平行四边形的性质和判定

一、知识梳理

1、平行四边形的定义、性质及判定

2选择的判定定理

（第12题）E 图3 常见判定方法的辨析

(

)

??????

?????????

?????)(

.7;.6.5,.4.3.2.1条对角线平分；两顶点的对角线被另一一组对角相等该对角的角相等一组对边相等且一组对相平分；角线被另一条对角线互一组对边相等且一条对另一组对边相等；一组对边平行一条对角线；两顶点的对角线平分另一组对角相等该对角的分；角线被另一条对角线平一组对边平行且一条对角相等；一组对边平行且一组对

3、平行四边形的面积

（1）如图1，()()==ABCD S 平行四边形．

即平行四边形S = × =ah (a 是平行四边形任何一边长，h 必须是

边与其对边的距离)．

（2）如图2，EBCF ABCD

S S 平行四边形平行四边形．

图1 图2

（3）面积计算类型：

练习：如图3、平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，E 为AB 边中点，图中与△ADE 面积相等的三角形（不

包括△ADE ）共有（）个．

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

4、三角形中位线——构造平行四边形

(1) 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

(2)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．

三角形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行．

②数量关系：可以证明线段的倍分关系．

二、典型例题

平行四边形的概念、性质及相关计算

例1、（2005 桂林）已知任意直线l 把ABCD 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在的位置需满足的条件是___ （只要填一个你认为合适的条件）．

例2、（2006 淮安课改）如图，平行四边形ABCD 中，AB 3=，5BC =，AC 的垂直平分线交AD 于E ，

则CDE △的周长是（）Ａ．6 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ．10

例3、在MBN △中，6BM =，点A ，C ，D 分别在MB ，BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，NDC MDA =∠∠，ABCD 的周长是（）Ａ．24 Ｂ．18 Ｃ．16 Ｄ．12

例4、如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AC+BD=18，BC=6，则△AOD 的周长为．

1题 2题 3题 4题

例5、（08山东潍坊）在平行四边形ABCD 中，点1A ，2A ，3A ，4A 和1C ，2C ，3C ，4C 分别是AB 和CD 的五等分点，点1B ，2B 和1D ，2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形

ABCD 的面积为（）

A ．2

B ．35

C ．5

D ．15

例5 例6

例6、 (2006 河北课改)如图，在ABCD 中，53AD AB ==，，AE 平分BAD ∠交BC 边于点E ，则线段BE EC ，的长度分别为（）Ａ．2和3 Ｂ．3和2 Ｃ．4和1 Ｄ．1和4

例7、(2008年西宁市) 如图已知：平行四边形ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．

求证：AE DG =．

例8、（2006 长春课改）如图，在ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB AE =．（1）求证：ABC EAD △≌△．

（2）若AE 平分DAB ∠，25EAC =∠，求AED ∠的度数．

例9、（2005 黑龙江课改）如图，E 、F 是ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF 是平行四边形．

D C B N

B A B

C E F G

1 2 3 4 C C C

例10、（2005 山东）如图，在ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，E F ，是对角线AC 上的两点，当E F ，满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形（）

Ａ．OE OF =Ｂ．DE BF =Ｃ．ADE CBF ∠=∠ Ｄ．ABE CDF ∠=∠

例11、（2006 南京课改）已知：如图，在ABCD 中，E F ，分别是AB CD ，的中点．求证：（1）AFD CEB △≌△；（2）四边形AECF 是平行四边形．

例12、（2006黄冈）如图，DB AC ∥，且1

DB AC =，E 是AC 的中点，

求证：BC DE =．

例13、(2008年湖州市) 如图，在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．

（1）求证：BDE CDF △≌△．

（2）请连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．

例14（08西城一模）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于

点F. 若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF. （1）求证：PA=PC ；

Ａ D E

C C D

D C A B

O F E

（2）若AD=12，AB=15，60DAB ?∠=，求四边形ABCD 的面积.

例15、如图，E 、F 分别是ABCD 的边AD 、 BC 上的点，且AE=CF (1)求证：△ABE ≌△CDF ；

(2)若M 、N 分别是BE 、DF 的中点，连接MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形？并证明

例16、（2008年甘肃）如图，在ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ．

(1)求证：△ADE ≌△FCE ；

(2)连结AC 、DF ，则四边形ACFD 是下列选项中的（）． A ．梯形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形

例17、如图，四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，CE 、CF 交BD 于G 、H ，若G 、H 为BD 的三等分点，证明四边形ABCD 为平行四边形.

