第一节 椭 圆
第十章 圆锥曲线与方程
第一节 椭 圆
高考试题
考点一 椭圆的定义及应用
1.(2009年北京卷,文13)椭圆
2
9x +
22
y =1的焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .
解析:由椭圆方程
2
9
x +
2
2
y =1可知a 2
=9,b 2
=2,
∴c 2
由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6, 由|PF 1|=4,得|PF 2|=2.
在△PF 1F 2中,由余弦定理的推论有
cos ∠F 1PF 2=
2
2
2
1212
12
2PF PF F F PE PE +-
=224228242
+-??
=-
12
. ∴∠F 1PF 2=120°. 答案:2 120°
2.(2009年上海卷,文12)已知F 1
、F 2
是椭圆C: 22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且1PF ⊥2PF
,若△PF 1F 2的面积为9,则b= . 解析:由题意可知,
1
2
1PF |2PF |=9, ①
|1PF |2
+|2PF |2
=|12F F |2
=(2c)2
, ② 由椭圆定义可知,|PF 1|+|PF 2|=2a, ③ 联立①②③解得a 2
-c 2
=9, 即b 2
=9,∴b=3.
答案:3
考点二 椭圆的方程及其简单性质应用
1.(2013年广东卷,文9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0),离心率等于
12
,则C 的方程是( )
(A)
2
3
x
+
2
4
y
=1 (B)
2
4
x
2
(C)
2
4
x
+
2
2
y
=1 (D)
2
4
x
+
2
3
y
=1
解析:因椭圆中心在原点,右焦点为(1,0),所以其方程应为
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1,且a2-b2=c2=1.又离心率
c
a
=
1
2
,∴a=2,b2=a2-c2=3.故选D.
答案:D
2.(2013年大纲全国卷,文8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且AB=3,则C的方程为( )
(A)
2
2
x
+y2=1 (B)
2
3
x
+
2
2
y
=1
(C)
2
4
x
+
2
3
y
=1 (D)
2
5
x
+
2
4
y
=1
解析:依题意设椭圆C的方程为
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0),由条件可得A（1,
2
b
a
）,B（1,-
2
b
a
）,因|AB|=
2
b
a
-（-
2
b
a
）=
2
2b
a
=3,
即2b2=3a,所以
2
222
23,
1,
b a
a b c
?=
?
?
-==
??
解得
2,
a
b
=
??
?
=
??
所以椭圆C的方程为
2
4
x
+
2
3
y
=1.故选C.
答案:C
3.(2010年福建卷,文11)若点O和点F分别为椭圆
2
4
x
+
2
3
y
=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP2FP的最大
值为( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
解析:由椭圆方程
2
4
x
+
2
3
y
=1可知a2=4,b2=3,
∴c2=1,
∴F(-1,0).设P(x0,y0),
则
2
4
x
+
2
3
y
=1.
且OP=(x0,y0),FP=(x0+1,y0),∴OP2FP=x0(x0+1)+20y
=20
x +x 0
+3（1-20
4
x ）
=
2
014x +x 0+3 =1
4
(x 0
+2)2
+2 ∵-2≤x 0≤2,
∴当x 0=2时,OP 2FP 取到最大值14
316+2=6.
答案:C
考点三 椭圆离心率的求法
1.(2013年辽宁卷,文11)已知椭圆C: 22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF.若
|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45
,则C 的离心率为( ) (A)
35
(B)
57
(C)
45
(D)
67
解析:|AF|2
=|AB|2
+|BF|2
-2|AB|2|BF|cos ∠ABF=100+64-2310383
45
=36,
则|AF|=6,∠AFB=90°, 半焦距c=|FO|=
12
|AB|
=5, 设椭圆右焦点F 2, 连结AF 2,
由对称性知|AF 2|=|FB|=8, 2a=|AF 2|+|AF|=6+8=14, 即a=7, 则e=
c a =57
.故选B.
答案:B
2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文5)设椭圆C: 22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,
则C 的离心率为( )
(A)
(B)13 (C)
12
解析:Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c(c为半焦距),因为∠PF1F2=30°,
所以|PF2
,|PF1
,
由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2
所以e=c
a
=
3
.
故选D.答案:D
3.(2013年四川卷,文9)从椭圆
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B
是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
(B)1
2
(C)
解析:由题意点P(-c,y)(y>0)在椭圆上,
则
2
2
c
a
+
2
2
y
b
=1,
解得y=
2
b
a
,则k OP=
2
b
ac
-
.
又由A(a,0),B(0,b),得k AB=-b a
,
所以
2
b
ac
-
=
b
a-
,
即b=c,∴
所以
故选C.
答案:C
4.(2012年新课标全国卷,文4)设F1,F2是椭圆E:
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=
3
2
a
上一点,△F2PF1是底角为30°
的等腰三角形,则E的离心率为( )
(A)1
2
(B)
2
3
(C)
3
4
(D)
4
5
解析:如图所示,设直线x=
32
a 与x 轴的交点为Q,
由题意可知, ∠F 2F 1P=∠F 1PF 2=30°, |PF 2|=|F 1F 2|=2c,
∴∠PF 2Q=60°,∠F 2PQ=30°.
