2010年高考试题分类考点29 离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差

考点29 离散型随机变量及其分布列、 二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差

1．（2010·海南宁夏高考·理科T6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） （A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 【命题立意】本题主要考查了二项分布的期望的公式. 【思路点拨】通过题意得出补种的种子数服从二项分布.

【规范解答】选Ｂ.由题意可知，补种的种子数记为X ，服从二项分布，即(1000,0.2)X B ，所以X 的数学期望10000.2200EX =?=.

2．（2010·山东高考理科·Ｔ5）已知随机变量ξ服从正态分布2

N(0,)σ,若P(>2)=0.023ξ,则

P(-22)=ξ≤≤（ ）

(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977

【命题立意】本题考查正态分布的基础知识,考查考生的推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先由ξ服从正态分布2

N(0,)σ得出正态曲线关于直线x=0对称,于是得到

(P ζ>ξ(2)P ζ

>与(P ζ<-ξ2)的关系，最后进行求解. 【规范解答】 选C.因为随机变量ξ服从正态分布2

N(0,)σ,所以正态曲线关于直线x=0对称,又

P(>2)=0.023ξ,所以P(<-2)=0.023ξ,所以P(-22)=ξ≤≤1-P(>2)-P(<-2)=ξξ1-20.023=?0.954,

故选C.

3．（2010·江苏高考·Ｔ22）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各种产品相互独立.

（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.

【命题立意】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力. 【思路点拨】利用独立事件的概率公式求解.

【规范解答】（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且

P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02. 由此得X 的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件. 由题设知4(4)10n n --≥，解得14

5

n ≥， 又n N ∈，得3n =或4n =.

所求概率为3

3440.80.20.80.8192P C =??+=.

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.

4．（2010·安徽高考理科·Ｔ21）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-， 则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. (1)写出X 的可能值集合；

(2)假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X 的分布列； (3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，

①试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； ②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.

【命题立意】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，考查考生的计数能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的应用意识和创新意识.

【思路点拨】用列表或树形图表示1,2,3,4的排列的所有可能情况，计算每一种排列下的X 值， 即可得出其分布列及相关事件的概率.

【规范解答】（I ）X 的可能值的集合为}{

0,2,4,6,8.

（II ） 1,2,3,4的排列共24种，在等可能的假定下，计算每种排列下的X 值，得到

（III ）（i ）(2)(0)(2),6

p x p x p x ≤==+==

2,x p ≤将三轮测试都有的概率记作由独立性假设可得：

1111

666216

p =??=

（ii ）由于15

2161000

p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X 2x ≤的结果

的可能性很小，所以可以认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测. 5．（2010·浙江高考理科·Ｔ19）如图，一个小球从M 处投入，通过管道 自上而下落到A 或B 或C.已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能 性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A ，B ，C ，则分别设为l ，2，3等奖．

(1)已知获得l ，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随机变 量ξ为获得k (k =1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望ξE ； (2)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机变量η为获得 1等奖或2等奖的人次，求)2(=ηP ．

【命题立意】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识.

【思路点拨】（1）求分布列时，要先找出从M 出发到相应的位置有几种路，然后再用独立事件的乘法公式. 如从M 到A 有两种路，所以3

4

1

13()()()2

2

16

P A =+=；（2）第（2）题是一个二项分布问题. 【规范解答】 (Ⅰ)由题意得ξ的分布列为

则Εξ=16×50％+8×70％+16×90％=4

.

（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为

316+38=916

. 由题意得η～B （3，916）则P （η=2）=2

3C (916)2(1-916)=17014096

.

【方法技巧】1.独立事件的概率满足乘法公式，互斥事件的概率满足加法公式；

2.n 次独立重复试验是一个很重要的试验，要注意在实际问题中的应用.

6．（2010·北京高考理科·Ｔ１7）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4

5

，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p ，q 的值； (Ⅲ)求数学期望E ξ.

【命题立意】本题考查了对立事件、独立事件的概率及期望的求法.

【思路点拨】（1）“至少”问题一般用对立事件求概率方便.（2）利用独立事件分别求出0,3ξ=时的概率，联立方程解出,p q 的值.（3）求出,a d ，代入期望公式即可.

【规范解答】事件i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i =1,2,3，由题意知 14

()5

P A =

，2()P A p =，3()P A q = （I ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以该生至少有1

门课程取得优秀成绩的概率是 6119

1(0)1125125P ξ-==-

=

， （II ）由题意知 12316

(0)()(1)(1)5125P P A A A p q ξ===--=

123424

(3)()5125

P P A A A pq ξ====

整理得 6

25

pq =，1p q +=

由p q >，可得35p =，2

5

q =.

（III ）由题意知123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++ =

432132132

(1)(1)(1)(1)555555555?-?-+??-+?-? 37

125

=

d (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-= =637241125125125-

--=58

125

()0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=?=+?=+?=+?=

=63758240123125125125125?

