高等数学第20章第1节第一型曲线积分

第二十章 曲线积分

以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上函数的积分．本章将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分． 一、 第一型曲线积分的定义 1 定义

注．：1）注意与定积分定义的相似性（上册P201 df1-df3） 2)

i

i

n

i i

s f ?∑=),(1

ηξ称为积分和

例（P197第6－17行）

设某物体的密度函数f （P ）是定义在Ω上的连续函数．当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量，

现在研究当Ω是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对Ω作分割,把Ω分成n 个可求长度的小曲线段i Ω（i=1，2，…，n)，并在每一个i Ω上任取一点P i 由于f （P ）为Ω上的连续函数,故当i Ω的弧长都很小时，每一小段i Ω的质量可近似地等于f （P i ）?i Ω,其中?i Ω为小曲线段i Ω的长度.于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式

i

n

i i

P f ?Ω∑=)(1

当对Ω的分割越来越细密(即0max 1→?Ω=≤≤i n

i d )时,上述和式的极限就应是该物体的

质量．

注．

：1）若上例中的

是空间中某一可求长度的曲线段时, 线段上的物体的质量可由第一型曲线积分（2）求得。

2)由上面看到,求具有某种物质的曲线段的质量，与求直线段的质量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的． 2性质

关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述一些重要性质，下面列出平面上第一型曲线积分的的性质. 1)．若

()()k i ds y x f L

i

,,2,1, =?存在，()k i c i

,,2,1 =为常数，则()ds

y x f c i

L

k

i i ,1

?∑=也存在，且

()().,,1

1

ds y x f c ds y x f c L

i

k

i i

i

L

k i i ?∑?∑===

2)．若曲线段L 由曲线k L L L ,,,21 首尾相接而成，且()=?i ds y x f i

L (,),,2,1k 都

存在，则

()ds y x f L

?,也存在，且

()().,,1

ds y x f ds y x f k

i L L

I

∑??==

3)．若

()ds

y x f L

?,与

()ds

y x g L

?,都存在，且在L 上()(),,,y x g y x f ≤则

()().,,ds y x g ds y x f L

L

??≤

4)．若()ds y x f L

?,存在，则()?.,ds y x f L 也存在，且()().,,ds y x f ds y x f L

L ?

?≤

5)．若

()ds y x f L

?,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c,使得(),,cs ds y x f L

=?

这里()().,sup ,inf y x f c y x f L

L

≤≤

注．

：1）性质5)类似与第一积分中值定理(上册P217 Th9.7) 2) 对于空间第一型曲线积分的性质，读者可自行仿此写出。

二、 第一型曲线积分的计算

定理20.1 设有光滑曲线 L ：()()[],,,

,

βαψ?∈???==t t y t x 函数()y x f ,为定义在L 上的连续

函数，则

()()()()()().,,2'2'dt t t t t f ds y x f L

ψ?ψ?β

α

+=??

（3）

证明：①由弧长公式（上册P247 Th10.1）知道，L 上由1-=i t t 到i t t =的弧长

()().1

2'2'dt t t s i

i t t i ?

-+=?ψ?

②由

()()t t 2'2'ψ?+的连续性与积分中值定理(上册P217 Th9.7)，有

()()i i i i t s ?+=?'2''2'τψτ? (

)

.'1i i i t t <<-τ

③所以

()()()()

()(),,,'2''2'1

""1

i i i n

i i

i

i

n i i

i

t f s f ?+=?∑∑==τψτ?τψτ?ηξ这里

.,"'1i i i i t t ≤≤-ττ

④设()()()()()()()[

]

,,"2'"2''2''2'1

""i i i i i n

i i

i

t f ?+-+=

∑=τψτ?τψτ?τψτ?σ 则有

()()()()

()().,,"2'"2'1

""1

στψτ?τψτ?ηξ+?+=?∑∑==i i i n

i i

i

i

n

i i

i

t f s f （4）

⑤令{},,,,max 21n t t t t ???=? 则当0→T 时，必有.0→?t ⑥现在证明.0lim 0

=→?σt

因为复合函数()()()t t f ψ?,关于t 连续，所以在闭区间[]βα,上有界，即存在常数M,使对一切[]βα,∈t 都有()()().,M t t f ≤ψ?

再由在[]βα,上连续，所以它在[]βα,上一致连续，即对任给的,0>ε必存在,0>δ使

当δ

'1i i i i t t ≤≤-ττ所以δττ

()()()(),'2''2'"2'"2'ετψτ?τψτ?<--+i i i i

从而(),1

∑=-=?≤n

i i

a b M t

M

εεσ 所以.0lim 0

=→?σt

⑦再由定积分定义(一般定积分的定义，见上册P202 df3），可得

()()()

()()∑=→??+n

i i i i i i t t f 1

"2'"2'"

"0

,l i m

τψτ?τψτ?=()()()()()?+βα

ψ?ψ?.,2'2'dt t t t t f

⑧因此当在(4)式两边取极限后，即得所要证的(3)式。 ▌

注．

：1）光滑曲线（上册P104)：若曲线()()[],,,

,

βαψ?∈???==t t y t x 满足ψ?,在[]βα,上都存在连

续的导函数，且02

'2'≠+ψ?，这时称C 为光滑曲线．

2）该定理说明第一型曲线积分的计算可转换为定积分进行计算.

定理20.1*当曲线L 由方程()[]b a x x y ,,∈=ψ给出，且()x ψ在[]b a ,上有连续导函数时，

()()()()dx x x x f ds y x f b

a

L

2'1,,ψψ+=??

(5)

定理20.1**当曲线L 由方程()[]d c y y x ,,∈=?给出，且()y ?在[]d c ,上有连续导函数时,

()()()()?

?+=L

d

c

dy y y y f ds y x f .1,,2'?? (6)

例1（P200）设L 是半圆周

,0,

sin ,

cos :π≤≤??

?==t t a y t a x L

试计算第一型曲线积分

()

.22

?+L

ds y x

解:

()

()

ππ

π

30

30

222222

1sin cos a dt a dt t t a a ds y x

L

???==+=+. ▌

例2（P200）设L 是x y 42

=从()0,0O 到A(1,2)一

段(图20-1),试计算第一型曲线积分

?

L

yds .

解:

?

?+

=L

dy y

yds y 2

2

4120

2

3241322???

?

??+?=y ()

.1223

4

-=

▌ ☆ (P200-201) 仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2)有以下结论.

结论．．：当曲线L 由参量方程()()()[]βαχψ?,,,,∈===t t z t y t x 表示时, 曲线积分

?

L

ds z y x f .),,(的计算公式为:

()()()()()

()()()??++=β

αχψ?χψ?.,,,,2'2'2'dt t t t t t t f ds z y x f L

(7)

例3 计算?

L

ds x 2

，其中L 为球面2

222a z y x =

++被平面0=++z y x 所截得的

圆周.

解 由对称性知???

==

L

L

L

ds z ds y ds x 222 所以.323)(31322

222

a ds a ds z y x ds x L L L

π==++=??? ▌