∴|F 2Q|=
1
2|PF 2
|. 即32a-c=1
222c, ∴e=c a =34
.
答案:C
5.(2012年江西卷,文8)椭圆22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1、F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等
比数列,则此椭圆的离心率为( )
(A)
14
(B)
5
(C)
12
解析:由题意知,|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|F 1B|=a+c. 由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B|成等比数列可得:
(2c)2
=(a-c)(a+c). 整理得a 2
=5c 2
,
∴e=
c a
答案:B
6.(2011年新课标全国卷,文4)椭圆216x +
2
8
y =1的离心率为( )
(A)
13
(B)
12
(C)
3
(D)
2
解析:由椭圆方程216x +
2
8
y =1可知a 2
=16,b 2
=8,
∴c 2
=a 2
-b 2
=8,
∴e=c
a
2
.
答案:D
7.(2010年广东卷,文7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
(A)4
5
(B)
3
5
(C)
2
5
(D)
1
5
解析:由题意可知,2a,2b,2c成等差数列,∴4b=2a+2c,即a+c=2b,
又a2-c2=b2,∴
2
2
a c
+
??
?
??
=a2-c2,
即5c2+2ac-3a2=0,∴5e2+2e-3=0,
解得e=3
5
或e=-1(舍去).
答案:B
8.(2013年福建卷,文15)椭圆Γ:
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线
与椭圆Γ的一个
交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.
解析:直线
过点F1(-c,0)且倾斜角为60°,
所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以∠F1MF2=90°,
所以F1M⊥F2M,
在Rt△F1MF2中,
|MF1|=c,|MF2
所以e=c
a
=
2
2
c
a
=
12
2c
MF MF
+
答案
考点四直线与椭圆的位置关系
1.(2013年陕西卷,文20)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.
解:(1)设M到直线l的距离为d,
根据题意,d=2|MN|.
由此得
化简得
2
4
x +
23
y =1,
所以,动点M 的轨迹方程为
2
4
x +
23
y =1.
(2)法一 由题意,设直线m 的方程为y=kx+3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).
将y=kx+3代入
2
4
x +
23
y =1中,
有(3+4k 2
)x 2
+24kx+24=0,
其中,Δ=(24k)2
-4324(3+4k 2
)=96(2k 2
-3)>0,
由求根公式得,
x 1+x 2=-22434k
k +, ①
x 1x 2
=2
2434k +. ②
又因A 是PB 的中点, 故x 2=2x 1,③ 将③代入①,②,得 x 1=-
2
834k
k +, 21x =2
12
34k
+, 可得2
2834k k -?? ?
+??
=
2
12
34k +,
且k 2
>
32, 解得k=-32或k=3
2
,
所以,直线m 的斜率为-
3
2
或
32
. 法二 由题意,设直线m 的方程为y=kx+3, A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). ∵A 是PB 的中点, ∴x 1=
22
x ,①
y 1=
2
32
y +.②
又
214
x +
213
y =1,③
224
x +
223
y =1.④
联立①,②,③,④解得222,0x y =??
=?或22
2,
0x y =-??=? 即点B 的坐标为(2,0)或(-2,0), 所以,直线m 的斜率为-
32
或
32
. 2.(2013年江西卷,文20)椭圆C: 22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)的离心率
(1)求椭圆C 的方程;
(2)如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N,直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m.证明2m-k 为定值.
(1)解:因为
c a
, 所以
c. 代入a+b=3, 得
故椭圆C 的方程为
2
4
x +y 2
=1.
(2)证明:因为B(2,0),P 不为椭圆顶点, 则直线BP 的方程为y=k(x-2)（k ≠0,k ≠±
12
）, ①
把①代入
2
4
x +y 2
=1,
解得P 222
824,4141k k k k ??
-- ?++??
.
直线AD 的方程为y=
12
x+1.②
①与②联立解得M 424,2121k k k k +??
?--??
.
由D(0,1),P 222
824,4141k k k k ??
-- ?++??
，N(x,0)三点共线知 22241
4182041
k
k k k -
-+--+=010x --,
解得N 42,021k k -??
?+??
. 所以MN 的斜率为m=
40214242
2121
k
k k k k k --+--
-+ =
()()()
2
2
421221221k k k k ++--
=
21
4
k +, 则2m-k=214k +-k=1
2
(定值).
3.(2013年安徽卷,文21)已知椭圆C: 22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)的焦距为4,且过点
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设Q(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点.过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E.取点
连接AE,过点A 作AE 的垂线交x 轴于
点D.点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 解:(1)因为焦距为4, 所以a 2
-b 2
=4.
又因为椭圆C 过点
所以
2
2a +23b
=1,
故a 2
=8,b 2
=4,
从而椭圆C 的方程为
2
8
x +
24
y =1.
(2)一定有唯一的公共点. 由题意,E 点坐标为(x 0,0).
设D(x D ,0),则
AE =(x 0
AD =(x D
再由AD ⊥AE 知,AE 2AD =0,
即x D x 0+8=0.
由于x 0y 0≠0,故x D =-
8x . 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点,所以点G （
8x ,0）.