+?+?+?=95

. 【方法技巧】（1）“至少”“至多”问题，一般采用对立事件求概率较容易；

（2）事件A 与B 独立，则()()()P AB P A P B =.

7．（2010·福建高考理科·Ｔ16）设S 是不等式2

60x x --≤的解集，m ，n ∈S.

（I ）记“使得m + n = 0 成立的有序数组（m , n ）”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； （II ）设ξ＝2

m ，求ξ的分布列及其数学期望E ξ.

【命题立意】本题考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然、化归与转化思想.

【思路点拨】第一步先求解出一元二次不等式的解集，得到集合S ，进而求出A 所包含的基本事件；第二步求出m 的可能取值，再求出ξ的可能取值，计算出ξ所对应的概率，画出分布列，求出数学期望. 【规范解答】（I ）320)2)(3(≤≤-?≤+-x x x ，则}3,2,1,0,1,2{,--∈n m

由0=+n m 有???==???=-=???-==???=-=???-==0022221111n m n m n m n m n m 或或或或，因此A 包含的基本事件为： )0,0(),2,2(),2,2(),1,1(),1,1(----；

（II ）m 的可能取值为3,2,1,0,1,2--，则2

m 的可能取值为9,4,1,0

61)9()0(22=

===m P m P ，3

1

62)4()1(22=====m P m P 因此2m =ξ的分布列为：

所以其数学期望为6

19

2335233431=

+=++=

ξE 【方法技巧】有关概率统计的问题，利用枚举法求解越来越常见，枚举时一定要考虑全面，漏解是最常见的错误，如本题要求的是有序数组（m ，n ），坐标的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情况，不能当成同一种.因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，试题的难度为中等或中等偏易.

8．（2010·山东高考理科·Ｔ20）某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：

① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一

题减2分；

② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于

或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③ 每位参加者按问题,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为3111

,,,4234

，

且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求甲同学能进入下一轮的概率；

（2）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.

【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了考生利用所学知识解决实际问题的能力.

【思路点拨】(1)甲能进入下一轮有以下几种情形：前三个问题回答正确；第一个问题回答错误，后三个问题回答正确；只有第二个问题回答错误；只有第三个问题回答错误；第一、三错误，第二、四正确. (2)随机变量ξ的可能取值为2，3，4.

【规范解答】用(1,2,3,4)i M i =表示甲同学第i 个问题回答正确，用(1,2,3,4)i N i =表示甲同学第i 个问

题回答错误.则i M 与i N (1,2,3,4)i =互为对立事件，由题意得P(M 1)13,4

PM = P(M 2)21,2PM = P(M 3)3

1

,3PM = P(M 4)41,4PM =

所以P(N 1)11,4PN = P(N 2)21,2PN = P(N 3)3

2

.3

PN = (1) 记“甲同学能进入下一轮”为事件Q ，

Q=123M M M +1234N M M M +1234M N M M +1234M M N M +1234N M N M ， 由于每题答题结果相互独立，因此

P(Q)= P(123M M M +1234N M M M +1234M N M M +1234M M N M +1234N M N M )

=123()P M M M +1234()P N M M M +1234()P M N M M +1234()P M M N M +1234()P N M N M =

311423??+11114234???+31114234???+31214234???+11214234???=1

4

. （2）由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4，由于每题答题结果相互独立，因此

P(ξ1212111

(2)()()();

428P P N N P N P N ζ====?=

P(ξ=3) =P(M 1M 2M 3)+ P(M 1N 2N 3)

123123123123(3)()(

)()()()()()()3113123

;4234238

P P M M M P M N N P M P M P M P M P N P N ζ==+=+=??+??=

P(ξ=4) =1- P(ξ=2)-P(ξ=3)=1-181882

-= 所以ξ的分布列为

数学期望E ξ=28?+38?+4?

2=8

. 9. （2010·天津高考理科·Ｔ１8）某射手每次射击击中目标的概率是2

3

，且各次射击的结果互不影响. （1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；

（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；

（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列.

【命题立意】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】利用二项分布及独立事件的概率公式求解.

【规范解答】（1）设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～25,

3B ?

?

???

.在5次射击中， 恰有2次击中目标的概率22252240

(2)133243P X C ????==??-= ? ?????322

252240(2)133243X C ????==??-= ? ?

????

（2）设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则

123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++

=32323

21121123333333???????????+??+? ? ? ? ? ???????????

=8

81

（3）由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6

P(ξ 3

12311(0)()327

P P A A A ζ??

==== ???

P(

ξ123123123(1)()()()P P A A A P A A A P A A A ζ==++ =2

2

2112112233333339

?????+??+?= ? ?????

P(ξ1232124

(2)()33327

P P A A A ζ

===??=

P(

ξ123123(3)()()P P A A A P A A A ζ==+=

P(ξ123(6)()P P A A A ζ===3

28327??= ?

??

所以ξ的分布列是