竞赛班选拔考试 考试时间： 试卷总分：120 班级： 姓名： 学号： 一．填空题（每小题8分，共80分） 1. 的结果是 . 2. 在凸n(n 3)≥边形的所有内角中，锐角的个数最多是 个. 3. 设0a 1,0b 1<<<<，则 （填“≥” ，“≤” ，“＞” ，“＜” ，“=” ）. 5. 已知：11 1 (20102010)2 n n x -=-（n 是自然数），那么n x x )1(2+-= . 6. 已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O 为坐标原点，0 120QPO ∠=，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 . 7. 一个一次函数图象与直线5 4 y x = 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，并且过点(7,25)--，则在线段AB 上（包括端点A B 、），横、纵坐标都是整数的点有 个. 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，过A B C 、、三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若 4,5AB BE ==，则ED 的长为 . 9. 已知锐角ABC ?的顶点A 到垂心H 的距离等于其外接圆半径，则A ∠的度数是 . 二．解答题（第11题15分，第12题25分，共40分） 11. 求证方程 3 3 11x y += 没有正整数解. 12.已知a b c 、、都是正整数，抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A B 、, 若A B 、到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值． 10年高一数学竞赛班选拔考试参考答案 解： === 2. 3 360，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中解：由于任何凸多边形的外角之和都是0 锐角最多不超过3个. 22222 +-+-++- a b a b a (1)(1)(1) ++ ||||| CD AD BD 2021年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案 一、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ， ] 6、49/4 7、1/16 8、62 二、选择题（满分36分） 1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x12021届高一上学期数学竞赛试题
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