故直线QG 的斜率k QG =
000
8y x x -
=
00
2
08
x y x -. 又因Q(x 0,y 0)在椭圆C 上, 所以2
0x +2
2
y =8.① 从而k QG =-
2x y . 故直线QG 的方程为 y=-
00
2x y （x-
8x ）.②
将②代入椭圆C 方程,得 (2
0x +2
20
y )x 2
-16x 0
x+64-162
0y =0.③ 再将①代入③,化简得 x 2
-2x 0x+2
0x =0.
解得x=x 0,y=y 0,
即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.
4.(2013年天津卷,文18)设椭圆22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)的左焦点为F,
离心率为
3
,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段
. (1)求椭圆的方程;
(2)设A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C,D 两点.若AC 2DB +
AD 2CB =8,求k 的值.
解:(1)设F(-c,0),由
c a
知
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,
代入椭圆方程有()2
2
c
a
-
+
2
2
y
b
=1,
解得y=
,
解得
又a2-c2=b2,从而
所以椭圆的方程为
2
3
x
+
2
2
y
=1.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),
由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).
由方程组
()
22
1,
1
32
y k x
x y
?=+
?
?
+=
?
?
消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,
则x1+x2=-
2
2
6
23
k
k
+
,x1x2=
2
2
36
23
k
k
-
+
.
因为
所以
AC2DB+AD2CB=(x1
1)2
2,-y2)+(x2
2)2
1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k
2(x
1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+
2
2 212 23
k
k
+
+
.
由已知得6+
2
2
212
23
k
k
+
+
=8,解得k=
5.(2012高考北京卷,文19)已知椭圆C:
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),
离心率为
2
.直线y=k(x-1)与椭圆C交于
不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN
的面积为
3
时,求k的值.
解:(1)由题设知,椭圆焦点在x轴上,∴a=2.
由e=
c a
=
2
得
∴b 2
=a 2
-c 2
=2.
∴椭圆C 的方程为
2
4
x +
22
y =1.
(2)由()22
1,142
y k x x y ?=-??+
=??消去y, 整理得(1+2k 2
)x 2
-4k 2
x+2k 2
-4=0.
设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).
则Δ=(-4k 2
)2
-4(1+2k 2
)(2k 2
-4)>0(※)
且x 1
+x 2=
2
2
412k k +,x 1
2x 2
=22
2412k k
-+, ∴
设点A(2,0)到直线y=k(x-1)
的距离为d, 则.
∴S △AMN
=1
2
|MN|2
解得k=±1,
代入(※)式成立,∴k=±1.
6.(2012年天津卷,文19)已知椭圆22x a +2
2
y b
=1(a>b>0),点P
）在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点,若点Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ 的斜率的值
.
解:(1)∵点P
a ）在椭圆上,
∴
225a a +
22
2a b =1整理得22b a =5
8
.
∴e=
c a
(2)由题意可知,点A 坐标为(-a,0),|AO|=a. 设直线OQ 的斜率为k, 则其方程为y=kx, 设点Q 坐标为(x 0,y 0).
则00220
022,1,y kx x y a b
=???+=?? 消去y 0
,整理得20
x =22
22
2
a b k a b +①
由|AQ|=|AO|得(x 0+a)2+k 2
2
x =a 2
. 整理得(1+k
2
2
x 2ax 0
=0. 由于x 0≠0, 得x 0=-
2
21a k +.②
把②代入①得
()
2
2
241a k +=22222
a b k a b +, 整理得(1+k 2)2
=4k 2
22
2
a b
+4.
由(1)知22a b =85
,
故(1+k 2)2
=
32
5
k 2
+4, 即5k 4
-22k 2-15=0,
解得k 2
=5.
∴直线OQ 的斜率k=
7.(2011年天津卷,文18)设椭圆22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,点P(a,b)满足|PF 2|=|F 1F 2|.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A,B 两点.若直线PF 2与圆(x+1)2
2
=16相交于M,N 两点,且|MN|=
5
8
|AB|,求椭圆的方程. 解:(1)设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c>0), 因为|PF 2|=|F 1F 2|,
整理得2（
c a
）2
+
c
a
-1=0, 得c a =-1(舍去),或c a =12
, 所以e=12
.
(2)由
(1)知
可得椭圆方程为3x 2
+4y 2
=12c 2
, 直线PF
2的方程为
A
、B 两点的坐标满足方程组)2223412,
,
x y c y x c ?+=??=-??
消去y 并整理,得5x 2
-8cx=0,
解得x 1=0,x 2=
8
5
c. 得方程组的解110,
,
x y =???=??
228,5.x c y ?
=??
?
?=??
不妨设A
（
85c,5
c ） 所以
165
c. 于是|MN|=
8
5
|AB|=2c. 圆心到直线PF 2
的距离
. 因为d 2
+2
2MN ?? ???=42
,
所以3
4
(2+c)2
+c 2
=16.
整理得7c 2
+12c-52=0,
解得c=-
26
7
(舍去)或c=2. 所以椭圆方程为216x +
2
12
y =1.
8.(2011年陕西卷,文17)设椭圆C: 22x a +2
2
y b
=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为
35
. (1)求C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为
45
的直线被C 所截线段的中点坐标.
