2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答

2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．已知集合{|53,}A a a x x N +==+∈,{|72,}B b b y y N +==+∈,则A B 中的最小的元素是 ( ▲ )

A ．17

B ．19

C ．21

D ．23

【答案】D

【解析】代入检验或者依次取值.

2．已知角α的终边与

3π的终边相同，则在[)0,2π内与3α的终边相同的角有 ( ▲ )个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】713,,999

πππ

3．已知()f x x m =-, 当[0,9]x ∈时, ()4f x ≤恒成立, 则实数m 的取值范围

是 ( ▲ )

A ．[1,0]-

B ．(,1]-∞-

C ．(,1]-∞

D ．[0,1]

【答案】C

【解析】t =2()2g t t t m =-+，max (3)34g g m ==+≤ 4．若(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，0αβπ<<<，(0)ka b a kb k +=-≠ ，

则βα-的值为 ( ▲ )

A ．2π

B ．3π

C ．4π

D ．6

π 【答案】A 【解析】由(0)ka b a kb k +=-≠ 两边平方展开得到cos()0βα-=

5.函数1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x x y x x x x

+++-=

++-++的最小正周期是 ( ▲ ) A ．2π B ．π C ．32π D ．2π 【答案】D 【解析】2sin y x

=(sin 1)x ≠-

6．ABC ?中，

tan 21,tan a B a c c C c -==，则角A 为 ( ▲ ) A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2

π 【答案】B

【解析】由

tan 2tan B a c C c -=得1cos ,23B B π==，再由sin 1)sin A C =得4

A π= 7．在平行四边形ABCD 中，2CA

B DB

C DBA ∠=∠=∠，则sin CAB ∠的值为 ( ▲ )

A ．13

B ．12

C ．2

D ．34

【答案】B 【解析】记DBA α∠=，O 为对角线交点，CAB CBO ?? 得到2212BC CO CA CA =?=

在ABC ?中，由正弦定理得到

sin 3sin 2AC BC αα==cos α= 8．已知O ，A ，B 是平面上的三点，向量,OA a OB b == ，设点P 是线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP p = ，若3,2a b == ，则()p a b ?- 的值为 ( ▲ ) A ．52 B ．3 C ．72

D ． 4 【答案】A

【解析】设AB 中垂线与AB 交于点C ，连OC ，1(),2CP p a b BA a b =-+=- ，由CP 与BA 垂直得到()p a b ?- =221()2

a b - 9．设,82x y z x y z π

π

≥≥≥++=，则cos sin cos x y z ??的最小值为( ▲ )

A ．18

B ．8

C ．14

D ．4

【答案】C 【解析】84x ππ≤≤，()21111cos sin cos cos sin()sin()cos sin()cos 2224

x y z x y z y z x y z x ??=

++-≥+=≥ 10．当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x αα--+->恒成立，则α的取值范围是( ▲ )

A ．1122,1212k k k Z πππθπ+<<+

∈ B ．522,66k k k Z πππθπ+<<+∈ C ．522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ D ．22,63k k k Z πππθπ+<<+∈ 【答案】C

【解析】记22()cos (1)(1)sin f x x x x x αα=--+-，则

(0)sin 0,(1)cos 0f f αα=>=>

21()))2((1)2

f x x x x =-+-+-，

即102-+>，解得522,1212

k k k Z πππαπ+<<+∈.

二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.

11．函数()|2||1|f x x x =+--的值域为 ▲ ．

【答案】[3,3]-

12．22sin 13sin 47sin13sin 47?+?+???= ▲ ． 【答案】34

【解析】构造三角形，内角分别为13,47,120???，结合余弦定理即可

13．过ABC ?的重心G 的直线分别交直线AB 、AC 于点P 、Q ，若AC k AQ BP AB ==,，则k 的值是 ▲ ． 【答案】

52 【解析】由1()3AG AB AC =+ ，设PG PQ λ= ，则 2(22)AG AP PG AB PQ AB k AC λλλ=+=+=-+ ，于是52,65k λ== 或者取正三角形即可。

14．记sin1sin1cos1cos1log cos1,log tan1,log sin1,log tan1A B C D ====

则A ，B ，C ，D 四个数中最大数与最小数之和为 ▲ ．

【答案】1

【解析】最大数为A ，最小数为B

15．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，且()1f x >。若对任意(0,)x ∈+∞，都有2(())2f f x x -=，则)2(f 的值

