平方数的基本知识

平方数

在数学上，如果某个整数n可以写成另一个整数的平方，我们就称这个整数n是一个平方数，也叫完全平方数。例如：9=3×3=32，9就是一个完全平方数。完全平方数有很多特殊的性质。

一、完全平方数的个位数字只可能为0，1，4，5，6，9 这六个数。

1、一个数若以0 结尾，这个数的平方必以00 结尾；

2、一个数若以 1 或9 结尾，这个数的平方必以1 结尾；

3、一个数若以 2 或8 结尾，这个数的平方必以4 结尾；

4、一个数若以 3 或7 结尾，这个数的平方必以9 结尾；

5、一个数若以 4 或 6 结尾，这个数的平方必以6 结尾；

6、一个数若以 5 结尾，这个数的平方必以25 结尾。

7、一个完全平方数，个位数字是6时，十位上数字为奇数，个位数字不是6时，十位上数字为偶数。

注：把任意某个数看着一个整十数和一个一位数的和，运用完全平方公式，可以证明这个数的平方符合第7条性质。本组前6条性质，可以通过实例证明。

二、整除性质。

1、每个完全平方数分解质因数后，质因数的指数都是偶数。每个完全平方数都有奇数个不同的因数。（反之亦成立）

2、一个完全平方数如果是偶数，它一定是某个偶数的平方，能被4 整除；

3、一个完全平方数如果是奇数，它一定是某个奇数的平方，被8 除余1；

4、一个完全平方数如果能被 3 整除，它一定能被9 整除；如果不能

被 3 整除，它一定被3 除余1；

5、不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

6、两个完全平方数的积还是完全平方数，一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数；

三、完全平方数也叫正方形数，即一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形点阵，使得每行每列的点都一样多。

如下图：

观察上面的方阵，可以推出以下几条性质：

①对于一个整数n，n2就等于前n 个正奇数的和。

在上图中，从1开始，第n 个平方数就等于前一个平方数加上第n 个正奇数。如：第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数9。

②每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到。递推公式为：

n2= 2(n ? 1)2? (n ? 2)2+ 2

③平方数还可以表示成：

n2= 1 + 1 + 2 + 2 + 3＋... + n ? 1 + n ? 1 + n

因为上图中每个方阵，都可以看作是前一个方阵上再添加宽度为 1 的一行和一列形成的。这对于计算较大的数的平方数非常有用，例如：

712= 702+70 + 71= 4900 + 141 = 5041

四、其它性质。

1、两个相邻整数的平方之间不可能再有平方数。

2、完全平方数的数字之和（重复相加，直到结果为一位数），只能是0、1、4、7、9，且平方数必定不是完美数。

3、每4个连续的自然数相乘加1，必定会等于一个平方数。

如：a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a2+ 3a + 1)2。