解:(1)将(0,4)代入C 的方程得2
16b =1,
∴b=4,
又由e=c a =35,得222
a b a -=925,
即1-
216a =925
, ∴a=5,
∴C 的方程为225x +
2
16
y =1.
(2)过点(3,0)且斜率为
45
的直线方程为y=
45
(x-3).
设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 将直线方程y=
45
(x-3)代入C 的方程,
得225x +()2
325
x -=1,
即x 2
-3x-8=0,
∴x 1+x 2=3.
设线段AB 的中点坐标为(x ′,y ′), 则x ′=
122x x +=3
2
,
y ′=
12
2
y y +=
25(x 1
+x 2
-6)=- 65, 即中点坐标为（32,-6
5
）.
9.(2012年重庆卷,文21)如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F 1、F 2,线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B 1作直线交椭圆于P 、Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求△PB 2Q 的面积.
解:(1)设椭圆的标准方程为22x a +2
2
y b
=1(a>b>0),焦距为2c,则A(0,b),|OB 1|=|OB 2|=
2
c . 由12
AB B S
=4得
12
2c 2b=4,
即bc=8.①
又△AB 1B 2是直角三角形, 且|OB 1|=|OB 2|,∴b=
2
c .②
由①②可得b=2,c=4. ∴a 2
=20.
∴椭圆的标准方程为220x +
2
4
y =1,离心率e=
c a (2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0). 由题意知,直线PQ 的倾斜角不为0,
故可设直线PQ 的方程为x=my-2. 代入椭圆方程得(m 2
+5)y 2
-4my-16=0.(*) 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),
则y 1,y 2是方程(*)的两根. ∴y 1+y 2=
245m m +,y 1
2y 2
=-216
5
m +.
又2B P =(x 1-2,y 1), 2B Q =(x 2
-2,y 2
).
∴2B P 22B Q =(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2 =(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2 =(m 2
+1)y 1y 2-4m(y 1+y 2)+16
=-()22
1615
m m ++-2
2165m m ++16
=-2216645
m m -+.
由PB 2⊥B 2Q 知2PB 22B Q =0,
即-22
16645
m m -+=0, 16m 2
-64=0,解得m=±2.
当m=2时,y 1+y 2=
89,y 1y 2
=-169
,
|y 1-y 2.
2
PB Q S
=
12
|B 1B 2|2|y 1-y 2.
当m=-2时,由椭圆的对称性可得2
PB Q S .
综上所述,△PB 2Q . 模拟试题
考点一 应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题
1.(2013北京西城高三上学期期末)已知椭圆
2
4
x +
22
y =1的两个焦点是F 1、F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面
积是 .
解析:由椭圆方程
2
4
x +
22
y =1可知
∴|PF 1|+|PF 2|=4. 又|PF 1|-|PF 2|=2, ∴|PF 1|=3,|PF 2|=1.
又|F 1F 2
∴|PF 1|2
=|PF 2|2
+|F 1F 2|2
, ∴PF 2⊥F 1F 2, ∴12
PF F S
=
1
2|PF 2
||F 1F 2
|
=1
2
313
答案2.(2013北京海淀高三上学期期末)已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2
+2y 2
=2的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,则2
1PF PF +的最小值是 . 解析:设P(x,y),则x 2
+2y 2
=2,
由椭圆方程
22
x +y 2
=1可知
∴F 1(-1,0),F 2(1,0). ∴1PF =(-1-x,-y),
2PF =(1-x,-y),
∴1PF +2PF =(-2x,-2y).
∴|1PF +2PF |=
=2
=2
=2
∵y 2
≤1,
∴|1PF +2PF |的最小值是2. 答案:2
考点二 椭圆的方程及其简单性质应用
1.(2013广东“十校”高三联考)定义:关于x 的不等式|x-A|
已知a+b-2的a+b 邻域为区间(-2,8),其中a 、b 分别为椭圆22x a +22
y b
=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线
y 2
的焦点重合,则椭圆的方程为(
)
(A)
2
8x +
23y =1
(B)
2
9
x +
24
y =1
(C)
2
9
x +28
y =1
(D) 216x +
2
9
y =1
解析:由题意可知|x-(a+b-2)| 又抛物线y 2 的焦点为 ∴椭圆的焦点在x 轴上,且 即a 2 -b 2 =5. ② 联立①②可得a=3,b=2, ∴椭圆标准方程为 2 9 x + 24 y =1. 答案:B 2.(2011辽宁模拟)椭圆236x + 2 9 y =1上有两个动点P 、Q,E(3,0),EP ⊥EQ,则EP 2QP 的最小值为( ) (A)6 (C)9 解析:设P(x 0,y 0), 则2036x +2 09 y =1, EP =(x 0 -3,y 0 ), 又QP =EP -EQ , ∴EP 2QP =EP 2(EP -EQ ) =2 EP -EP 2EQ =2 EP =(x 0-3)2 + 20 y =(x 0-3)2 +9-2 014 x = 2 034 x -6x 0 +18, 又x 0∈[-6,6],∴当x 0=4时,EP 2QP 取到最小值6. 答案:A 考点三 求椭圆的离心率 1.(2012成都二模)已知A 、B 分别为椭圆22x a +2 2 y b =1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a 与x 轴交于点D,与直线AC 交于 点P,若∠DBP= π 3 ,则此椭圆的离心率为( ) (A) 12 (B) 2 (C) 29 (D) 3 解析:如图所示, 由已知得A(-a,0),B(a,0),C(0,b),D(2a,0). 设P(2a,y 0), ∵A 、C 、P 共线, ∴k AC =k AP , 即 b a =03y a , ∴y 0=3b, ∴P(2a,3b). 又∵∠DBP=π3,且tan ∠DBP=DP BD , 32b a a -, ∴ b a = 3 , ∴e= c a 答案:D 2.(2012厦门质检)已知F 是椭圆C: 22x a +2 2 y b =1(a>b>0)的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆（x-3c ）2 +y 2 = 2 9 b 相切于点Q, 且PQ =2QF ,则椭圆C 的离心率等于( ) (B) 23 (D) 12 解析:记椭圆的左焦点为F ′, 圆(x-3c )2 +y 2 = 2 9 b 的圆心为E, 连接PF ′、QE. 第5讲椭圆 1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系． 【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程． 2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题． 1．椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 续表 一条规律 椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2 n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上?0＜m ＜n . 