不等式证明的若干方法大学毕业论文
2013届毕业生毕业论文
课题名称：不等式证明的若干方法
教学系：数学系
专业：数学教育
班级：10级数学教育（4）班
学号：131002162
姓名：李亚军
指导教师：连玉平
时间：2013年5月15日
定西师范高等专科学校
10 级数学系毕业论文开题报告
目录
摘要 (1)
关键词 (1)
前言 (1)
第一章常用方法 (1)
1.1比较法（作差法） (1)
1.2作商法 (2)
1.3分析法（逆推法） (2)
1.4综合法 (2)
1.5反证法 (3)
1.6迭合法 (3)
1.7放缩法 (4)
1.8数学归纳法 (4)
1.9换元法 (5)
1.10三角代换法 (5)
1.11判别式法 (5)
第二章利用函数证明不等式 (6)
2.1函数极值法 (6)
2.2单调函数法 (6)
2.3中值定理法 (7)
2.4利用拉格朗日函数 (7)
第三章利用著名不等式证明 (8)
3.1利用均值不等式[ (8)
3.2利用柯西不等式 (10)
3.3利用赫尔德不等式 (10)
3.4利用詹森不等式 (10)
参考文献 (11)
摘 要：无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等
式的证明则是不等式知识的重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数
前 言
在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.
在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式.
第一章 常用方法
1.1比较法（作差法）
在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.
例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b
a ≥+2
.
证明 02
)(2222
≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ，
故得
ab b
a ≥+2
. 1.2作商法
在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助
1>b a 或1 a 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）. 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>-b a . 而 1>? ? ? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a >. 1.3分析法（逆推法） 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显 成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆. 例3 求证：15175+>+. 证明 要证15175+>+，即证1521635212+>+，即15235+>， 1541935+>，16154<，415<，1615<. 由此逆推即得 15175+>+. 1.4综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法. 例4 已知：a ，b 同号，求证：2≥+a b b a . 证明 因为a ，b 同号， 所以 0>b a ，0>a b ， 则 ,22=?≥+a b b a a b b a 即 2≥+a b b a . 1.5反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的. 例5 已知0>>b a ，n 是大于1的整数，求证：n n b a >. 证明 假设 n n b a ≤， 则 1≥n a b ， 即 1≥a b ， 故 a b ≥， 这与已知矛盾，所以n n b a >. 1.6迭合法 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证. 例6 已知：12 2 22 1=+++n a a a ，12 2 22 1=+++n b b b ，求证: 12211≤+++n n b a b a b a . 证明 因为122221=+++n a a a ，12 2221=+++n b b b ， 所以 12 2 22 1=+++n a a a ，12 2 22 1=+++n b b b . 由柯西不等式 , 1112 2221222212211=?=+++?+++≤+++n n n n b b b a a a b a b a b a 所以原不等式获证. 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法. 例7 求证： 01.010******* 654321 证明 令,10000 9999 654321????= p 则 ,10000 1 10001111000099991431211000099996543212 222222222222 <=-??-?- 所以 01.0 1.8数学归纳法 对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立. 例8 已知：+∈R b a ,，N n ∈，1≠n ，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a . 证明 （1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立； （2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则 111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a =k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(， 即k k k k ab b a b a +≥+++11成立. 根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的自然数n 都成立. 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化. 例9 已知：1=++c b a ，求证：3 1 ≤++ca bc ab . 证明 设t a -=31，)(31R t at b ∈-=，则t a c )1(3 1 ++=， ? ? ? ???++??? ??-+??????++??? ??-+??? ??-??? ??-=++t a t t a at at t ca bc ab )1(3131)1(31313131 , 31 )1(3122≤++-= t a a 所以 3 1 ≤++ca bc ab . 1.10三角代换法 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易. 例10 已知：122=+b a ，122=+y x ，求证：1≤+by ax . 证明 设θsin =a ，则θcos =b ；设?sin =x ，则?cos =y 所以 1)cos(cos cos sin sin ≤-=+=+?θ?θ?θby ax . 1.11判别式法 通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式. 例11 设R y x ∈,，且122=+y x ，求证：21a ax y +≤-. 证明 设ax y m -=，则m ax y += 代入122=+y x 中得 1)(22=++m ax x ， 即 0)1(2)1(222=-+++m amx x a 因为R y x ∈,，012≠+a ，所以0≥?， 即 0)1)(1(4)2(222≥-+-m a am ， 解得 21a m +≤，故21a ax y +≤-. 第二章 利用函数证明不等式 2.1函数极值法 通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的. 例18 设R x ∈，求证：8 1 2sin 32cos 4≤+≤-x x . 证明 81243sin 2sin 3sin 21sin 32cos )(2 2+??? ? ? --=+-=+=x x x x x x f 当43sin = x 时， ;8 1 2)(m ax =x f 当1sin -=x 时， .4)(m in -=x f 故 8 1 2sin 32cos 4≤+≤-x x . 