高中数学基础知识汇总(详细版)

高中数学基础知识汇总

第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

； ；⑨导数法 b 解出 )(u f ； 注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．

；

⑵)(x f 是奇函数?1)

()(0)()()()(-=-?=+-?-=-x f x f x f x f x f x f ；

⑶)(x f 是偶函数1)

()(0)()()()(=-?=--?=-?x f x f x f x f x f x f ；

⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：

2x <时有

；

2x 时有

；

)(x f 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；

④|

|2:)cos(),sin(ωπ

?ω?ω=

+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；

⑶函数周期的判定

①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论

21⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。 10．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”； ⅱ)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：

ⅰ)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变， ⅱ)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变， ③ 对称变换：ⅰ)(x f y =??→?)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =?→?=0

y y =ⅲ )(x f y =?→?=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =??→

?=x

y )(1

x f y -=；

④ 翻转变换：

ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；

注：

①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0; ②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=a 的对称曲线C 2方程为：f(2a －x, y)=0;

③曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

④f(a+x)=f(b －x) （x ∈R ）?→?

y=f(x)图像关于直线x=2

b

a +对称； 特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）?→?

y=f(x)图像关于直线x=a 对称； ⑤函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2

b

a +对称； 12．函数零点的求法：

⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法. 13．导数

⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

00

；

⑵常见函数的导数公式: ①'

C 0=；②1

'

)(-=n n nx

x ；③x x cos )(sin '

=；

④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x

x ln )('

=；⑥x x e e =')(

；⑦x a )(log '

=

⑧

x 1)(ln '

=

。 ①利

②a

a a

2121；

③

??

?+=b

c

b

a

c a

dx x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

?

-==b

a

b a a F b F x F dx x f )()(|)()(

⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：dx x g x f S b

a

|)()(|?-=

；

③ 求变速直线运动的路程：?=b

a

dt t v S )(；③求变力做功：?=b a

dx x F W )(。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度

180=，180

1π

=

弧度，1弧度 )180

(

π

='1857 ≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2

1

212==θ。

2．三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：

；

; 。 C

B A sin sin sin 注：①

C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③

C

B A c

b a C

c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=等三个；注：bc

a c

b A 2cos 2

22-+=等三个。

10。几个公式:

⑴三角形面积公式：

))(2

1

(,))()((sin 2

1

21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=

---===

?； ⑵内切圆半径r=c

b a S ABC ++?2；外接圆直径2R=;sin sin sin C

c B b A a ==

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。 4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） ⑴异面直线所成角的求法：

① 平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。 注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。 ⑵直线与平面所成的角： ①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ。

注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

BOC 21⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S 底； ⑷长方体的性质

①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则：

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2 。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2；sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1 。

4．直线系

；

⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）

①?=R d 点在圆上；②?R d 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）

①?=R d 相切；②?R d 相离。 ⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >）

①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-<

⑴过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2；

过圆(x -a)2+(y -b)2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：(x 0-a)(x -a)+(y 0-b)(y -b)=r 2； ⑵以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程：(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0。

第六部分 圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+； ⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-；⑶抛物线：略

右“-”）； 2p 。 0时表2

21F PF ?21 是

21F PF ?内心，PM 交21F F 于点N ，则

c

a

MN PM =|||| ；

④当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大；

⑸双曲线中的结论：

①双曲线1222

2=-b y a x （a>0,b>0）的渐近线：02222=-b

y a x ； ②共渐进线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(2

222

=-b y a x 为参数，λ≠0）； ③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>．

2

cot 2

2

1θ

b S F PF =?，

（21PF F ∠=θ）；<Ⅱ>．2

－22

b

y =1(a ＞0，b ＞0)的左（右）支上一点，F 1、F 2

AF （或<Ⅰ>．当p a ≤<0时，顶点到点A 距离最小，最小值为a ；<Ⅱ>．当p a >时，抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为2

2p ap -。 3．直线与圆锥曲线问题解法： ⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题：

①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？ ②直线斜率不存在时考虑了吗？ ③判别式验证了吗？ ⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)；②作差得 =--=

2

12

1x x y y k AB ；③解决问题。

4．求轨迹的常用方法：

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点

)1=。

⑵等比数列 N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2

n 1n n ∈≥?=?≠=?

++a a a q q a a a n

｛ )0k ,1q ,0q (kq k Sn 0,(n ≠≠≠-=?=?的常数）均为不为q c cq a n n ；

2．等差、等比数列性质

⑺间接法（例如：441

11=-?

=----n n n n n n a a a a a a ）；⑻作商法（n n c a a a = 21型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。 注：当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1

1

11或

时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。

4．前n 项和的求法：

⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。 5．等差数列前n 项和最值的求法：

⑴???

? ?

????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或 ；⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式

1．均值不等式：2

2

2

2b a b a ab +≤

+≤

2

2d c b >,

,0>b

?0 ；⑶z 1÷z 2 =

=-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2

222+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论：

2

22221221221)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==?+=-++；

⑶i i 2)1(2±=±；⑷;11;11i i

i

i i i -=+-=-+

⑸i 性质：T=4；i i i i i i

n n n n

-=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i

（6）i 2

321±-

=ω 以3为周期，且1,,1320===ωωωω；21ωω++=0； （7）z

z z z z 1

11=?=?=。

4．运算律：（1）,())(3(;))(2(;2121n m z z z z z z z

z z m

m m mn n m n

m n

m

∈=?==?+)(z z z z ±z z z z

11(

z

z ； B +）； ） ； ⑶几何概型：等）

区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的A P =)( ；

第十二部分 统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个

容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为

N

n ； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ； ④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

2

)∧

yi ；

⑷回归平方和：

∑=-n

i i

y y

1

2

)(－21

)(∑=∧

-n

i yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧

---

=n

i i i

i i

i y y

y y R 1

2

12

2)()(1 。

注：①2

R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

R越接近于1，，则回归效果越好。

②2

5．独立性检验（分类变量关系）：

K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。随机变量2

第十三部分算法初步

⑶循环语句：①当型：②直到型:

WHILE 条件 DO

循环体循环体

WEND LOOP UNTIL 条件

3．算法案例：

⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；

⑵秦九韶算法------求多项式的值；

⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第十四部分常用逻辑用语与推理证明

1．四种命题：

⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若?p则?q；⑷逆否命题：若?q则?p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

A的

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具

有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ⑴大前提---------已知的一般结论； ⑵小前提---------所研究的特殊情况；

⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明

⒈直接证明 ⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 附：数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行： ⑴证明当n 取第一个值0n 是命题成立；

⑵假设当),(0*

∈≥=N k n k k n 命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从0n 开始所有的正整数都成立。

这种证明方法叫数学归纳法。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ② 0n 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

第十六部分 理科选修部分

1． 排列、组合和二项式定理

⑴排列数公式:m

n A =n(n-1)(n-2)…(n-m ＋1)=)!(!

m n n -(m ≤n,m 、n ∈N*),当

m=n 时为全排

列n

n A =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;