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 1．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于 2 1 ,则C 的方程（ ） A ．14 32 2=+y x B ．13422=+y x C ．1242 2=+y x D ．13 42 2=+y x 答案D 2．(2012·合肥月考)设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等 于( )． A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 解析 依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 答案 D 3．(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3 ＝1表示椭圆”的 ( )． 1.某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，给出以下命题： ①1 000名学生是总体； ②每个学生是个体； ③1 000名学生的成绩是一个个体； ④样本的容量是100. 以上命题错误的是________(填序号). 解析 1 000名学生的成绩是总体，其容量是1 000，100名学生的成绩组成样本，其容量是100. 答案①②③ 2.(2016·柳州、北海、钦州三市联考)某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个，120个，190个，140个销售点.为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次为________. 解析①四个城市销售点数量不同，个体存在差异比较明显，选用分层抽样； ②丙城市特大销售点数量不多，使用简单随机抽样即可. 答案分层抽样、简单随机抽样 3.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________. 解析样本抽取比例为 70 3 500 ＝1 50 ，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则n 5 000 ＝1 50 ，故n＝100. 答案100 4.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理 1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ) A. B.(1,+∞) C.(1,2) D. 2.(xx黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 4.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( ) A.3 B.3或 C. D.6或3 5.已知椭圆+=1(0 《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计 一．教材及学情分析： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修1－1第二章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时． 在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想． 在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用． 本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值． 根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持． 二．教学目标： 1．知识与技能目标： ①理解椭圆的定义 ②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力 2．过程与方法目标： ①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力 ②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程——解析法 ③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标： 第五节 椭 圆 授课提示：对应学生用书第161页 [基础梳理] 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于| F 1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． (2)集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. ①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2； ③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0) y 2 a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0) 续表 性质 范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ； 短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0，1) a ，b ，c 的关 系 a 2＝ b 2＋ c 2 1．e 与b a ：因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－????b a 2，所以离心率e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁； 离心率e 越小，则b a 越大，椭圆就越圆． 2．点与椭圆的位置关系 已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，则 (1)点P (x 0，y 0)在椭圆内?x 20 a 2＋y 2 0b 2＜1； (2)点P (x 0，y 0)在椭圆上?x 20 a 2＋y 2 0b 2＝1； 《椭圆及其标准方程》教学设计龙城高级中学胡宇娟 （一）指导思想与理论依据 1、本节课的设计力图体现“教师为主导,学生为主体”的教学思想。在教 学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。 2、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，运用“实 验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示知识的发生、发展过程；遵循现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。 3、数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。针对这节课的内 容：教师提问；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极参与教学活动。在教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。 （二）教学背景分析 A、学情分析 1、能力分析 ①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; ②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。 2、认知分析 ①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤; 共 8 页第1页 第1讲探究型实验题 热点一未知产物及物质性质的探究 1．对未知产物的探究 通过化学反应原理猜测可能生成哪些物质，对这些物质逐一进行检验来确定究竟含有哪些物质。正确解答此类试题的关键：(1)猜测要全面；(2)熟记常见物质的检验方法。 