换元法学案

高中数学校本课程教案

课题： 高中数学解题基本方法——换元法

目标：熟练掌握代数变形的基本方法，能有效地进行新、旧元之间的代换，或将代数式的某一部分进行整体代换，形成换元的意识，培养学生的数感，提高学生代数变形的能力。

过程：

一、基本知识：换元的思想方法，就是指在解决数学问题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

事实上，在初中，我们就已经接触并运用换元法解决了一些实际问题，以下是部分中考真题：

1. 解方程2(1)51)40x x ---+=（

2. 用换元法解方程222()x)6x x x +++=（

分析：如果设2x =y x +，那么原方程可变为260y y +-=

3. 已知实数x 满足2

2110x x x x +++=，那么1

x x += 4. 已知22222())120x y x y ++-=+（，求22x y +

5. 分解因式：

.16)4a 3a )(2a 3a (22-++-+ 提示：设m 2a 3a 2=-+，还可以设m a 3a 2=+，或m 4a 3a 2=++，或

m 1a 3a 2=++。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.）

二、新授：常用换元的方法有：

（一）局部换元、局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例1：已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，的解析式

分析：该题通常情况下一般都是从两个方面去考虑。

一是配凑法，将24x x -配凑成只含(1)x -的式子，

即22(1)4=1)2(1)3f x x x x x -=-----（，从而观察出函数的对应法则； 二是直接用换元法，令1=x t -，

总之，不管是用什么手段，都是把(1)x -看成一个整体，一个新元来解决的，这就是换元的思想方法.

跟踪练习：

1.若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为

2．已知f(x 3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。

3. 已知22

1

1()f x x x x -=+，则()f x =

4.已知1)f x =+()f x =

例2. 已知10x -≤≤，求函数2234x x y +=-?的值域。

分析：令2x t =，因为10x -≤≤，所以

112

t ≤≤ 所以234y t t =-+，112t ≤≤ 利用换元法，将一个复合函数分解成两个简单的基本初等函数来求解，大大降低了解题的难度，达到了复杂的问题简单化的目的。

跟踪练习：

1. 已知函数232()2x x f x -+= ，试研究函数的定义域、值域、单调性。

2．已知函数22()log (32)f x x x =-+ ，试研究函数的定义域、值域、单调性。 3. 已知函数f (x )＝4x －2x t ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是

4. 对于函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是

5.求函数x x y 41332-+-=的值域。

6.．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为

7．试求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的值域。

（二）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域

时，易发现[0,1]x ∈，设2sin x α=，[0,]2

πα∈，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x y ，适合条件222=x y r +（0r >）时，则可作三角代换cos x r α=、sin y r α=化为三角问题。

例：已知224x y x +=，则x y +的范围是_________________

分析：将已知条件变形为圆的标准方程222)4x y -+=（，可以进行三角换元 22cos 2sin x y αα

=+??=? ，则2(sin cos )2x y αα+=++ 将代数问题转化为三角函数的值域问题。

（三）均值换元

均值换元，如遇到x y S +=形式时，设2S x t =+，2

S y t =-等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小

也不能扩大。如上几例中的0t > 和[0,]2

πα∈。

三、在高一学过的数列相关问题中，我们也经常遇到利用换元法，将未知的，不熟悉的数列问题转化为我们学过的等差数列、等比数列来研究

1.已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n +1·a n ＝a n +1－a n ，则数列通项a n ＝___________。

2：（等差型数列）在数列{}n a 中，若111,2n n a a a +==+，求该数列的通项公式n a 变式1：在数列{}n a 中，若11a =

2=，求该数列的通项公式n a 变式2：在数列{}n a 中，若22111,2n n a a a +=-=，求该数列的通项公式n a 变式3：在数列{}n a 中，若11a =，1112n n

a a +=+求该数列的通项公式n a 。 变式4：在数列{}n a 中，0n a >若11a =，1lg lg 2n n a a +-=，求该数列的通项公式n a 。

课后反思：通过本节课的学习，你对换元法有了怎样的认识？在你已经学习过的知识中，在解决哪些问题是经常用到换元法？