湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上把相应地方用2B铅笔涂黑）
1．（5分）下列框图中不是结构图的是（）
A．
B．
C．
D．
2．（5分）已知复数z满足|z|=5，且z+5i是纯虚数，则z=（）
A．﹣5i B．5i C．±5i D．4i
3．（5分）下列命题为真命题的是（）
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2+2x+4=0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
4．（5分）如图所示，输出的结果是（）
A．50 B．20 C．60 D．120
5．（5分）设α∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈（）A．（0，]B．（，） C．（0，）D．2﹣（）40．19．（12分）已知命题p：“?x∈，x2﹣a≥0”，命题q：“?x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p 且q”是真命题，求实数a的取值范围．
20．（13分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段
AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．
21．（14分）已知函数f（x）=4sin2（+x）+4sin2x﹣2﹣1，且给定条件p：“（x﹣）（x﹣）＞0，”（x∈R）
（1）在￢p的条件下，求f（x）的值域；
（2）若条件q：“﹣2＜f（x）﹣m＜2”，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．22．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐
标原点到直线l的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上把相应地方用2B铅笔涂黑）
1．（5分）下列框图中不是结构图的是（）
A．
B．
C．
D．
考点：结构图．
专题：阅读型．
分析：本题考查的知识点是流程图和结构图的定义，由结构图和流程图的定义：流程图指的是一个动态过程，应有先后顺序，而结构图描述的是静态的系统结构．逐一分析四个答案中的框图，即可得到答案．
解答：解：流程图指的是一个动态过程，
应有先后顺序，
而结构图描述的是静态的系统结构，
所以只有C是流程图，
不是结构图．
故选C
点评：流程图指的是一个动态过程，应有先后顺序，而结构图描述的是静态的系统结构．
2．（5分）已知复数z满足|z|=5，且z+5i是纯虚数，则z=（）
A．﹣5i B．5i C．±5i D．4i
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、模的计算公式、纯虚数的定义即可得出．
解答：解：∵复数z满足|z|=5，且z+5i是纯虚数，
∴z为纯虚数，±5i，
﹣5i舍去，
∴z=5i，
满足z+5i=10i为纯虚数．
故选：B．
点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、纯虚数的定义，考查了推理能力，属于基础题．
3．（5分）下列命题为真命题的是（）
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2+2x+4=0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
考点：特称命题．
专题：简易逻辑．
分析：根据含有量词的命题的真假进行判断即可．
解答：解：A．若x=，则x2=2是有理数，故A错误
B．∵x2+2x+4=（x+1）2+3≥3，∴存在一个实数x，使x2+2x+4=0错误．
C．∵2=1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，
D.2是质数，但2不是奇数，故D错误，
故选：C
点评：本题主要考查命题的真假判断，根据含有量词的命题的定义是解决本题的关键．4．（5分）如图所示，输出的结果是（）
A．50 B．20 C．60 D．120
考点：程序框图；循环结构．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的s，a的值，当a=3时，不满足条件a≥4，退出循环，输出的是S=5×4=20．
解答：解：模拟程序框图的运行过程，得；
a=5，s=1
满足条件a≥4，s=5，a=4
满足条件a≥4，s=20，a=3
不满足条件a≥4，退出循环，输出的是S=5×4=20．
故选：B．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的s，a的值是解题的关键，属于基础题．
5．（5分）设α∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈（）
A．（0，]B．（，） C．（0，）D．
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数代数形式的乘除运算化简z，然后由实部大于0得到t的范围，说明虚部此时不可能大于0得答案．
解答：解：
∵z===，
当t﹣4＞0，即t＞4时，﹣（2t+2）＜0，
当t﹣4＜0，即t＜4时，﹣（2t+2）可能大于0也可能小于0，
∴复数z=在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
故选：A．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7．（5分）下列判断正确的是（）
A．命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b 都不是偶数
B．若“p或q”为假命题，则“￢p且￢q”是假命题
C．已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且∨≤0 D．x2≠y2?x≠y且x≠﹣y
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：A，写出命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题，可判断A；
B，“p或q”为假命题?p与q均为假命题?“￢p且￢q”是真命题，可判断B；
C，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集?a=b=0，且c＞0或a＞0且△＜0，可判断C；D，利用命题p∨q的否定为￢p且￢q，可判断D．
解答：解：对于A，命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b 不都是偶数，而不是“a，b 都不是偶数”，故A不正确；
对于B，若“p或q”为假命题，则p与q均为假命题，则￢p且￢q是真命题，故B不正确；对于C，已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，则ax2+bx+c＞0恒成立，必有a=b=0，且c＞0或a＞0且△＜0，故C不正确；
对于D，x2≠y2?（x+y）（x﹣y）≠0?x≠y且x≠﹣y，故D正确．
综上所述，四个选项中只有D正确．
故选：D．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及真假判断，考查复合命题的真假判断，考查推理、运算能力，属于中档题．
8．（5分）过椭圆9x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是（）