4 (2)在烧杯中加入热水(或对烧杯加热)c (3)取少量溶液于试管中，加入KSCN溶液，溶液变成血红色，则有Fe3＋取少量溶液滴入适 量酸性高锰酸钾溶液中，高锰酸钾溶液褪色，则有Fe2＋a(4)b 11m－4n 14n 2．物质性质的探究 无机物、有机物性质的探究，必须在牢牢掌握元素化合物知识的基础上，大胆猜想，细心论证。 对物质性质探究的基本思路如下： 题组一 未知产物的探究 1．实验室中需要22.4 L(标准状况)SO 2气体。化学小组同学依据化学方程式Zn ＋2H 2SO 4(浓)=====△ZnSO 4＋SO 2↑＋2H 2O 计算后，取65.0 g 锌粒与98%的浓H 2SO 4(ρ＝1.84 g·cm －3)110 mL 充分反应，锌全部溶解，对于制得的气体，有同学认为可能混有杂质。 (1)化学小组所制得的气体中混有的主要杂质气体可能是______(填分子式)。产生这种结果的主要原因是________(用化学方程式和必要的文字加以说明)。 (2)为证实相关分析，化学小组的同学设计了实验，组装了如下装置，对所制取的气体进行探究。 ①装置B中加入的试剂为________，作用是________。 ②装置D加入的试剂为________________，装置F加入的试剂为________________。 ③可证实一定量的锌粒和一定量的浓硫酸反应后生成的气体中混有某杂质气体的实验现象是________。 ④U形管G的作用为________。 答案(1)H2随着反应的进行，硫酸浓度降低，致使锌与稀硫酸反应生成H2：Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑ (2)①NaOH溶液(或酸性KMnO4溶液，其他合理答案也可) 除去混合气体中的SO2②浓硫酸无水硫酸铜 ③装置E玻璃管中黑色CuO粉末变红色，干燥管F中无水硫酸铜变蓝色 ④防止空气中的H2O进入干燥管F而影响杂质气体的检验 解析(1)从物质的量关系来看，发生反应Zn＋2H2SO4(浓)===ZnSO4＋SO2↑＋2H2O，H2SO4略过量，但是实际上随着反应的进行，硫酸的浓度降低；当硫酸的浓度降到一定程度，反应变为Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑。(2)该实验的目的是为了通过加热还原CuO验证H2的存在，通过F装置进一步确认有H2O生成；具体的实验装置及作用是A—产生待研究的气体，B—除去气体中的SO2(可以利用SO2的性质选取NaOH溶液或酸性高锰酸钾溶液)，C—验证SO2已除尽，D—干燥气体，E—若有H2，则加热E玻璃管，CuO固体由黑色变为红色，F—利用无水硫酸铜吸水变蓝进一步确定气体中H2的存在，G—防止空气中的水蒸气进入F装置而干扰实验。 课题：§2.1.1椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§2.1.1椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 高二下册（春季）数学辅导教案 学员姓名：学科教师： 年级：辅导科目： 授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段 主题椭圆（一） 教学内容 1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何性质； 2. 能应用椭圆性质解题。 （以提问的形式回顾） 1. 椭圆的定义：平面上到两定点的 1 F、 2 F的距离之和等于常数2a（ 12 2|| a F F >）的点的轨迹，叫做椭圆。 定点 1 F、 2 F是焦点， 12 || F F是椭圆的焦距，2a是椭圆的长轴长。 （若 12 2|| a F F =，则动点的轨迹是线段；若 12 2|| a F F <，则轨迹不存在） 2. 椭圆的图像与性质： 图像 标准方程 22 22 1(0) x y a b a b +=>> 范围() a x a b y b -≤≤-≤≥ y x O 1 F2F 顶点 (,0)a ±，(0,)b ± 对称性 关于x 、y 轴和原点对称 焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c a ， b ， c 的意义 2a 长轴长，2b 短轴长，2c 焦距，222a b c =+ （采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为221mx ny +=(0m >，0n >)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程． 解：设所求椭圆方程为22 1mx ny +=(0m >，0n >)． 由(3,2)A -和(23,1)B -两点在椭圆上可得 2222(3)(2)1,(23)11,m n m n ??+?-=???-+?=??即341,121,m n m n +=??+=? 所以115m =，15n =． 故所求的椭圆方程为22 1155 x y +=． 试一试：经过点(3,2)且与椭圆22 194 x y +=有相同焦点的椭圆的方程是 ． 【参考答案】：22 11510 x y +=. 例2. 已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2 25 ＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________． 答案：441 试一试：已知椭圆x 216＋y 2 9 ＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF 1的中点，若OQ ＝1， [课时作业·巩固提升]精选名校试题考点全面覆盖 [基础题组] 一、单项选择题 1．在法拉第时代，下列验证“由磁产生电”设想的实验中，能观察到感应电流的是() A．将绕在磁铁上的线圈与电流表组成一闭合回路，然后观察电流表的变化 B．在一通电线圈旁放置一连有电流表的闭合线圈，然后观察电流表的变化 C．将一房间内的线圈两端与相邻房间的电流表连接，往线圈中插入条形磁铁后，再到相邻房间去观察电流表的变化 D．绕在同一铁环上的两个线圈，分别接电源和电流表，在给线圈通电或断电的瞬间，观察电流表的变化 解析：产生感应电流的条件为：穿过闭合回路的磁通量发生变化．选项A、B中，磁通量未变，不会产生感应电流，A、B错误．往线圈中插入条形磁铁的瞬间，线圈中磁通量发生变化，此时线圈中将产生感应电流，但插入后磁通量不再变化，无感应电流，故到相邻房间观察时无示数，C错误．在线圈通电或断电的瞬间，磁通量发生变化，产生感应电流，D 正确． 答案：D 2．(2020·广东揭阳质检)如图所示，一圆形金属环与两固定的平行长直导线在同一竖直平面内，环心与两导线距离相等，环的直径小于两导线间距离，两导线中通有图示方向相同的恒定电流I.则当环() A．向上运动时，环中产生顺时针方向的感应电流 B．向下运动时，环中产生顺时针方向的感应电流 C．向左侧靠近导线时，环中产生逆时针方向的感应电流 D．向右侧靠近导线时，环中产生逆时针方向的感应电流 解析：直导线之间的磁场是对称的，圆环在中间时，通过圆环的磁通量为零，圆环上、下运动的时候，通过圆环的磁通量不变，不会有感应电流产生，故A、B错误；圆环向左侧 靠近直导线，则穿过圆环的磁场垂直纸面向外并且增强，根据楞次定律可得，环上的感应电流方向为顺时针，故C错误；圆环向右侧靠近直导线，则穿过圆环的磁场垂直纸面向里并且增强，根据楞次定律可得，环上的感应电流方向为逆时针，故D正确．答案：D 3．如图所示，在水平放置的螺线管的中央，放着一个可绕水平轴OO′自由转动的闭合线圈abcd，轴OO′与螺线管的轴线垂直，ab边在OO′轴的左上方，闭合K的瞬间，关于线圈的运动情况，下列说法正确的是() A．不转动 B．ab边向左转动 C．ab边向右转动 D．转动的方向与螺线管中的电流方向有关 解析：闭合K的瞬间，通过闭合线圈abcd的磁通量增大，根据楞次定律，线圈ab边向左转动，转动的方向与螺线管中的电流方向无关，选项B正确． 答案：B 4．(2017·高考全国卷Ⅰ)扫描隧道显微镜(STM)可用来探测样品表面原子尺度上的形貌．为了有效隔离外界振动对STM的扰动，在圆底盘周边沿其径向对称地安装若干对紫铜薄板，并施加磁场来快速衰减其微小振动，如图所示．无扰动时，按下列四种方案对紫铜薄板施加恒磁场；出现扰动后，对于紫铜薄板上下及左右振动的衰减最有效的方案是() 解析：由于要求有效衰减紫铜薄板的上下及左右的微小振动，则在紫铜薄板发生微小的上下或左右振动时，通过紫铜薄板横截面的磁通量应均能发生变化，产生阻碍作用，由图可以看出，只有A图方案中才能使两方向上的微小振动得到有效衰减． 