例18、已知AD 是△ABC 的中线，E 为AC 上一点，连线BE 交AD 于F ，且AE ＝FE ，求证：AC ＝BF

D B

例19、六边形ABCDEF，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,AB=20,BC=40,CD=30,DE=25,求AF和EF的长

三、能力训练

1、(2006广东课改)如图所示，在ABCD中，对角线AC BD

，交于点O，下列式子中一定成立的是（）A．AC BD

⊥B．OA OC

=C．AC BD

=D．AO OD

2、. (2006河北)如图，在四边形ABCD 中，AB CD BC AD

，，若110

∠，则_____

∠．3、. (2006佛山课改)如图，在平行四边形ABCD中，AC BD

，相交于点O．下列结论中正确的个数有（）结论：①OA OC

=，②BAD BCD

∠=∠，③AC BD

⊥，④180

BAD ABC

∠+∠=．

Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个

1题2题3题

4、不能判定四边形是平行四边形的条件是（）

A、AB=CD AD=BC ；

B、A B∥CD AB=CD

C、AB=CD A D∥BC；

D、A B∥CD A D∥BC

5、（2005天津）如图，在ABCD中，EF AB

∥，GH AD

∥，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）

Ａ．7个Ｂ．8个Ｃ．9个Ｄ．11个

6、（08北京）ABC

?中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm,则BC =______cm．

7、在平行四边形ABCD中, ∠B=110O,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F=( )

A 110O

B 30O

C 50O D70O

5题 7题 8题

8、（08湖南怀化）如图，在平行四边形ABCD 中，DB=DC 、

65=∠A ，CE ⊥BD 于E ，则=∠BCE ． 9、（08四川达州）如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN EF ，分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是1234S S S S ，，，，若MN AB DC ∥∥，EF DA CB ∥∥，则有（） A ．14S S = B ．1423S S S S +=+ C ．1423S S S S = D

9题 11题

10、（2005宿迁）已知点(20)A ，、点B （1

，0）、点C （0，1），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）

Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限

11、如图,在等腰ABC Rt ?中,AC=BC,以斜边AB 为一边作等边ABD ?,使点C,D 在AB 的同侧;再以CD 为一边作等边CDE ?,使点C,E 落在AD 的异侧.若AE=1,则

CD 的长为（）

12、（2008年广东）如图所示，已知等边三角形ABC 的边长为1，按图中所示的规律，用2008 个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是

13、（2005 贵阳课改）在一次数学探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；（2）请在图９的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（３）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么特征？

14、（2005 四川泸州大纲）如图，在

ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，

OD 的中点，以图中的任意四点（即点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平行

C A

B ┅┅ 红紫白

黄 D M A F

E C N B ＡＤＢ

ＡＤＢＡＢ

四边形．

15、（2005 佛山课改）已知任意．．

四边形ABCD ，且线段AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、

BD 的中点分别是E 、F 、G 、H 、P 、Q ．

（1）若四边形ABCD 如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．

甲：顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 一定得到平行四边形；（）乙：顺次连接EQ 、QG 、GP 、PE 一定得到平行四边形．（）

（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．

（3）若四边形ABCD 如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？

16、（2006 荆州课改）ABCD 中，2AB BC =，E 为DC 的中点，AE 与BC 延长相交于点F ．求证：F FAB =∠∠． 17、（2006 贵阳课改）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AF BD ⊥，CE BD ⊥，垂足分别为F ，E ．

（1）连接AE ，CF ，得四边形AFCE ．试判断四边形AFCE 的形状？

（2）请证明你的结论．

18、（2006 贵港）如图，AB CD ∥，AB CD =，点B E F D ，，，在同一直线上，BAE DCF =∠∠．（1）求证：AE CF =；

（2）连结AF EC ，，试猜想四边形AECF 是什么四边形，并证明你的结论．

B B

C E A

F C B D D 图② A D C B 图①

19、（2005 浙江课改）如图，在平行四边形ABCD 中，B ∠，D ∠的平分线分别交对边于点E F ，，交四边形

的对角线AC 于点G H ，．求证：AH CG =．

20、如图是某城市部分街道示意图，AF ∥BC ，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，EF ＝FC ，甲乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲的路线是B →A →E →F ，乙的路线是B →D →C →F ，两车速度相同，无耽误时间，谁先到F 站？

21、在等边三角形ABC 内，有一动点P ，过P 作ED ∥AB ，HI ∥BC ，GF ∥AC ，已知等边三角形ABC 的边长为a ，请问：ED ＋HI ＋GF 的长度是否唯一定值，如果是，该定值为多少？

22、平行四边形ABCD 中，△ACP 和△ACQ 是正三角形，求证：四边形BPDG 是平行四边形

A B D E G H F