A．B．4C．8D．2
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据椭圆的定义计算即得结论．
解答：解：△ABF2的周长为：AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a，
∵椭圆9x2+y2=1的标准方程为：，
∴a=1，∴4a=4，即△ABF2的周长为4，
故选：B．
点评：本题考查椭圆的基本性质，注意解题方法的积累，属于基础题．
9．（5分）观察下列各式：72=49，73=343，74=2410，75=16807 …则72015的末两位数为（）A．01 B．07 C．43 D．49
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72015的末两位数．
解答：解：根据题意得，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，
77=823543，78=5764801，79=40353607…，
发现：74k﹣2的末两位数字是49，74k﹣1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，
74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、…），
∵2015=504×4﹣1，
∴72015的末两位数字为43，
故选：C．
点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．10．（5分）经过椭圆x2+2y2=2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则?等于（）
A．﹣3 B．±C．﹣D．﹣
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由椭圆x2+2y2=2可求椭圆的焦点为F（±1，0），不妨设所作直线l过焦点（1，0），可得直线L：y=x﹣1，联立可求A，B．然后由?=x1x2+y1y2，代入可求．
解答：解：∵椭圆x2+2y2=2中a=，b=1
∴c=1
椭圆的焦点为F（±1，0）
不妨设所作倾斜角为45°的直线l过焦点（1，0），故直线L：y=x﹣1
联立消去y可得，3x2﹣4x=0
解方程可得，x1=0，x2=
代入直线y=x﹣1可得，y1=﹣1，y2=
?=x1x2+y1y2=﹣
故选：C．
点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆的相交关系的应用，向量数量积的坐标表示等知识的综合应用，属于综合性试题．
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把每题的答案填在答题卡上相应的地方）
11．（5分）已知下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归直线必过定点的坐标为（1.5，4）．
考点：线性回归方程．
专题：计算题；概率与统计．
分析：要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．
解答：解：∵=1.5，==4，
∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），
∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）
故答案为：（1.5，4）．
点评：本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点．
12．（5分）观察下列不等式：1+＜，1++＜，1+++＜…按照此规律，第六个不等式为1++++…+＜．
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：将所给的不等式的右边进行变形，按此规律写出第六个不等式即可．
解答：解：有题意可得：1+＜=，1++＜=，
1+++＜=…，
所以第六个不等式为：1++++…+＜=，
即1++++…+＜，
故答案为：1++++…+＜．
点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．13．（5分）已知函数f（x）=（）x，a，b∈R+，m=f（），n=f（），p=f（），
则m，n，p的大小关系为p≤n≤m．
考点：基本不等式；指数函数单调性的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：a，b∈R+，可得，利用函数f（x）=（）x在R上单调递减，即
可得出．
解答：解：∵a，b∈R+，
∴，
∵函数f（x）=（）x在R上单调递减，
∴p=f（）≤f（）=n≤f（）=m，
∴p≤n≤m．
故答案为：p≤n≤m．
点评：本题考查了基本不等式的性质、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）条件p：+1＜0，条件q：|x+1|＞2，则￢p是￢q的必要不充分条件（填充
分不必要，必要不充分，充要条件）
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：分别求出关于p，q的不等式，求出满足￢p，￢q的x的范围，结合充分必要条件的定义，从而得到答案．
解答：解：解不等式+1＜0，得：2＜x＜3，
∴p：2＜x＜3，￢p：x≥3或x≤2，
解不等式|x+1|＞2，得：x＞1或x＜﹣3，
∴q：x＞1或x＜﹣3，￢q：﹣3≤x≤1，
∴￢p是￢q的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
点评：本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题．
15．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生20 5 25
女生10 15 25
合计30 20 50
则至少有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（请用百分数表示）
附：
P（K2＞k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
考点：独立性检验．
专题：计算题．
分析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．
解答：解：根据所给的列联表，
得到k2==8.333＞7.879，
∴至少有99.5%的把握说明喜爱打篮球与性别有关．
故答案为：99.5%
点评：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．
16．（5分）已知椭圆的离心率为，且过点（2，0），则椭圆的标准方程或
．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：分椭圆焦点在x轴、y轴两种情况讨论即可．
解答：解：∵椭圆的离心率为，
∴e==，∴=，
∴=，即a=2b，
当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为，
代入点（2，0），可得b2=1，
即椭圆方程为；
当椭圆焦点在y轴上时，设椭圆方程为，
代入点（2，0），可得b2=4，
即椭圆方程为；
综上可得，椭圆方程为或．
点评：本题考查求椭圆的方程，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．17．（5分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径