答案：A 椭圆及其标准方程（第1课时）教学设 计 一、教材内容分析本节是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。二、学情分析高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。基于上述分析，我采取的是“创设问题情景-----自主探索研究 -----结论应用巩固”的一种研究性教学方法，教学中采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。使学生真正成为课堂的主体。三、设计思想 1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的实用性； 2、进行分组实验，让学生亲自动手，体验知识的发生过程，并培养团队协作精神； 3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性； 四、教学目标 1、知识与技能目标：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。(2)进行 数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。五、教学的重点和难点教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。教学难点：标准方程的推导。四、说教学过程（一）、创设情景，导入新课。（3分钟)1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。 2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆形状的物体？对学生的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。设计意图：通过观看影音资料，一方面使学生简单了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对研究椭圆产生心理期待。通过图片、实物，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备。从而激发学生的学习积极性和参与热情。（二）、动画演示，探索研究(15分钟）引导学生互相配合利用细绳和铅笔动手画椭圆，通过巡视找出作图比较规范的同学用细绳和粉笔演示。再根据多媒体规范演示椭圆的形成过程。根据作图过程，让学生思考：轨迹为椭圆需满足的条件，引导学生总结椭圆定义。设计意图：注重概念形成过程，通过让合作交流，思考问题；让学生都积极地参与到学习中来，体现学生主体意识，开动大脑，训练思维。使知识从感性认识自然过渡到理性认识，增强了他们的集体凝聚，树立团队意识，培养学生的观察、归纳、概括能力。定义：设问：（1）、为什么强调“平面内”？（2）、对常数有什么限制？（3）、常数的取值不同时，轨迹如何变化?设计意图：培养学生动手实践能力，通过分组讨论提高发现问题的能力和提炼总结能力。在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。（三）、 第5讲椭圆 【高考会这样考】 1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系． 【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程． 2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题． 基础梳理 1．椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 图形续表 范围－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 性 质 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0,1) a ， b ， c 的关系 c 2＝a 2－b 2 一条规律 椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2 n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上?0＜m ＜n . 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )． 则此椭圆方程为( ) 2 2 x y_ / A — +」=1 A. 4 十 3 2 尙 + y 2= 1 2 2 B &+y = 1 B. 8 + 6 = 1 2 D .^+y 2 = 1 4 2 2 歩+ y a b 课时规范练 A 组基础对点练 2 2 1已知椭圆2X5+和=1(m>0)的左焦点为F 1(— 4,0)，则m =( ) A . 2 B . 3 C . 4 D . 9 解析：由 4= .25 — m 2(m>0)? m = 3，故选 B. 答案：B 2.方程kx 2 + 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) A . k>4 B . k = 4 C . k<4 D . 0 《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计 一、教学内容分析 教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方 程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。 学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。 根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是： 教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。 教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。 二、学生学情分析 在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要 第5讲椭圆 【2013年高考会这样考】 1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系． 【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程． 2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题． 基础梳理 1．椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 图形续表 范围－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 性 质 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0,1) a ， b ， c 的关系 c 2＝a 2－b 2 一条规律 椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2 n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上?0＜m ＜n . 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )． 第五节 椭 圆 预习设计 基础备考 知识梳理 1．椭圆的概念 平面内与两定点21F F 、的距离的和等于常数（ ||21F F ）的点的轨迹叫椭圆，这两定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做 集合,2||,2||||}{2121c F F a MF MF M P ==+=其中>a ,0,0>c 且a ，c 为常数）． (1)若 ,则集合P 为椭圆； (2)若 ,则集合P 为线段； (3若 ,则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 典题热身 1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13 22 =+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( ) 32.A 6.B 34.C 12.D 答案：C 2.