实数的基本性质与求解存在性问题

第２８卷第６期大　学　数　学Ｖｏｌ．２８，№．６２０１２年１２月ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｄｅｃ．２０１２

论实数的基本性质与求解存在性问题

丁宣浩，　陈利霞

（１．重庆工商大学数学与统计学院，重庆４０００６７；　２．桂林电子科技大学数学与计算科学学院，桂林５４１００４）

［摘　要］大学微积分的教学内容是在实数集合上展开的．存在性问题贯穿微积分教学的始终．从深入讨

论实数的基本性质开始，引入了求解存在性问题的一般思路．希望从微积分教学的一开始，就让学生深刻体会

到数学思想方法的无穷魅力．

［关键词］实数；有序性；稠密性；存在性问题；确界定理

［中图分类号］Ｏ１７１ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１２）０６－０１０９－０５

１　引 言

大学《微积分》课程是在实数范围内以函数为主要研究对象的．因此，实数的基本知识是学习《微积分》的出发点．然而，国内大多数非数学专业的《微积分》教材如同济大学编的《高等数学》教材［１］，却没有总结和复习实数的基本知识．然而，在数学类专业的《微积分》课程教材《数学分析》中，大多以总结实数的基本性质开始［２－４］．就是国外的一些非数学专业的《微积分》课程许多也是要复习总结实数的基本知识的［５，６］．复习总结提高对实数的认识，其理由是显而易见的．因为微积分的理论大厦就是建立在实数理论之上的．不复习实数的基本知识，也许认为这些知识在中学已经学过，在中学生中已经习以为常了．然而，实际上有许多问题，大多数中学生是不明白的．如

１．实数的无限十进小数表示是唯一的吗？

２．怎样通过十进小数表示去比较两个实数的大小？

３．怎样去证明实数的稠密性？

４．两个无限十进小数怎样相加？

上面的问题表面看是知识性的，但是其深处却蕴含着丰富的数学思想方法．在中学可能更注意数学的知识和技能，那么到了大学，更重要的是要学习数学的思想方法．而求解存在性问题，几乎贯穿《微积分》教学的始终．所谓的存在性问题，是指求解某一类问题的关键是寻找出具有某种特殊性质的元素．如何求解存在性问题呢？

一般的方法可以归结为两类．其一是直接通过构造的方法将这个特殊元素找出来；其二是间接的通过逻辑推理证明这样的特殊元素确实存在．

在《微积分》课程的一开始，不仅是对实数知识的总结和提高，更重要的是思想认识上的升华．在实数的基本性质与新引入的实数集有界与无界，实数集的确界以及确界定理等概念中蕴含着深刻的存在性问题．明确地告诉学生注意存在性问题求解的思想方法，并让学生在学习上述概念时遭遇一些碰撞和挫折，让学生细心去体会数学思想的魅力，这对于学生后续的学习是大有好处的．本文将结合华东师范大学编的《数学分析》教材［２］，系统地由实数的基本性质推出确界定理，在其中彰显求解存在性问题的思想方法．

　［收稿日期］２００９－１１－１０