R=．
考点：类比推理．
专题：压轴题；分割补形法．
分析：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．
解答：解：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方
体对角线长的一半．故为
故答案为：
点评：本题考查类比思想及割补思想的运用，考查类用所学知识分析问题、解决问题的能力．
三、解答题（本大题有5个小题，65分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（12分）计算：2﹣（）40．
考点：复数代数形式的混合运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则及其周期性即可得出．
解答：解：∵i2=﹣1，i4=1，（1﹣i）2=﹣2i，（1+i）2=2i．
∴i200=1，=====﹣i，
==i20=1．
原式=（1+2i﹣i）2﹣1
=2i﹣1．
点评：本题考查了复数的运算法则及其周期性，属于基础题．
19．（12分）已知命题p：“?x∈，x2﹣a≥0”，命题q：“?x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p 且q”是真命题，求实数a的取值范围．
考点：四种命题的真假关系．
分析：已知p且q是真命题，得到p、q都是真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立；若q 为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，即△≥0，分别求出a的范围后，解出a的取值范围．解答：解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，a≤x2恒成立，
∵x∈，
∴a≤1 ①；
若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，
△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，
即a≥1或a≤﹣2 ②，
对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，
综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．
点评：本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，求解关于a的不等式．20．（13分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段
AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组得关于x的一元二次方程；
由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x ﹣2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代
入圆的方程x02+y02=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．
解答：解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则由得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，
由根与系数的关系，得，
且判别式△=4a2b2（a2+b2﹣1）＞0，即a2+b2﹣1＞0（*）；
∴线段AB的中点坐标为（）．
由已知得，
∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），
设F（b，0）关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），
则且，
解得．
由已知得x02+y02=4，∴，
∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件
故所求的椭圆方程为．
点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力；解题时应细心解答．
21．（14分）已知函数f（x）=4sin2（+x）+4sin2x﹣2﹣1，且给定条件p：“（x﹣）（x﹣）＞0，”（x∈R）
（1）在￢p的条件下，求f（x）的值域；
（2）若条件q：“﹣2＜f（x）﹣m＜2”，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．
专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．
分析：（1）求出￢p的条件下，结合三角函数的图象和性质即可求f（x）的值域；（2）根据条件q：“﹣2＜f（x）﹣m＜2”，且￢p是q的充分条件，建立条件关系即可求实数m的取值范围．
解答：解：（1）由（x﹣）（x﹣）＞0得x＞或x＜，即p：x＞或x＜，
则￢p：≤x≤，
f（x）=4sin2（+x）+4sin2x﹣2﹣1=4×+4×﹣2
﹣1
=2+2sin2x+2﹣2cos2x﹣2﹣1
=2sin2x﹣2cos2x+1
=4sin（2x﹣）+1，
∵≤x≤，
∴≤2x≤π，≤2x﹣≤，
则sin≤sin（2x﹣）≤sin，
即≤sin（2x﹣）≤1，
2≤2sin（2x﹣）+1≤3，即f（x）的值域是；
（2）由（1）知f（x）=4sin（2x﹣）+1，当￢p成立时，2≤f（x）≤3，
￢p：≤x≤，q：“﹣2＜f（x）﹣m＜2”，即q：“m﹣2＜f（x）＜2+m，
若￢p是q的充分条件，
则，即，
解得1＜m＜4，
故实数m的取值范围是（1，4）．
点评：本题主要考查三角函数值域的求解，以及充分条件和必要条件的应用，综合性较强，涉及的知识较多．
22．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐
标原点到直线l的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）利用直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为，
建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．
解答：解：（1）直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为．
∴
∴b=1
∵椭圆的离心率e=，
∴
∴a2=3
∴所求椭圆的方程是；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0
∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1
设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=
∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，
∴EC⊥ED
∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0
∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0
∴（1+k2）×+（2k+1）×（）+5=0
解得k=＞1，
∴当k=时，以CD为直径的圆过定点E
点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．