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) )1,0.(A )2,1.(B )2,0.(C ? )1,0.(?D 答案：A 3．椭圆14 2 2=+y m x 的焦距等于2，则m 的值为 ( ) 35.或A 8.B 5.c 16.D 答案：A 4．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为 ,5 4 则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( ) 9.A 1.B 91.或C D ．以上都不对 答案：C 5．（2011．．郑州模拟）如图，A 、B 、C 分别为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的顶点与焦点，若,90 =∠ABC 则该椭圆的离心率为( ) 251. +-A 221.-B 12.-C 2 2 .D 答案：A 课堂设计 方法备考 题型一 椭圆的定义及其应用 【例1】一动圆与已知圆1)3(:2 2 1=++y x O 外切，与圆:2O 81)3(2 2 =+-y x 内切，试求动圆圆心的轨迹方程． 题型二 求椭圆的标准方程 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是（-12，O ），(12，O)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于26； (2)焦点在坐标轴上，且经过点)2,3(-A 和);1,32(-B (3)焦距是2，且过点).0,5(-p 题型三 椭圆的几何性质及其应用 【例3】已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A.B ，从此椭圆上一点M(在x 轴上方) 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点.//,1OM AB F (1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，21F F 、分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围， 第1讲区域环境问题及开发与保护第1课时水土流失和土地荒漠化 [梳理知识体系] [再现基础知识] 一、水土流失 读黄土高原区域图，回答问题。 1.黄土高原水土流失的原因 2.水土流失的危害 3.水土流失的治理措施 【疑难辨析1】(正确的打“√”，错误的打“×”。) (1)黄土高原千沟万壑的地表形态是流水侵蚀作用的结果。( √ ) (2)梯田是因地制宜发展农业生产的典范，在黄土高原缓坡上修筑反坡梯田的优点是保水、保土效果更好。( √ ) (3)不同的社会阶段影响黄土高原水土流失的主导因素不同。( √ ) (4)黄土高原是我国唯一水土流失的地方。(× ) 二、土地荒漠化 读我国西北干旱半干旱区示意图，回答问题。 1.认识荒漠化 2.干旱为主的自然特征 (1)西北地区的区域差异 植被景观：图中①为温带草原，②为荒漠草原，③为荒漠。 年降水量：图中A为400，B为200，C为50。 本区自东向西随距海里程的增加而降水递减，干旱程度增加，土地的自然产出和载畜量也随之减少。 (2)西北地区生态环境的脆弱性 (3)导致荒漠化的主要自然因素：气候异常使脆弱的生态环境失衡。 3.荒漠化的人为因素 4.荒漠化防治的对策和措施 (1)荒漠化的危害 土地自然生产力日渐丧失，影响区域经济和社会的持续发展，威胁当地甚至其他地区人们的生存环境。 (2)荒漠化防治的内容和原则 ①内容???预防潜在荒漠化的威胁 扭转正在发展中的荒漠化土地的退化恢复荒漠化土地的生产力 ②原则：坚持维护生态平衡与提高经济效益相结合，治山、治水、治碱(盐碱)、治沙相结合的原则。 配套课时作业 1．椭圆x 225＋y 2 9＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D.32 答案 B 解析 |ON |＝12|MF 2|＝12(2a －|MF 1|)＝1 2(10－2)＝4，故选B. 2．(2019·河南豫北联考)已知点P ? ???? 1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( ) A ．2 B.24 C.1 2 D ．1 答案 D 解析 由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝1 2×2a ×2 2＝1，故选D. 3．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 答案 D 解析 ∵方程x 2 ＋ky 2 ＝2，即x 22＋y 22k ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2 k >2，故 0 解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝3 5a ，∴a 2－c 2＝16 25a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为 20. 5．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2 ＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[－1,2] 答案 C 解析 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )， PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C. 6．“－3 §2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时） 【学习目标】 1.能准确的说出椭圆的定义； 2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 试一试： 1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在 2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F > 二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验 2．两种标准方程的比较 2 三：典型例题 例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22?? - ??? ，求它的标准 方程 ． 方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。（2）待定系数法，先设出椭圆 的标准方程22221x y a b +=或22 221x y b a +=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可 四、练习提升 1求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8； （2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。 （3）求经过两点(2，0)，(0，1)，且焦点在坐标轴上 2．如果椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距 离是（ ）． A ．4 B ．14 C ．12 D ．8 3．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ． 4．如果点(,)M x y 在运动过程中， 10，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ． 5．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1) 6.已知 12 102 2=-+-m x m y 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是________ 7.椭圆22 1x y m n +=--，(0)m n <<的焦点坐标是第5讲椭圆
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