2.2单调函数法 当x 属于某区间，有0)(≥'x f ，则)(x f 单调上升；若0)(≤'x f ，则)(x f 单调下降.推广之，若证)()(x g x f ≤，只须证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'即可. 例 19 证明不等式 x e x +>1，.0≠x 证明 设,1)(x e x f x --=则.1)(-='x e x f 故当0>x 时，f x f ,0)(>'严格递增；当f x f x ,0)(,0<'<严格递减.又因为f 在0=x 处连续， 则当0≠x 时， ,0)0()(=>f x f 从而证得 .0,1≠+>x x e x 2.3中值定理法 利用中值定理：)(x f 是在区间],[b a 上有定义的连续函数，且可导，则存在ξ， b a <<ξ，满足))(()()(a b f a f b f -'=-ξ来证明某些不等式，达到简便的目的. 例20 求证：y x y x -≤-sin sin . 证明 设 x x f sin )(=，则ξξcos )(n si )(sin sin y x y x y x -='-=- 故 y x y x y x -≤-≤-ξcos )(sin sin . 2.4利用拉格朗日函数 例 21 证明不等式 ,)1 11(331abc c b a ≤++- 其中 c b a ,,为任意正实数. 证明 设拉格朗日函数为对 ).1 111(),,,(r z y x xyz z y x L -+++=λλ 对L 求偏导数并令它们都等于0，则有 02 =-=x yz L x λ ， 02 =- =y zx L y λ ， 02 =-=x xy L z λ ， .01 111=-++= r z y x L λ 由方程组的前三式，易的 .111μλ ====xyz z y x 把它代入第四式，求出. 31 r = μ从而函数L 的稳定点为.)3(,34r r z y x ====λ 为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极小值，我们可把条件 r z y x 1 111=++看作隐函数),(y x z z =（满足隐函数定理条件） ，并把目标函数),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数.这样，就可应用极 值充分条件来做出判断.为此计算如下： ,22 x z z x -=,22y z z y -= ,2 x yz yz F x -=,2y xz xz F y -= ,2,23 2233xy z x z y z z F x yz F xy xx +--== .233 y xz F yy = 当r z y x 3===时， ,3,6r F F r F xy yy xx === .02722 >=-r F F F xy yy xx 由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式 ).1 111,0,0,0()3(3r z y x z y x r xyz =++>>>≥ 令,,,c z b y a x ===则,)1 11(1-++=c b a r 代入不等式有 31])1 11(3[-++≥c b a abc 或 ).0,0,0()1 11(331>>>≤++-c b a abc c b a 第三章 利用著名不等式证明 3.1利用均值不等式[ 设n a a a ,,,21 是n 个正实数，则 n n n a a a n a a a 2121≥+++，当且仅当 n a a a === 21时取等号. 例22 证明柯西不等式 ).)(()(1 2 1 2 2 1 ∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 证明 要证柯西不等式成立，只要证 ∑∑∑===≤ n i i n i i n i i i b a b a 1 21 21 （1） 令 ,,21 22 1 2B b A a n i i n i i ==∑∑== （2） 式中,0,0>>B A 则（1）即 AB b a n i i i ≤∑=1 即 11 ≤∑=AB b a n i i i （3） 下面证不等式(3),有均值不等式，222 12212 22 121B b A a B A b a +≤， 即 22 122 1112B b A a A B b a +≤， 同理 22 222 2222B b A a A B b a +≤， ，22 22 2B b A a AB b a n n n n +≤. 将以上各式相加，得 2 1 2 2 1 2 1 )(2B b A a b a AB n i i n i i n i i i ∑∑∑===+ ≤ (4) 根据（2），（4）式即 2)(21 ≤∑=n i i i b a AB . 因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得证. 3.2利用柯西不等式 例23 设R a i ∈，1=i ，2，…，n ．求证：2 11 2 1??? ??≥∑∑==n i i n i i a n a ． 证明 由柯西不等式 ∑∑∑∑∑======?? ? ????? ??≤??? ???=??? ??n i i n i n i i n i i n i i a n a a a 1212122 12 111． 两边除以n 即得． 说明：两边乘以n 1 后开方得∑∑==≤ n i i n i i a n a n 1 2 111．当i a 为正数时为均值不等式中的算术平均不大于平方平均． 3.3利用赫尔德不等式 例24 设,a b 为正常数，02 x π <<，n N ∈，求证： 22 22 2 2 sin cos n n n n n a b x x a b +++? ?+≥+ ??? 证明 22 sin cos n n n a b x x +??+ ???= 22 sin cos n n n a b x x +??+ ??? () 2 2 2 sin cos n n x x ++ () () 222 2 22 2 2 sin cos sin cos n n n n n n n n a b x x x x ++++????≥+ ? ??? ?? = 222 2 n n a b +++ 即 2222 2 2 sin cos n n n n n a b x x a b +++? ?+≥+ ??? 3.4利用詹森不等式 例 25 证明不等式 ,) (3 c b a c b a c b a abc ≤++ 其中c b a ,,均为正数. 证明 设 .0,ln )(>=x x x x f 由)(x f 的一阶和二阶导数 x x f x x f 1)(,1ln )(= ''+=' 可见，x x x f ln )(=在0>x 时为严格凸函数.依詹森不等式有 )),()()((3 1 )3( c f b f a f c b a f ++≤++ 从而 ),ln ln ln (3 13ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++ 即 .)3 ( c b a c b a c b a c b a ≤++++ 又因,3 3c b a ab c ++≤ 所以 .) (3 c b a c b a c b a abc ≤++ 参考文献 [1]李长明,周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263. [2]叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研究,2005,10(3):89-91. [3]胡炳生,吴俊.现代数学观点下的中学数学[M].北京:高等教育出版社,1998,45-50. [4]宋庆.一个分式不等式的再推广[J].中等数学,2006,45(5):29-31. [5]蒋昌林.也谈一类分式不等式的统一证明[J].数学通报,2005,15(2):75-79. [6]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科技出版社,2004,23-34. [7]张新全.两个不等式的证明[J].数学通报,2006,45(4):54-55. [9]李铁烽.构造向量证三元分式不等式[J].数学通报,2004,(2):101-102. [12]胡如松.垂足三角形的几个有趣性质及其猜想[J].福建中学数学,2004,(5):23-25. 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