为 ▲ ．

【答案】5

【解析】由题意设2()(f x x k k -=为常数)，则2()f x x k =+，即2()2f k k k =+=，

得1k =或2k =-（舍），即2()1f x x =+ 16．[]x 表示不大于实数x 的最大整数，方程2lg [lg ]2x x -=的解集为 ▲ ．

【答案】1{100,

10

【解析】先由[]x x ≤，则2lg lg 20x x --≤，则1lg 2x -≤≤，讨论当[lg ]1,0,1,2x =-时方程的解. 17．一个数学魔术中，魔术师先请一个人随意想一个三位数abc （其中,,a b c 依次为这个数字的各个数位上的十进制数字），并请此人想出另5个数,,,,acb bac bca cab cba ，并求出这5个数的和S ，将和S 告诉魔术师，于是魔术师就说出了这个人所想的数abc .现在假设2013S = ，请你来做魔术师，三位数abc 为 ▲ ．

【答案】651 【解析】222()S abc a b c +=++，要寻找222的整数倍即222k ，

由201322291998>?=，20131000222143018+

经检验，只有k=12，即122222013651?-=，且65112++=可以符合题意.

三、解答题：本大题共3小题，共51分．

18．（本题满分16分）已知函数()sin sin()3f x x x πωω=+-

（Ⅰ）若6x π

=是函数()f x 的一个零点，212ω<<，求()f x 的最大值以及此时x 的取值集合；

（Ⅱ）若0ω>，函数()f x 在区间0,

2π??????

上是单调函数，求ω的取值范围.

解：（Ⅰ）())6f x x πω=-，()06

f π=得到61,k k Z ω=+∈，则7ω=

即())6f x x π=-，max f =，此时22{|,}217

k x x k Z ππ=+∈——8分 （Ⅱ）26266-ππωππωπ≤-≤-≤x ，得到403ω<≤ -----------16分 19．（本题满分17分）已知非零向量a 和b ，函数22()2()1f x a x a b x =+?+ （Ⅰ）若方程()0f x =有两个相等的实根，||2b = ，求向量a 和b 夹角； （Ⅱ）若||||a b λ= ，函数()f x 在[2,1]--上的最小值为21b λ+ ，求实数λ的取值范围以及此时向量a 和b 夹角的余弦值.

解：（Ⅰ）设向量a 和b 夹角为α，由0?=得到1cos 2α=±，于是向量a 和b 夹角为3

π或23π ——7分 （Ⅱ）对称轴为cos x α

λ=- 当cos 2α

λ-≤-时，即cos 2αλ≥时，2min (2)1f f b λ=-=+ 解得41cos 24λαλ-=<，不合题意 当cos 21αλ-<-<-时，即cos 2λαλ<<时，2min cos ()1f f b αλλ=-=+ 解得2cos αλ-=，不合题意 当cos 1α

λ-≥-时，即cos αλ≤时，2min (1)1f f b λ=-=+ 解得1cos 2

λαλ-=≤ 由11cos 12λα--≤=≤得到03λ<≤，此时1cos 2

λα-= 综上，03λ<≤，此时1cos 2

λα-= ----------17分 20．（本题满分18分）已知函数||()3x u f x -=，()||621g x x x u u =-+- （Ⅰ）当4u =时，关于x 的方程2(())()70g x mg x ++=有3个不同的实根，求实数m 的值； （Ⅱ）若对任意的(,3]s ∈-∞，总存在[3,)t ∈+∞，使得()()f s g t =成立，求实数u 的取值范围. 解：（Ⅰ）设()t g x =，2

70t mt ++=，作出函数()t g x =的图象 当3t =时，求出163m =-，另一个73

t =可以符合题意 当7t =时，求出8m =-，另一个1t =可以符合题意

当0?=时，m =±t = 综上，163

m =-

或者8m =- ——8分 （Ⅱ）设函数(),()f x g x 的值域分别为,F G ，根据题意有F G ? 当3u ≤时，[1,)F =+∞，min (3)3120g g u ==-<，可以符合题意

当3u >时，3[3,)u F -=+∞，min ()621(3)930g g u u g u ==-<=-，

此时需36213

u u --≤，记30w u =->，则633w w -≤，即01w <≤或2w ≥即34u <≤或5u ≥ 综上，4u ≤或5u ≥ --------18分