1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念
编写：孙又国 魏博
一、学习目标
1．了解定积分的概念和性质； 2．了解定积分的几何意义； 3．能对简单的定积分进行计算．
二、知识梳理
1.定积分的概念：
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小
区间，每个小区间长度为x ?=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点
()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11
()()n n
n i i i i b a
S f x f n ξξ==-=?=∑∑.如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________．记为_______.
其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 积分____，a 积分_____________．
说明：（1）定积分()b
a
f x dx ?
是一个常数，即n S 无限趋近的常数S
（n →+∞时）称为
()b
a
f x dx ?
，而不是n S ．
（２）曲边图形面积：()b
a
S f x dx =?；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =?
；
变力做功 ()b
a
W F r dr =
?
．
2．定积分的几何意义：
从几何上看，如果在区间)(],[x f b a 上函数连 续且恒有0)(≥x f ，那么定积分
?b
a
dx x f )(表示直线
x a =,()x b a b =≠,0y =和曲线y f x =（
）围成的 曲边梯形的面积.
（１）因此，用定积分表示右图中阴影部分的面积是：=S _______．
（２）思考：根据定积分的定义分析，当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴 下方）时，定积分
?b
a
dx x f )(表示什么？（当0)(≤x f 即
函数图象在x 轴下方时，定积分?b
a
dx x f )(的值是负的，是曲边梯形面积的
相反数．）
3．定积分的性质：
（１）=?
b
a
kdx _______（k 为常数）；
（２）=?b a dx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）； （３）[]=±?b a dx x f x f )()(2
1
_______________；
（４）=?b
a
dx x f )(__________________（其中b c a <<）．
三、思考探究
定积分的几何意义：
四、自主测评
1．将和式的极限)0(.......321lim
1
>+++++∞→p n n P p
p p p n 表示成定积分是（ ）．
（A ）
dx x ?1
01 （B ）dx x p
?10 （C ）
dx x p
?1
0)1(
（D ）
dx n x p
?1
0)(
2．下列等于1的积分是（ ）．
（A ）
dx x ?10
（B ）dx x ?+1
)1(
（C ）dx ?
1
01 （D ）
dx ?1
021
3．设?
??<≥=?
-112)().0(2),
0()(dx x f x x x x f x 则的值是（ ）
． ?
-1
12
)(dx x A ?
-1
1
2)(dx B x
?
?
+
-1
1
22)
(dx dx x C x ?
?
+
-1
20
1
2)(dx x dx D x
4．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为
五、典型例题：
例1根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ?
-3
1
|2|的值．
变式练习1.根据定积分的几何意义计算定积分2
1
(1)x dx +?
的值．
例2 利用定积分的定义，计算?1
3
dx x 的值．
变式练习2. 计算?
2
3
dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么．
六、小结
1、知识
2、方法
3、思想
七、当堂练习
1．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）．
A.［0，2e ］
B.［0，2］
C.［1，2］
D.［0，1］ 2．下列命题不正确的是（ ）． A.若)(x f 是连续的奇函数，则
0)(=?-a
a dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则
?
?
=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(
C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则
0)(>?b
a
dx x f
D.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>?b
a
dx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正．
3．已知
??+=2
2
]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )．
A.9
B.12
C.15
D.18 4．若函数x x x f +=3)(，则
?
-2
2
)(dx x f 等于（ ）
． A.0 B.8 C.
?
2
)(dx x f D.2?
2
)(dx x f
5．=+?
?
2
1
1
xdx xdx ______________＝ _____________ ．
6．试用定积分的几何意义说明?
-2
24dx x 的大小．
7．利用定积分的性质和几何意义求定积分?
-3
2)2(dx x ．